ЧАСТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ИНСТИТУТ МЕЖДУНАРОДНОЙ ТОРГОВЛИ И ПРАВА»

Кафедра экономики и управления

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА

ДИСЦИПЛИНЫ

«МЕТОДЫ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ»

наименование дисциплины (модуля)

Б1.Б.18

(код дисциплины (модуля)

Направление подготовки:  

38.03.01 – Экономика (уровень бакалавриата)

Направленность (профиль) подготовки:

Мировая экономика

Форма обучения: очная, очно-заочная, заочная

Программа подготовки: прикладной бакалавриат

Вид (виды) профессиональной деятельности:

организационно-управленческая

На 2020-2021 учебный год

Москва, 2020

Рабочая программа дисциплины (модуля) составлена и актуализирована на основании:

- Федерального закона от 29.12.2012 г. № 273-ФЗ «Об образовании в Российской
Федерации»;

- Федерального государственного образовательного стандарта высшего образования по направлению подготовки 38.03.01 Экономика (уровень бакалавриата), утвержден приказом Министерства образования и науки Российской Федерации от 12.11.2015 № 1327);

- Приказа Минобрнауки России от 05.04.2017 № 301 «Об утверждении Порядка организации и осуществления образовательной деятельности по образовательным программам высшего образования – программам бакалавриата, программам специалитета, программам магистратуры» (зарегистрирован Минюстом от 14.07.2017, регистрационный № 34320);

- локального нормативного акта образовательного учреждения «Положение о порядке разработки и утверждения образовательных программ высшего образования в Частном образовательном учреждении высшего образования «Институт международной торговли и права»;

- учебных планов  направления подготовки 38.03.01 Экономика (уровень бакалавриата), направленность (профиль) подготовки: «Мировая экономика» форм обучения: очная, очно-заочная, заочная; программа подготовки: программа прикладного бакалавриата; вид профессиональной деятельности: организационно-управленческая), одобренных на заседании
Ученого совета и утвержденных ректором Частного образовательного учреждения высшего образования «Институт международной торговли и права».

Составитель: Верба В.А., к.т.н., доцент

Рабочая программа дисциплины:

- одобрена на заседании кафедры экономики и управления от 11.05.2020 (протокол № 3);

- одобрена на заседании Ученого совета от 13.05.2020 (протокол № 7) и утверждена ректором ЧОУ ВО «ИМТП» 13.05.2020 г.

Оглавление

1. Цели дисциплины        4

2. Задачи дисциплины        4

3. Место дисциплины (модуля) в структуре образовательной программы        4

4. Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине (модулю), соотнесенных с планируемыми результатами освоения образовательной программы        4

5. Объем дисциплины (модуля) в зачетных единицах с указанием количества академических или астрономических часов, выделенных на контактную работу обучающихся с преподавателем (по видам учебных занятий) и на самостоятельную работу обучающихся        7

6. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю)         16

7. Перечень учебно-методического обеспечения для самостоятельной работы обучающихся по дисциплине (модулю)        43

8. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины (модуля)        44

9. Перечень основной и дополнительной учебной литературы, необходимой для освоения дисциплины (модуля)        45

10. Перечень ресурсов информационно-телекоммуникационной сети «Интернет», необходимых для освоения дисциплины        45

11. Перечень информационных технологий, используемых при осуществлении образовательного процесса по дисциплине (модулю), включая перечень программного обеспечения и информационных справочных систем        46

12. Описание материально-технической базы, необходимой для осуществления образовательного процесса по дисциплине (модулю)        46

13. Изменения и дополнения к рабочей программе (модулю)        

47

1. Цель учебной дисциплины

Целью изучения данной дисциплины является реализация требований к освоению соответствующих компонентов профессиональных компетенций (направление «Экономика»), на основе   формирования у студентов системных теоретических знаний, умений и практических навыков при овладении основными базовыми понятиями и методами оптимальных решений, применения изученных методов к решению конкретных управленческих задач.

