Ludwig Sylow, grup teorisindeki temel sonuçları içeren Sylow Teoremlerini ispatlamış Norveçli bir matematikçidir. Sylow teoremlerini vermeden önce ihtiyacımız olacak bir iki mevzuyu açıklamakta fayda var. Anlatılan konularda, öncesini yani temel grup aksiyomların bilindiği varsayılacaktır.

Eşlenik Sınıfları

Bu bölümde bir grup ve bu grubun alt grupları arasındaki bir kaç önemli aritmetik ilişkiden bahsedeceğiz. Lagrange teoremi; grubu, alt grupların eş kümelerine(kosetlere) parçalayarak ispatlanmıştı. Şimdi bunun bir diğer verimli yolu ise eşlenik sınıflarıdır. Eşlenik sınıfları ile grubu, elemanlarına parçalayabiliriz.

Diyelim ki  ve ,  grubunun elemanları olsun. Eğer  grubundaki bazı ’ler için  ise diyoruz ki  ve (burada ’ye ’nın eşleniği denir.),  grubunda eşleniktir. ’nın eşlenik sınıfı ise ’dir.

’nın eşlenik sınıfı aynı zamanda ’nın denklik sınıfıdır. Böylece biz herhangi bir grubu, ayrık eşlenik sınıfları olarak yazabiliriz. Misal dihedral grup olan ’e bakalım. Dihedral gruplar yani bildiğiniz üzere  sonucunu verir. Bir kare düşünün. Saat yönünde her 90 derece çevirmenizde yine size kareyi verir, yani sonuçlar simetriktir. Şimdi ise kareyi; yatay, dikey ve köşegenlerden kesin. Sonuç olarak elinizde yine simetrik kalacaktır ve toplamda 8 sonuca ulaşmış olduk. Bunu matematikte yukarıda saydığımız sırayla şöyle yazıyoruz.

.

Sıradaki teorem ’nın merkezleyeni ile ’nın eşleniklerinin arasındaki aritmetiksel ilişkiyi verir.

Teorem 1

sonlu bir grup ve ,  ’nin bir elemanı olsun. Öyleyse ’dır.

İspat: eş kümesini(koset) ’nın eşleniği ’e gönderen bir T fonksiyonu düşünün. İyi bir hesaplama ile T’nin iyi tanımlanmış, birebir ve sol eş kümelerinin ’nın eşlenik sınıfları üzerine örten olduğu görülür. Böylece, ’nın eşleniklerinin sayısı ’nın merkezleyeninin indisidir.

Sonuç 1: Sonlu bir grupta , ’yi böler.

Sınıf Denklemi

Eşlenik sınıflarının bir grubu parçalamasından beri Teorem 1’in bir sonucu olarak aşağıdaki önemli sonuca ulaşabiliriz.

Sonuç 2: Herhangi bir sonlu  grubu için, ’dir. Yani ’nin her eşlenik sınıfının birinden bir elemanın toplamıdır.

Sonlu grup teorisinde, bu gibi sonuçları saymak çok güçlü bir araçtır. Teorem 2, asal sayıların kuvvetlerinin sonlu gruplar hakkındaki tek gerçeğidir. gibi bir sonlu grupta  asal ise buna  diyeceğiz.

Teorem 2  önemli(nontrivial) merkezlere sahiptir.

, bir asal sayısının bir kuvvetinin mertebesi olan sonlu önemli bir grup olsun. Ve bir elemandan fazlasına sahiptir.

İspat: Ancak ve ancak  ise olduğunu gözleyin. Böylece istediğimiz elemanları seçerek sınıf denklemini formunda yazabiliriz. Burada toplam sembolü, birden fazla elemanı olan bütün eşlenik sınıflarının üzerinde çalışır. Fakat . Yani içindeki her eleman formuna sahiptir iken. Bundan dolayı olur. Soldaki her terim  ile bölünebilir. Sonrasında , ’yi de böler. Dolayısıyla ’dir.

Sonuç: bir asal sayı iken ise  abelyendir.

İspat: Teorem 2 ve Lagrange Teoreminden, ’dir. Eğer ise ve abelyendir. Eğer  ise , yani devirlidir.

