Actividades competenciales · Ecuaciones de segundo grado

Mantenimiento de Vehículos – Frenada segura

Contexto: Relación entre distancia de frenado y velocidad:  d = k·v². El alumnado determinará la constante k para un tipo de neumático y calculará la distancia necesaria a diferentes velocidades.

Desarrollo (55 min)

1. 1. Presentación breve: se da tabla con dos mediciones reales (p.ej. a 50 km/h la distancia es 20 m; a 80 km/h es 51 m).
2. 2. Plantean un sistema de dos ecuaciones cuadráticas simplificadas para hallar k.
3. 3. Resuelven: sustituyen valores, obtienen k (entero).
4. 4. Con la k obtenida calculan la distancia a 90 km/h y 110 km/h resolviendo la ecuación resultante.
5. 5. Discuten en grupo si la distancia cumple con la normativa de seguridad.

Material mínimo

• Hoja con datos de velocidad/distancia

• Calculadora básica o papel millimetrado

Servicios Comerciales – Maximizar beneficios con una función cuadrática

Contexto: El beneficio B(p) = -2p² + 40p - 120 (en euros) depende del precio p del producto. El alumnado determinará el precio que maximiza el beneficio y evaluará beneficios para precios distintos.

Desarrollo (55 min)

6. 1. Explican brevemente que una parábola abre hacia abajo (coeficiente -2).
7. 2. Identifican los coeficientes a, b, c en la ecuación -2p² + 40p - 120 = 0.
8. 3. Calculan el vértice usando  p = -b/(2a) y obtienen el precio óptimo.
9. 4. Plantean la ecuación para beneficios nulos (-2p² + 40p - 120 = 0) y resuelven con fórmula general para hallar los precios de equilibrio.
10. 5. En parejas hacen una tabla de precios (0 €…30 €) y marcan los beneficios.

Material mínimo

• Hoja con expresión del beneficio

• Calculadora o hoja de cálculo

Informática y Comunicaciones – Cobertura Wi‑Fi

Contexto: La intensidad de señal se modela como  I(d) = -0.5d² + 8d + 10 (d en metros). Deben calcular la distancia con máxima intensidad y resolver para la zona donde la señal cae a 0 dB.

Desarrollo (55 min)

11. 1. Se identifican a, b, c y hallan la distancia óptima d_max = -b/(2a).
12. 2. Resuelven la ecuación -0.5d² + 8d + 10 = 0 con la fórmula general para obtener el rango efectivo entre dos distancias reales.
13. 3. Representan la parábola a mano alzada, marcando vértice y cortes.
14. 4. Discuten cómo recolocar el router para ampliar el rango (variar c).
15. 5. Comparten conclusiones en un mini‑debate final de 5 min.

Material mínimo

• Papel cuadriculado

• Regla y lápiz

Material docente · Actividades competenciales – Ecuaciones 2º Grado

Actividad: Frenada segura (Mantenimiento de Vehículos)

Contexto de la práctica: Determinar la constante k en la ecuación de frenada d = k·v² y luego estimar distancias a nuevas velocidades.

Objetivos didácticos

• Modelizar fenómenos físicos con ecuaciones cuadráticas.

• Despejar coeficientes a partir de datos experimentales.

• Aplicar el modelo para emitir recomendaciones de seguridad.

Materiales necesarios

• Tabla de mediciones (velocidad–distancia)

• Calculadora básica

• Hoja de papel

Solución y cálculos esperados

Datos ejemplo: (v₁=50 km/h, d₁=20 m) y (v₂=80 km/h, d₂=51 m).

Modelo: d = k·v² ⇒ k = d / v².

k₁ = 20 / 50² ≈ 0.008;   k₂ = 51 / 80² ≈ 0.008.

Constante promedio k ≈ 0.008 m/(km/h)².

Para v=90 km/h: d = 0.008·90² = 64.8 m.

Para v=110 km/h: d = 0.008·110² = 96.8 m.

Criterios de evaluación / Rúbrica

• Plantea correctamente el modelo d = k·v² (20 %).

• Calcula k con ambos pares de datos (20 %).

• Promedia o justifica el valor final de k (10 %).

• Calcula distancias nuevas sin errores (30 %).

• Discute coherentemente las implicaciones de seguridad (20 %).

Actividad: Precio óptimo (Servicios Comerciales)

Contexto de la práctica: Maximizar el beneficio de un producto descrito por B(p) = -2p² + 40p - 120.

Objetivos didácticos

• Reconocer una función cuadrática de beneficio.

• Calcular el vértice para obtener precio óptimo.

• Resolver la ecuación para puntos de equilibrio.

Materiales necesarios

• Expresión impresa del beneficio

• Calculadora / hoja de cálculo

Solución y cálculos esperados

Función: B(p) = -2p² + 40p - 120.

Coeficientes: a = -2, b = 40, c = -120.

Precio óptimo (vértice): p* = -b/(2a) = -40 / (-4) = 10 €.

Beneficio máximo: B(10) = -2·100 + 400 - 120 = 80 €.

Puntos de equilibrio: resolver -2p² + 40p - 120 = 0 ⇒ dividir entre -2 → p² - 20p + 60 = 0.

Discriminante: Δ = 400 - 240 = 160 → p = [20 ± √160]/2 = [20 ± 4√10]/2 = 10 ± 2√10 ≈ 3.7 € y 16.3 €.

Criterios de evaluación / Rúbrica

• Identifica a, b, c y usa fórmula del vértice (30 %).

• Calcula beneficio máximo correctamente (20 %).

• Encuentra puntos de equilibrio resolviendo la cuadrática (30 %).

• Interpreta resultados para estrategia de precios (20 %).

Actividad: Cobertura Wi‑Fi (Informática y Comunicaciones)

Contexto de la práctica: Modelar intensidad Wi‑Fi con I(d)= -0.5d² + 8d + 10 para hallar distancia óptima y rango útil.

Objetivos didácticos

• Aplicar concepto de vértice para maximizar señal.

• Resolver ecuaciones cuadráticas para cortes con el eje I=0.

• Interpretar resultados para decisiones de implantación.

Materiales necesarios

• Función intensidad impresa

• Regla, papel cuadriculado

Solución y cálculos esperados

a = -0.5, b = 8 → distancia óptima d* = -b/(2a) = -8 / (-1) = 8 m.

Intensidad máxima: I(8) = -0.5·64 + 64 + 10 = -32 + 74 = 42 dB.

Rango útil (I=0): -0.5d² + 8d + 10 = 0  →  multiplicar × -2 ⇒ d² - 16d - 20 = 0.

Δ = 256 + 80 = 336,  √Δ ≈ 18.33

d = [16 ± 18.33]/2 →  d₁ ≈ -1.2 (m, descartado)  y  d₂ ≈ 17.2 m.

Cobertura real: 0 m < d < 17 m (aprox.).

Criterios de evaluación / Rúbrica

• Calcula d* correctamente (25 %).

• Evalúa intensidad máxima (15 %).

• Resuelve ecuación para I=0 (30 %).

• Extrae conclusiones sobre ubicación del router (30 %).