К целям курса "Методы оптимальных решений" относятся следующие:

• усвоение студентами современных подходов к разработке и принятию управленческих решений;
• умения применять математический аппарат для исследования и решения экономических и управленческих проблем;
• овладение методологией разработки решений и способами их обоснования в условиях определенности, риска и неопределенности;
• формирование навыков по обработке полученных  данных и результатов при исследовании и решении экономических проблем;
• усвоение студентами теоретических знаний и приобретение элементарных практических навыков по формулированию прикладных экономико-математических моделей;
• овладение методами анализа и использованию полученных знаний и навыков для разработки и принятия управленческих решений;
• приобретение студентами навыков анализа проблемных ситуаций в деятельности социально-экономических систем (предприятий, фирм, учреждений и др.);

2. Задачи освоение учебной дисциплины

Задачи дисциплины:

• ознакомить студентов с сущностью, познавательными возможностями и практическим значением моделирования как одного из научных методов познания реальности;
• ознакомить студентов с наиболее распространёнными математическими методами, используемыми в экономико-математическом моделировании;
• сформировать навыки принятия управленческого решения с применением моделей и использованием вычислительной техники;
• научить студентов интерпретации результатов экономико-математического моделирования и применять их для обоснования управленческих решений;
• сформировать основу для дальнейшего самостоятельного изучения приложений экономико-математического моделирования в процессе профессиональной деятельности.

3. Место дисциплины в структуре ОП

Учебная дисциплина «Методы оптимальных решений» является обязательной дисциплиной базовой части образовательной программы.

4. Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине (модулю), соотнесенных с планируемыми результатами освоения образовательной программы

4.1. В результате освоения дисциплины обучающийся должен

Знать:

• основные понятия, определения, теоремы и их следствия и постановку задач линейного программирования (ЛП), примеры экономических задач;
• графический и симплексный методы решения задач ЛП;
• понятие двойственности в ЛП, теоремы двойственности;
• алгоритм решения транспортной задачи;
• решение задач теории игр;
• алгоритм решения задачи нелинейного программирования;
• алгоритм решения задачи динамического программирования;
• задачи планирования и оптимизации на графах.

• основные принципы и типы математических моделей, используемых при описании сложных систем, принятии и анализе решений;
• сложившуюся, к настоящему времени, типизацию и классификацию таких моделей, систем, задач, методов;

Уметь:

• выбирать рациональные варианты действий в практических задачах принятия решений с использованием экономико-математических моделей
• квалифицированно применять изученные методы при решении прикладных задач управленческого и экономического содержания;
• составлять математические модели экономических задач, приводящих к задачам линейного программирования (ЛП), целочисленного, параметрического линейного, нелинейного, динамического программирования;
• решать задачи ЛП симплекс-методом, двойственным симплекс-методом;
• решать транспортные задачи;
• составлять платежные матрицы и решать задачи по теории игр графическим методом, симплекс-методом;
• решать задачи целочисленного программирования графическим методом и методом Гомори;
• решать задачи параметрического программирования (в том числе параметрическую транспортную задачу);
• решать задачу нелинейного программирования графическим способом;
• решать задачу дробно-линейного программирования методом Лагранжа;
• решать задачу динамического программирования с помощью уравнений Беллмана;
• решать задачи оптимизации на графах: находить кратчайшие расстояния между вершинами графа, минимальное остовное дерево, минимальный гамильтонов цикл;
• строить сетевые графики, производить расчет временных характеристик.

Владеть:

• представлением о проблематике и перспективах развития теории принятия решений как одного из важнейших направлений, связанных с созданием и внедрением новых информационных технологий
• умением и навыками исследования, решения и применения задач линейного, целочисленного и динамического программирования;
• умением и навыками исследования, решения и применения задач теории оптимального управления и массового обслуживания.
• умением и навыками составления математической модели задачи линейного программирования и перехода от одной формы записи задачи ЛП к другой;
• умением и навыками составления двойственной задачи линейного программирования;
• умением и навыками решения транспортной задачи;
• умением и навыками решения задачи целочисленного программирования;
• умением и навыками решения задачи параметрического программирования;
• решения парных игр с нулевой суммой;
• умением и навыками решения задачи нелинейного программирования;
• умением и навыками решения задачи динамического программирования;
• умением и навыками использования теории графов при решении практических задач.