Sylow Teoremleri

Hatırlatmakta fayda var ki Lagrange teoreminin tersi doğru değildir. Çünkü , ’nin bölebildiği ve  ninci mertebeden bir grup ise ,  ninci mertebeden ihtiyacı olan alt grupları yoktur. Sıradaki teorem ise Lagrange teoreminin kısmen tersidir. Teorem 2 ilk defa Norveçli matematikçi Ludwig Sylow tarafından ispatlanmıştır. Sylow teoremleri ve Lagrange teoremleri sonlu grup teorisinin en önemli iki sonucudur. Birincisi alt grupların varlığının yeterli şartlarını, ikincisi ise gerekli şartlarını verecektir.

Sylow Birinci Teoremi (Alt grupların Varlığı)

 sonlu bir grup ve bir asal sayı olsun. Eğer ; ’yi bölerse, ’nin nıncı mertebeden  en az bir alt grubu vardır.

İspat:  üzerinde tümevarım ile devam edelim. Eğer ise, teorem az da olsa doğrudur. Şimdi ifadenin ’nin mertebesinden daha düşük olan bütün gruplar için doğru olduğunu kabul edelim. Eğer ’nin gibi uygun bir alt grubu varsa ki , ’yi böler ve bizim tümevarım varsayımımızdan ’nin nıncı mertebeden bir alt grubu olması tamamlanmıştır. Bundan böyle ’nın ’nin herhangi uygun bir alt grubunu bölmediğini varsayalım. Şimdi için sınıf denklemine bakalım.

Burada toplama işlemi iken her eşlenik sınıfı, , üzerinde çalışır. ’nın ’yı böldüğünden ve ’yı bölmediğinden biz biliyoruz ki , ’yi kesinlikle bölüyor. için sonlu abelyen grupların temel teoremi de ’nin . mertebeden bir elemanı olduğunu söyler. , ’nin merkezinde olduğundan , ’nin bir normal alt grubudur. Şimdi grup ’i çarpanlara ayıralım. ’in ’i böldüğünü görün. Böylece tümevarım hipotezimizden ’in mertebesinden alt grupları vardır. Bu grup ayrıca formundadır. Çünkü , ’nin bir alt grubudur. Son olarak ve , olduğunu gösterir ki bu da ispatı tamamlar.

Şimdi Sylow’un birinci teoremini gerçekten anladık mı bakalım. Elimizde  mertebesinden bir grubu olsun. Sylow birinci teorem diyor ki ’nin her mertebeden yani ’den en az bir alt grubu olsun. Diğer taraftan bu teorem veya diğer ’nin farklı bölenlerinin mertebelerinden alt grupları olduğunu söylemiyor. Çünkü Sylow’un birinci teoremi, sonlu gruplar teorisinde kilit rol oynadığından belli gruplar kesindir.

Sylow p-alt grupları

, sonlu bir grup ve ,’yi bölebilen bir asal sayı olsun. Eğer , ’yi bölerse ve , ’yi bölmezse ’nin herhangi bir mertebesinden alt grubu Sylow p-alt grubu olarak adlandırılır. Şimdi tekrar yukarıdaki örneğe dönersek mertebeden herhangi bir alt grubunu ’nin olarak, mertebeden herhangi bir alt grubunu ’nin ve benzer şekilde diğerleri için söyleyebiliriz. Dikkat ettiyseniz ’nin Lagrange teoreminden kendini oluşturan
’nin en büyük mertebesinin alt grubudur.

Cauchy teoreminden genelleme yaptığımızda mertebeden bir alt grup devirlidir. Teorem ilk defa Cauchy tarafından 1845’te ispatlanmıştır.

Sonuç:  bir sonlu grup ve , ’nin mertebesini bölen bir asal sayı olsun. Öyleyse ’nin mertebeden bir elemanı vardır.

Sonlu grup teorisindeki Sylow’un birinci teoremi üzerine yıllarca çalışılmış ve bir çok ispat yapılmıştır. Esasında bizim ispatımız Georg Frobenius’un (1849-1917) 1895’te yaptığı ispattır.

