ESTANDAR

Utilizo las técnicas de aproximación en procesos infinitos numéricos.

COMPONENTE

Pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos.

INDICADOR DE DESEMPEÑO

Aplico las propiedades del conjunto numérico de los números reales para el cálculo de límites.

METODOLOGÍA/ SECUENCIA DIDÁCTICA

1. Unidad didáctica

Limite de  Funciones

2. Propósito

Identificar cuando una función es continua.

3. Desarrollo cognitivo instruccional:

https://www.youtube.com/watch?v=o2UTk8bsLS0&list=PLeySRPnY35dG9t51yT4nCwQEtWwCwvBwn

Limite de una función en un punto

Continuidad y discontinuidad.

Intuitivamente, una función es continua cuando es una función que puede dibujarse de un solo trazo (se puede dibujar sin levantar ninguna vez el lápiz del papel).

Ejemplos de funciones continuas

https://www.youtube.com/watch?v=nTaiyaoyJhw&list=PLeySRPnY35dG9t51yT4nCwQEtWwCwvBwn&index=2

Una función es discontinua cuando tiene algún tipo de “ruptura” en su trazo.

Las tres posibilidades de discontinuidad.

REFLEXIÓN: Importante

Teniendo en cuenta lo que acabamos de ver, una función es continua en x = a si:

1. Existe f(a).
2. Los dos límites laterales existen, son números reales y coinciden.
3. El valor del límite coincide con el de la imagen.

Esas tres propiedades se resumen en:         

Ejemplo 1: Identifiquemos la continuidad de la función  

Solución: Tanto para valores menores que dos, como para valores mayores que 2, la función está definida como una semirrecta, es decir un trozo de una línea recta (función afín). Luego para estos puntos la función es continua. El único punto problemático es x = 2, donde tenemos que ver si los límites laterales a izquierda y derecha deben coincidir con la imagen de la función en 2.

Luego, la función es continua en toda 

Ejemplo 2: Verifiquemos  la continuidad de la función     

Solución: Tanto para valores menores que 0, como para valores mayores, la función está definida como un trozo de una línea recta (función afín). Luego para estos puntos la función es continua. El único punto problemático es x = 0, donde tenemos que ver si los límites laterales a izquierda y derecha deben coincidir con la imagen de la función en 0.

|−1 − (−3)| = 2

La función es discontinua inevitable de salto 2 en x = 0.

Ejercicio 3: Verificar la continuidad de la función:   

Solución: La función f(x) es continua para x ≠ 0. Vamos a estudiar la continuidad en x = 0.

La función no es continua en x = 0, porque no está definida en ese punto.

Ejemplo 4: Calcula el valor de a para que la función siguiente sea continua:  

Solución: Para que sea continua en x=1, deben coincidir los límites laterales.

Sea a un número real, la recta vertical x=a es una asíntota vertical de la función y=f(x) si se verifica alguna de las siguientes propiedades:

Sea b un número real, la recta horizontal y=b es una asíntota horizontal de la función y=f(x) si se verifica alguno de los siguientes límites:

 (b) Ahora  tenemos otra función racional, tienes que estudiar los puntos en los que se anula el denominador: x2+1=0.

Como no se anula para ningún valor de x, no tiene asíntotas verticales.

 El grado del numerador es igual al grado del denominador. En este caso existe una asíntota horizontal.

Para hallar su ecuación tenemos que calcular el límite cuando x tiende a más infinito y a menos infinito.

. Esto quiere decir que la asíntota horizontal es y=1.

4. Desarrollo Metodológico

Actividad: Calcula los siguientes límites a partir de esta gráfica. En caso de no existir escribe no 

5. Evaluación:

Calcula los siguientes límites a partir de la gráfica que te proponemos y selecciona tu respuesta:

1. Límite de f(x) cuando x tiende a -3 por la derecha es

1. -1
2. 1
3. No existe
4. -
5. +

1. Límite de f(x) cuando x tiende a -3 por la izquierda es

1. No existe
2. -1
3. 1
4. -
5. +

1. Límite de f(x) cuando x tiende a 1  es

1. -1
2. 1
3. -
4. +
5. No existe

2. Límite de f(x) cuando x tiende a -1 por la izquierda es

1. -1
2. 1
3. No existe
4. +
5. -

6. Límite de f(x) cuando x tiende a mas infinito “+” es

1. -1
2. 1
3. No existe
4. +
5. -

7. Límite de f(x) cuando x tiende a menos infinito  es

1. -1
2. 1
3. No existe
4. +
5. -