4.2. Перечень планируемых результатов обучения применительно к отдельным компетенциям, определенным на дисциплину

5. Объем дисциплины в зачетных единицах с указанием количества
академических часов, выделенных на контактную работу обучающихся с преподавателем и на самостоятельную работу обучающихся

Общая трудоемкость (объем) дисциплины составляет 2 зет (72 часа)

5.1. Объем дисциплины по видам учебных занятий (по формам обучения)

5.2. Содержание дисциплины (модуля), структурированное по темам (разделам) с указанием отведенного на них количества академических часов и видов учебных занятий (по формам обучения)

Очная форма обучения

Очно-заочная форма обучения

Заочная форма обучения

3. Содержание дисциплины, структурированное по темам

Тема 1. Введение. Формализация проблем управления в экономике

Предмет, история и перспективы развития методов оптимальных решений. Математическое описание экономических объектов. Управляемые и прогнозные модели. Управляемость и большая размерность. Основные разделы описания: материальный, финансовый и социальный.

Описание внешней среды. Элементы экономики и элементы описания. Оператор планирования и оператор функционирования. Однопродуктовая схема. Процедура объединения элементов.

Основные схемы и этапы принятия оптимальных решений. Общая постановка и классификация задач оптимизации. Стандартная форма описания схем экономического управления. Планирование и оперативное управление. Примеры формализации (задача о штатах организации и кредите).

Тема 2. Линейное программирование

Общая задача оптимизации и линейное программирование (ЛП). Постановка и формы записи задачи линейного программирования. Экономические приложения. Геометрическая интерпретация задачи. Симплекс-метод: основная схема алгоритма. Экономическая интерпретация итоговой симплекс-таблицы. Метод искусственного базиса.

Двойственные задачи линейного программирования. Основное неравенство теории двойственности. Теорема о существовании прямого и двойственного решений, теорема о дополняющей нежесткости. Примеры использования теорем двойственности для построения оптимального решения задачи ЛП. Анализ модели на чувствительность. Экономическая интерпретация двойственной задачи. Третья теорема двойственности (об оценках). Пример использования объективно обусловленных оценок для принятия оптимальных решений.

Тема 3. Транспортная задача линейного программирования

 Общая постановка транспортной задачи. Открытая и закрытая ТЗ. Метод опорного плана. Метод северо-западного угла. Метод наименьшей стоимости. Определение первоначального распределения поставок в вырожденном случае. Проверка оптимальности базисного распределения поставок. Улучшение неоптимального плана перевозок. Алгоритм распределительного метода.

Методы построения первоначального базисного плана транспортной задачи. Алгоритм метода потенциалов.

Тема 4. Целочисленное программирование и дискретная оптимизация

Целочисленные переменные в задачах экономического планирования. Общая задача целочисленного программирования, общая задача целочисленного ЛП, задача частично-целочисленного программирования.

Геометрическая интерпретация задачи целочисленного программирования. Алгоритм Гомори. Метод ветвей и границ. Задача о назначениях.

Тема 5. Нелинейные задачи оптимизации

Общая постановка задач конечномерной оптимизации. Выпуклые множества и их свойства. Экономическая и геометрическая интерпретации. Теорема Вейерштрасса и следствие из неё. Метод множителей Лагранжа в гладких экстремальных задачах с ограничениями типа равенств и неравенств. Задачи выпуклого программирования. Теорема  Куна-Таккера.

Схемы численных методов оптимизации: градиентный метод с постоянным шагом, метод скорейшего спуска, метод Ньютона, метод проекции градиента.

Тема 6. Многокритериальная оптимизация

Постановка и методы решения задач многокритериальной оптимизации. Примеры многокритериальных задач в экономике.

Тема 7. Математическая теория оптимального управления. Динамическое программирование

Постановка задач оптимального управления. Принцип максимума для дискретных линейных задач оптимального управления. Методы нелинейного программирования в задачах оптимального управления.

Динамическое программирование. Математическая теория оптимального управления. Принцип оптимальности Р. Беллмана. Рекуррентные соотношения Беллмана. Численные методы расчета оптимальных программ. Схемы динамического программирования в задачах оптимального управления.

Тема 8. Марковские процессы; задачи систем массового обслуживания

Понятие марковского случайного процесса. Потоки событий. Уравнения Колмогорова. Процессы «рождения-гибели». Экономико-математическая постановка задач массового обслуживания. Задачи анализа замкнутых и разомкнутых систем массового обслуживания

 Модели систем массового обслуживания в коммерческой деятельности. СМО с отказами. СМО с ожиданием (очередью).

5.4. Планы практических занятий.

Практическое занятие 1 по теме:  

«Введение. Формализация проблем управления в экономике»

.

