আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ

১) Proper Fraction
২) Improper Fraction

Proper Fraction হচ্ছে সেসব ভগ্নাংশ, যাদের লবের চাইতে হরে বিদ্যমান বহুপদীর মাত্রা বড়। যেমন :
https://i0.wp.com/shoshikkha.com/wp-content/uploads/2017/08/Untitled-1.png?resize=134%2C59

আর Improper Fraction হচ্ছে সেসব ভগ্নাংশ, যাদের লবের চাইতে হরে বিদ্যমান বহুপদীর মাত্রা ছোট বা সমান। যেমনঃ

https://i2.wp.com/shoshikkha.com/wp-content/uploads/2017/08/4-8.png?resize=179%2C54

আজকের আমরা দেখবো, একটি ভগ্নাংশ যদি Proper হয়,তাহলে তাকে কীভাবে কিছু ভগ্নাংশের সমষ্টি হিসেবে আলাদা করতে হয়।

Proper Fraction কে আলাদা করতে গেলে কয়েকটা বিষয় মাথায় রাখতে হয়। যেমনঃ

১) যখন হরে একই উৎপাদক একবারের চেয়ে বেশি থাকেনা।

২) যখন হরে একই উৎপাদক একবারের চেয়ে বেশি থাকে।

৩) যখন হরে উৎপাদকগুলোর মাঝে কেউ এমন থাকে,যে কিনা নিজেই বহুপদী!

১) যখন হরে একই উৎপাদক একবারের বেশি থাকেনা:

 https://i1.wp.com/shoshikkha.com/wp-content/uploads/2017/08/Untitled-3.png?resize=292%2C50——-(১)

যেহেতু ভগ্নাংশের উৎপাদক সংখ্যা দুই(২) , তাই একে আমরা দু’টো ভগ্নাংশের যোগফল হিসেবে ঠিক এভাবে উপস্থাপন করতে পারিঃ

খেয়াল রাখতে হবে,এখানে A আর B এর মান হবে ধ্রুবক

শুরুতেই যেটা করবো , (১) এর বাম পক্ষের হর দিয়ে,পুরো ভগ্নাংশকে গুণ দিয়ে দিবো! https://i0.wp.com/shoshikkha.com/wp-content/uploads/2017/08/Untitled-4.png?resize=496%2C55

একটু কাটাকাটি করে আরেকটু ছোট করে ফেলার পর চেহারা যা দাঁড়ায়ঃ

https://i2.wp.com/shoshikkha.com/wp-content/uploads/2017/08/Untitled-5.png?resize=241%2C41——(2)

একটু যদি যোগ বিয়োগ গুণ করে ফেলি,তাহলে নিচের চেহারার দিকে এগোতে থাকবো!

https://i2.wp.com/shoshikkha.com/wp-content/uploads/2017/08/Untitled-6.png?resize=326%2C116

উপরের সমীকরণের উভয়পক্ষ সত্য হওয়ার জন্যে 2A+B = 3 এবং A-3B = 5 হওয়া বাধ্যতামূলক! এই দু’টো সমীকরণ থেকে A এবং B এর মান বের করে নিলে যা দাড়ায়ঃ

A = 2  এবং B = -1

A এবং B  এর মান দু’টো (১) এ বসিয়ে পাইঃ

https://i0.wp.com/shoshikkha.com/wp-content/uploads/2017/08/Untitled-7.png?resize=306%2C97

হয়ে গেলো আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ! A এবং B এর মান অন্যভাবেও বের করা যেত। আমরা চাইলে (2) এ x=3 এবং x=(-1/2) বসিয়ে A এবং B এর মান বের করে নিতে পারতাম। একই কথা।

অনুশীলনের জন্যেঃ

https://i2.wp.com/shoshikkha.com/wp-content/uploads/2017/08/Untitled-8.png?resize=610%2C58

২) যখন হরে একই উৎপাদক একবারের চেয়ে বেশি থাকে:

এবার ধরো একটা ভগ্নাংশ এমন,যার হরে একই উৎপাদক একের অধিকবার আছে। যেমনঃ

https://i1.wp.com/shoshikkha.com/wp-content/uploads/2017/08/1.png?resize=119%2C49

তখন যেভাবে যা ধরতে এবং করতে হবে তা হচ্ছেঃ
https://i1.wp.com/shoshikkha.com/wp-content/uploads/2017/08/2.png?resize=348%2C57————–(1)

(x-1) যেহেতু দু’বার আছে,তাই একবার,দু’বার এভাবে মোট দুইটা আলাদা ভগ্নাংশে আমাদের ভাগ করে নিতে হবে। যদি তিনবার থাকতো,একইভাবে আমাদের একবার,দু’বার,তিনবার এভাবে ভাগ করে নিলেই হয়ে যেত।

আগের মতোই এবার (১) এর উভয়পক্ষকে (x-1)^2 (x+2) দিয়ে গুণ দিয়ে দিই!

https://i1.wp.com/shoshikkha.com/wp-content/uploads/2017/08/4.png?resize=368%2C44———-(2)

সমীকরণ (২)   এ x=1,-2 বসিয়ে কিছু মান বের করে ফেলা যাক!

https://i1.wp.com/shoshikkha.com/wp-content/uploads/2017/08/4-1.png?resize=685%2C134

A এর মান কীভাবে বের করবে? উত্তরটা হচ্ছেঃ সহগ সমীকৃত করে!

(২) নং থেকে সহগ সমীকৃত করে পাইঃ

https://i2.wp.com/shoshikkha.com/wp-content/uploads/2017/08/4-2.png?resize=457%2C92

উপরের সমীকরণে ভালো করে তাকাও! দরকার শুধু A এর মান। তো x^2 এর সহগ হচ্ছে (A+C) , কিন্তু সমীকরণের বাম দিকে x^2 পদটাই অনুপস্থিত! তার মানে , এর সহগ হচ্ছে শূণ্য!

ধরাই যায়ঃ

A+C = 0

A = -C = 5/9

হয়ে গেল! A,B,C তিনজনের মানই জানা হয়ে গেল।

https://i0.wp.com/shoshikkha.com/wp-content/uploads/2017/08/4-3.png?resize=395%2C62

অনুশীলনের জন্যঃ

https://i1.wp.com/shoshikkha.com/wp-content/uploads/2017/08/4-5.png?resize=482%2C66

৩) যখন হরে উৎপাদকগুলোর মাঝে কেউ এমন থাকে,যে কিনা নিজেই বহুপদী:

এখন একটা ভগ্নাংশ হতে পারে এমনঃ

https://i1.wp.com/shoshikkha.com/wp-content/uploads/2017/08/4-4.png?resize=179%2C52

এর ক্ষেত্রে সমীকরণের ফরমেশন টা একটু আলাদা হবে,বাকি ক্যালকুলেশন সব আগের মতইঃ

https://i0.wp.com/shoshikkha.com/wp-content/uploads/2017/08/4-6.png?resize=318%2C53——(1)

এইযে Ax+B হলো,এইটা সেই পার্টটুকুতেই হবে যার হর-এ তুমি বহুপদীটাকে বসাচ্ছো,

এই সমস্যাটা নিজেরাই সমাধান করো! যদি দেখো A,B,C এর মান যথাক্রমে (-10/7) , (5/7) , (10/7) হয়েছে,তাহলে তোমার সমাধান সঠিক! মান বসিয়ে পেয়ে যাবে আংশিক ভগ্নাংশগুলো।

অনুশীলনের জন্যেঃ

https://i1.wp.com/shoshikkha.com/wp-content/uploads/2017/08/4-7.png?resize=551%2C57

 

অনুশীলনের সমস্যাগুলো সমাধান করে ফেলো।