Цель и задачи: углубление теоретических знаний и приобретение практических навыков освоения основных типов математических моделей, используемых при описании сложных систем и при принятии решений, типизацию и классификацию' таких моделей, систем, задач, методов.

Содержание занятия:

1. Вопросы к обсуждению:

1. Виды математических моделей.
2. Разделы и примеры описания
3. Математическая классификация используемых моделей
4. Способы реализации идеи обратной связи в экономике (алгоритмы, стратегии управления)
5. Одношаговые и многошаговые процедуры принятия решений

Задания для самостоятельной работы: подготовить доклад на темы:

• Непрерывность и дискретное время
• Одношаговые и многошаговые процедуры принятия управленческих решений
• Априорная и текущая информация.

Практическое занятие 2 по теме:

 «Линейное программирование»

Цель и задачи: углубление теоретических знаний и приобретение практических навыков в линейном программировании.  

Содержание занятия:

Вопросы к обсуждению:

1. Формулировки и экономические приложения
2. Двойственные задачи ЛП (определения, пример).
3. Теорема о существовании прямого и двойственного решений, теорема о дополняющей нежёсткости.
4. Симплекс метод: основная схема алгоритма.

Задания для самостоятельной работы: подготовить доклад на тему: «Использование теорем двойственности для построения оптимального решения задачи ЛП»

Практическое занятие 3 по теме:

«Транспортная задача линейного программирования»

Цель и задачи: углубление теоретических знаний и приобретение практических навыков постановки и решения транспортных задач.

Содержание занятия:

Вопросы к обсуждению:

1. В чем специфика модели транспортной задачи как задачи линейного программирования? Какие методы применяются для решения транспортной задачи?
2. Что понимается под открытой и закрытой транспортными задачами? Как выполняется сведение открытой транспортной задачи к закрытому типу? В чем заключается условие баланса? 
3. Для чего используются методы северо-западного угла и минимального элемента? В чем их суть? Сравните эти методы по эффективности.  
4. Дайте определения понятиям: допустимый план, опорный план, вырожденный опорный план, оптимальный план, потенциал, псевдостоимость, цикл, перенос по циклу, цена цикла.
5. Дайте экономическую интерпретацию метода потенциалов.
6. Решите транспортные задачи методом потенциалов.

Задания для самостоятельной работы: подготовить доклад на тему «Алгоритма метода потенциалов для решения транспортной задачи (на произвольном примере)»

Практическое занятие 4 по теме:

«Целочисленное программирование и дискретная оптимизация»

Цель и задачи: углубление теоретических знаний и приобретение практических навыков в области моделей и методов дискретного программирования

Содержание занятия:

Вопросы к обсуждению:

1. Отличие области допустимых решений задач ЛП от области допустимых решений задач дискретного ЛП.
2. Какой метод эффективнее: ветвей и границ для ЦЛП или простого перебора? Почему?
3. Какие вершины называются прозондированными в методе ветвей и границ для ЦЛП?
4. Постановка и формы записи задачи ЛП.
5. Геометрическая интерпретация задачи ЛП (постановка задачи, алгоритм решения).

Задания для самостоятельной работы: подготовить доклад на тему «Метод ветвей и границ для решения задачи ЦЛП»

Практическое занятие 5 по теме:

«Нелинейные задачи оптимизации»

Цель и задачи: углубление теоретических знаний и приобретение практических навыков в области моделей нелинейного программирования.  

Содержание занятия:

Вопросы к обсуждению:

1. Примеры математических моделей, в которых учитываются ограничения.
2. Какой вид имеет допустимая область при разных типах ограничений?
3. Учёт ограничения-равенства в методе прямой оптимизации.
4. Чем определяется количество множителей Лагранжа?
5. Почему при использовании штрафных функций решение лежит за границей допустимой области?
6. Как должен выбираться шаг в методах скорейшего поиска с учетом ограничений?

Задания для самостоятельной работы: подготовить доклад на тему «Изменение длины приведенного градиента по мере приближения к решению»  

Практическое занятие 6 по теме:

«Многокритериальная оптимизация»

Цель и задачи: углубление теоретических знаний и приобретение практических навыков в области многокритериальной оптимизации как математической модели принятия оптимальных решений по нескольким критериям.  

Содержание занятия:

Вопросы к обсуждению:

1. Отличие эффективных решений многокритериальной задачи от слабоэффективных решений?
2. В чем цель нормализации критериев? По какой схеме проводят нормализацию критериев?
3. Отличие решения, полученного методом уступок от остальных решений из множества Парето.

Задания для самостоятельной работы: подготовить доклад на тему «»  

Практическое занятие 7 по теме:  

«Математическая теория оптимального управления. Динамическое программирование»

Цель и задачи: углубление теоретических знаний и приобретение практических навыков в области динамического программирования, как способа решения сложных задач путём разбиения их на более простые.  

Содержание занятия:

Вопросы к обсуждению:

1. В чем заключается основная задача динамического программирования?
2. Опишите особенности процесса принятия решения в динамическом программировании.
3. Какие операции называются многошаговыми?
4. Что понимается под термином «управляемые процессы»?
5. В чем состоит смысл принципа оптимальности?

Задания для самостоятельной работы: подготовить доклад на тему «Основа вычислительных алгоритмов динамического программирования»  

Номер задания по практикуму: разделы 9.1.1, 9.1.2, 9.1.3, 9.2, 9.3

Практическое занятие 8 по теме

«Марковские процессы: задачи систем массового обслуживания»

Цель и задачи: углубление теоретических знаний и приобретение практических навыков по использованию моделей систем массового обслуживания.  

Содержание занятия:

Вопросы к обсуждению:

1. Что такое одноканальная система?

2. Что такое однофазовая система?

3. Что такое очередь?

4. Что такое распределение времени обслуживания?

5. Что означает и как определяется среднее время в очереди?

6. Что означает и как определяется среднее время в системе?

7. Что означает и как определяется среднее число клиентов в очереди?

8. Что означает и как определяется среднее число клиентов в системе?

9. Что означает и как определяется средний темп поступления заявок?

         10. Что означает и как определяется средняя длина очереди?

Задания для самостоятельной работы: подготовить доклад на тему «Моделирование систем массового обслуживания»  

6. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине.

6.1. Описание показателей и критериев оценивания компетенций на различных этапах их формирования, описание шкал оценивания

6.2. Типовые контрольные задания или иные материалы, необходимые для оценки знаний, умений, навыков и (или) опыта деятельности, характеризующих этапы формирования компетенций в процессе освоения образовательной программы

6.2.1. Вопросы для подготовки к зачёту

а) типовые задания (вопросы)

1. Важнейшие математические понятия
2. Векторное пространство
3. Множества векторного пространства
4. Функции нескольких переменных
5. Дифференцируемые функции нескольких переменных
6. Теоретические основы оптимизации
7. Постановка задачи оптимизации
8. Выпуклые и вогнутые функции
9. Разновидности задач оптимизации
10. Теорема Вейерштрасса
11. Условия экстремума
12. Общие сведения
13. Условия безусловного экстремума первого порядка
14. Условия безусловного экстремума второго порядка
15. Необходимые и достаточные условия экстремума в задаче с ограничениями в форме равенств
16. Необходимые и достаточные условия экстремума в задаче с ограничениями в форме неравенств
17. Условия экстремума в седловой форме
18. Задачи линейного программирования и их свойства
19. Общая задача линейного программирования
20. Геометрия задачи линейного программирования
21. Каноническая задача линейного программирования
22. Симплекс-метод
23. Идея симплекс-метода
24. Алгоритм симплекс-метода
25. Пример применения алгоритма симплекс-метода
26. Двухфазный симплекс-метод
27. Метод искусственных переменных
28. Прикладные  задачи  линейного  программирования
29. Задача о производстве продукции при ограниченных запасах сырья
30. Задача об оптимальном распределении деталей по станкам
31. Транспортная задача
32. Методы оптимизации функций одной переменной  
33. Метод локализации экстремума
34. Метод золотого сечения
35. Метод Фибоначчи
36. Метод равномерного перебора
37. Методы безусловной оптимизации
38. Общая схема методов подъема
39. Метод покоординатного подъема
40. Метод многогранника
41. Градиентные методы
42. Метод Ньютона
43. Методы условной оптимизации
44. Метод покоординатного подъема
45. Метод условного градиента
46. Метод штрафных функций
47. Метод барьерных функций
48. Дискретные управляемые системы
49. Общие сведения об управляемых системах
50. Задача оптимального управления. Принцип оптимальности
51. Постановка задачи оптимального управления
52. Принцип оптимальности Р. Беллмана
53. Схема применения принципа оптимальности
54. Пример применения принципа оптимальности

6.2.2. Практические задания.

Задание № 1

Предприятие выпускает два наименования товаров - А и В, для производства которых используется сырье трех видов. Известны нормы затрат сырья (по видам) на производство единицы каждого наименования, общее количество сырья каждого вида, которым обеспечено производство, размер запланированной прибыли от реализации единицы товара каждого вида (см. соответствующую таблицу). Необходимо составить план производства изделий А и В, обеспечивающий наибольшую прибыль от их реализации. Порядок выполнения. 1. Построить математическую модель задачи (симметричного вида). 2. Решить задачу графическим методом. 3. Осуществить переход к каноническому виду задачи. 4. Решить задачу симплекс-методом. 5. Построить модель двойственной задачи и определить ее решение.

Задание №2

На трех базах находится однородный груз в известных количествах. Его необходимо привезти в пять магазинов, потребности которых в данном грузе известны. Нужно спланировать перевозки так, чтобы весь имеющийся груз был распределен, заказы всех магазинов были выполнены, общая стоимость перевозок при заданных тарифах была минимальной. Порядок выполнения. 1. Построить математическую модель задачи. 2. Найти первоначальное распределение перевозок методом минимального тарифа (1-7, 9-10 варианты) или методом северо-западного угла (8 вариант). 3. Оптимизировать полученное опорное решение методом потенциалов. (Числовые данные для выполнения решения задачи - запасы, потребности, тарифы – смотреть в соответствующей таблице).

Задание №3

Предприниматель планирует закупку трех партий новых товаров (1П, 2П, 3П) в условиях неясной рыночной конъюнктуры, относительно которой известны возможные состояния (1Р, 2Р, 3Р), а также объемы товарооборота по каждому варианту и их условные вероятности. Определить предпочтительный план закупки товаров. (Решение игры провести с использованием критериев Вальда, Гурвица с параметром k=0,4, Лапласа (1-5 варианты); Вальда, Сэвиджа, Байеса (6-10 варианты)).

Задание №4

Дана таблица структурно-временных параметров комплекса работ и сетевой граф, отражающий порядок и взаимосвязь данных работ. Необходимо рассчитать основные параметры сетевого план-графика (ранние сроки наступления событий, ранние сроки окончания работ, поздние сроки наступления событий, поздние сроки начала работ, полный и свободный резервы времени) и построить критические пути.

Задание №5 1-5 варианты:

На оптовую базу прибывают автомобили с промышленными товарами, причем за единицу времени - машин. Разгрузку осуществляют n бригад грузчиков, каждая из которых на разгрузку одной машины в среднем затрачивает время, равное обсt. Территория базы позволяет разместить m машин, ожидающих разгрузки. Для данной СМО необходимо: а) указать все возможные состояния; б) построить размеченный граф состояний; в) определить основные параметры, характеризующие ее работу; г) сделать экономический анализ эффективности работы данной СМО и возможности ее повышения.

Задание №5 6-10 варианты:

 В магазине установлены n расчетных касс, каждая из которых обслуживает в среднем покупателей в единицу времени. Считая, что поток покупателей простейшим с интенсивностью заявок в единицу времени, найти все основные характеристики данной СМО. Для данной СМО необходимо: а) указать все возможные состояния; б) построить размеченный граф состояний; в) определить основные параметры, характеризующие ее работу; г) сделать экономический анализ эффективности работы данной СМО и возможности ее повышения.

Вариант №1

Задание №1

Задание №2

Задание №3

Задание №4

Задание №5

Вариант №2

Задание №1

Задание №2

Задание №3

Задание №4

Задание №5

Вариант №3

Задание №1

Задание №2

Задание №3

Задание №4

Задание №5

Вариант №4

Задание №1

Задание №2

Задание №3

Задание №4

Задание №5

Вариант №5

Задание №1

Задание №2

Задание №3

Задание №4

Задание №5

Вариант №6

Задание №1

Задание №2

Задание №3

Задание №4

Задание №5

Вариант №7

Задание №1

Задание №2

Задание №3

Задание №4

Задание №5

Вариант №8

Задание №1

Задание №2

Задание №3

Задание №4

Задание №5

Вариант №9

Задание №1

Задание №2

Задание №3

Задание №4

Задание №5

Вариант №10

Задание №1

Задание №2

Задание №3

Задание №4

Задание №5

Задача 1. На производство поступила достаточно большая партия стержней длиной 250 и 190 см. Нужно получить 470 заготовок длиной 120 см. и 450 заготовок длиной 80. Отходы должны быть минимизированы. Построить математическую модель данной задачи.

Задача 2. Найти максимум функции F = x1+x2 при условиях: 2x1+4x2 ≤ 16,  -4x1+2x2 ≤ 8,  x1+3x2 ≥ 9, x1,x2 ≥0. Обосновать.

Задача 3. Найти максимум функции  F = 2x1+x2-x3+x4 -x5 при условиях  x1+x2+x5=5, 2x1+x2+x4= 9,  x1+2x2+x5=7,  x1,x2,x3,x4 ,x5≥0. Указание: использовать симплекс метод.

Задача 4. Для производства продукции трёх видов A, B, C используются три различных вида сырья. Каждый из видов сырья может быть использован в объёме не большем, чем 180, 210 и 236 кг. соответственно. Нормы затрат каждого из видов сырья на 1 кг. продукции данного вида и цена единицы продукции каждого вида приведены в таблице:

Потратив 50 т.р. фирма может открыть производство 4-го вида продукции, нормы затрат сырья на единицу, которого составляют 2, 4 и 3 кг. соответственно, а цена 1 кг. равна 18 т.р. При этом функциональность старых линий производства не нарушается. Определить, окупится ли открытие новой линии производства при таких предположениях.

Задача 5. Дана задача линейного программирования f(x) = ‹c,x›→max, c = (c1,...,cn), Ax=b, b=(b1,...,bm). Доказать, что если эта задача имеет решение (f* < +∞), то f(x)=const для любых допустимых x.

Решение открытой транспортной задачи методом потенциалов

Задача На оптовых складах А1, А2, А3, А4 имеются запасы некоторого продукта в известных количествах, который необходимо доставить в магазины В1, В2, В3, В4, В5. Известны также тарифы на перевозку единицы продукта из каждого склада в каждый магазин.

Найти такой вариант прикрепления магазинов к складам, при котором сумма затрат на перевозку была бы минимальной.

Задача 1.3
           Некоторая фирма выпускает два набора удобрений для газонов: обычный и улучшенный. В обычный набор входит 3 кг азотных, 4 кг фосфорных и 1 кг калийных удобрений, а в улучшенный – 2 кг азотных, 6 кг фосфорных и 3 кг калийных удобрений. Известно, что для некоторого газона требуется, по меньшей мере, 10 кг азотных, 20 кг фосфорных и 7 кг калийных удобрений. Обычный набор стоит 3 ден. ед., а улучшенный – 4 ден. ед. Какие и сколько наборов удобрений нужно купить, чтобы обеспечить эффективное питание почвы и минимизировать стоимость?

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на максимум, и почему?

Задача 

Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.

Требуется:

1.Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.

2.Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.

3.Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.

4.На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

• проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

• определить, как изменятся выручка от реализации продукции и план ее выпуска при увеличении запасов сырья I и II видов на 8 и 10 единиц соответственно и уменьшении на 5 единиц запасов сырья III вида;

• оценить целесообразность включения в план изделия Д ценой 10 единиц, на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида сырья.

Задача 

Промышленная группа предприятий (холдинг) выпускает продукцию трех видов, при этом каждое из трех предприятий группы специализируется на выпуске продукции одного вида: первое предприятие специализируется на выпуске продукции первого вида, второе предприятие – продукции второго вида, третье предприятие – продукции третьего вида. Часть выпускаемой продукции потребляется предприятиями холдинга (идет на внутренне потребление), остальная часть поставляется за его пределы (внешним потребителям, является конечным продуктом).

 Специалистами управляющей компании получены экономические оценки aij (i=1, 2, 3; j=1, 2, 3) элементов технологической матрицы А (норма расхода, коэффициентов прямых материальных затрат) и элементов yi вектора конечной продукции Y.

Требуется:

1. Проверить продуктивность технологической матрицы А=(aij) (матрицы коэффициентов прямых материальных затрат).

2. Построить баланс (заполнить таблицу) производства и распределения продукции предприятий холдинга.

Задача 

В течении девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн.руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя приведен ниже в таблице.

Требуется:

1. Проверить наличие аномальных наблюдений.

2. Построить линейную модель (t) = a0 +a1t, параметры которой оценить МНК ( (t)) — расчетные, смоделированные значения временного ряда).

3. Оценить адекватность построенных моделей, используя
свойства независимости остаточной компоненты, случайности и
соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7—3,7).

4. Оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.

5. По двум построенным моделям осуществить прогноз
спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности p = 70%).

6. Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.

Вычисления провести с одним знаком в дробной части. Основные промежуточные результаты вычислений представить в таблицах (при использовании компьютера представить соответствующие листинги с комментариями).

Задача Характеристики ОЕ с одним входом и одним выходом заданы таблицей:

• представить МПВ графически;
• выделить эффективные и неэффективные ОЕ;
• рассчитать графическим методом эффективность по входу и выходу для одной неэффективной ОЕ

Задача.

Найти максимум функции f(x,y)=xy при ограничениях (x-2)2+(y-3)2≤ 1.

Задача. 

Дана функция f(x,y) = x2-xy+y2+x-y и начальная точка x0=0, y0 = 0.  Сделать два шага по методу градиентного спуска при том, что α0=½.

Задача. 

Свести задачу о сетевом планировании (в которой требуется найти минимальное время, за которое может быть реализован проект), заданную в виде графа работ, к общему виду транспортной задачи (транспортная сеть с промежуточными пунктами).  

Задача. 

Пусть X – некоторое выпуклое множество в конечномерном пространстве Rn, а f(x) – выпуклая непрерывно-дифференцируемая функция, определённая на всём Rn. Доказать, что выполнение для некоторого x0 из X и любых x из X неравенства ‹f'(x0), x-x0›≥0 является необходимым и достаточным условием того, что в x0 достигается глобальный минимум функции f(x) на множестве X.  

1. Рассмотрим ситуацию, возникающую при слиянии двух фирм А и В. Их оценки относительно обсуждающихся в ходе переговоров вопросов показаны в таблице.

Постройте справедливое решение, используя процедуру «подстраивающийся победитель».

Задача.

Постройте мажоритарный граф при следующих предпочтениях участников на множестве  относительно кандидатов из множества :

    ;

    ;

    ;

    .

Есть ли здесь победитель Кондорсе? Проанализируйте полученный результат.

Задача 

Пусть , где ,  и . Найдите максимальное паросочетание в G, пользуясь алгоритмом его построения.

Задача 

Совет директоров банка состоит из пяти человек P, A, B, C, D. Президент банка Р имеет три голоса, остальные члены совета директоров – по одному. Правило принятия решения – минимум пять голосов «за». Известно, что Р и вице-президенты А и В в силу определенных причин никогда не голосуют все вместе за одно решение. Найдите индексы влияния Банцафа для каждого члена совета директоров.

Задача 

Доказать, что стабильное паросочетание, получаемое в задаче о марьяжах (с линейными предпочтениями) результате алгоритма отложенного принятия с предлагающими мужчинами для каждого из мужчин не хуже, чем любое другое стабильное паросочетание.

в) Критерии оценки учебных действий студентов по решению учебно-профессиональных задач на практических занятиях

6.2.3. Тестовые задания для самоконтроля.

6.3. Методические материалы, определяющие процедуры оценивания знаний, умений, навыков и (или) опыта деятельности, характеризующих этапы формирования компетенций

Компетенции по дисциплине «Методы оптимальных решений» формируются в ходе проведения лекционных и практических занятий, а также в процессе решения учебно-профессиональных задач обучающимися. Для оценивания знаний, умений, навыков и опыта деятельности, характеризующих этапы формирования компетенций, обучающихся используется тестирование, решение профессиональных задач, написание реферата.

Оценивание знаний, умений, навыков и опыта деятельности, характеризующих этапы формирования компетенций (ОПК-2,ОПК-4) осуществляется с помощью ПРИМЕРНЫХ ТЕМ РЕФЕРАТОВ, ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ, ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАДАНИЙ, ВОПРОСАМ ИТОГОВОГО КОНТРОЛЯ по дисциплине.

6.3.1 Критерии оценивания компетенций (результатов) на зачете/экзамене по дисциплине

6.3.3. Критерии оценки учебных действий по решению учебно-профессиональных задач на практических (семинарских) занятиях

6.3.4. Критерии оценки знаний, навыков, умений, обучающихся при ответе на тестовые задания