Dikkat ettiyseniz sonlu abelyen grupların ve Sylow’un birinci teoremi gösteriyor ki Lagrange teoreminin tersi bütün sonlu abelyen grupların ve asal kuvvetlerin mertebesinden bütün sonlu grupları için doğrudur.

Sonlu grup teorisinde iki önemli Sylow teoremi daha var. Öncesinde yeni bir terim tanımlayalım.

Eşlenik Alt Grupları

’nin vegibi iki alt grubu olsun. Eğer bir  elemanı varsa ’de ve ise ve birbirinin eşleniğidir.

Eğer , üzerinde bir sonlu permütasyon grubu ise ve , ’yi böler.

Sylow İkinci Teoremi

Eğer ,  sonlu bir grubunun alt grubu ve , bir  asalının bir kuvveti ise ,’nin alt gruplarından bir kısmını içerir.

İspat: ’nin bir Sylow alt grubu ve ’de ’nın bütün eşleniklerinden oluşan kümede  ile olsun. Eşleniklik bir otomorfizma olduğundan ’nin her bir elemanı ’nin bir grubudur. ’de ’nin bütün permütasyonlarından oluşan grubu belirtsin. Her için olduğundan ’yi tanımlayabiliriz. Her olduğunu göstermek kolaydır.

Şimdi den  gibi bir gösterim tanımlayalım. olduğundan olur. Bu nedenden , ’den ’ye bir homomorfizmadır.

Şimdi ’yi yani altında ’nin görüntüsünü düşünelim. ,’nin bir kuvveti olduğundan ’dir. Böylece yörünge sabitleyici teoremden her  için , ’yi böler. Yani , ’nin bir kuvvetidir. Şimdi soruyoruz: Hangi şartlar altında ’dir? demek ’nin elemanı olan her için  Bundan dolayı ancak ve ancak  o ’dir. Fakat yalnızca ’nin asal mertebelerinden oluşan ’dir. Böylece ’dir ancak ve ancak olduğunda.

Şimdi, ispatı tamamlamak için tüm yapmamız gereken bazı ’ler için olduğunu göstermek. Teorem 1’e benzer olarak elimizde var. , ile bölünmediğinden ile de bölünmez. Çünkü yörünge bölümlemesi, ise asal kuvvetlerinin toplamıdır. Eğer birden büyük yörünge değeri yoksa her toplamı böler ve bu nedenle , ’yi böler ki bu bir çelişkidir. Böylece boyutu bir olan bir yörünge vardır ve bu da ispatı tamamlar.

Sylow Üçüncü Teoremi

bir asal sayı olsun ve , ’nin ’yi bölmediğinde . merteden bir grup olsun. Şimdi Sylow alt gruplarının sayısı , modülünde ’e eşittir ve ’yi böler. Dahası herhangi iki alt grubu birbirinin eşleniğidir.

İspat: , ’nin herhangi bir alt grubu ve ’de ’nın eşleniklerinin olduşturduğu bir setile  olsun. İlk ispatlamamız gereken şey ’dir.

ve , ikinci teoremin ispatından alınsın. Bu sefer ’yı yani altında ’nın görüntüsünü ele alalım. Eskisi gibi , her  için ’nin kuvvetidir ve ancak ve ancak olduğunda doğrudur. Böylece ’dir ve her iken ’nin ’den büyük olan kuvvetleridir. Yörünge bölümlemesi olduğundan, o da ’de ’dir.

Şimdi ’nin her bir alt grubunun ’ye ait olduğunu gösterelim. Bunu yapmak için farz edelim ki ’nin olan ama ’nin olmayan bir alt grubu olsun. Yine ve ’yi ’den alalım. Bu sefer ’yi düşünelim. Bir önceki paragrafta olduğu gibi , altında bütün yörüngelerin boyutları toplamı kadardı. Ancak , ’de olmadığından boyu 1 olan bir yörünge yoktu. Böylece , tarafından bölünebilen terimlerin toplamıdır. Yani ’de ’dır. Bu çelişki, ’nin ’ye ait olduğunu ve buradaki  ise ’nin alt gruplarının sayısını gösterir.

Son olarak gerçeğinden ,’yi böler.

Bir grubun alt gruplarının sayısını ile göstermek daha kullanışlıdır. Dikkat ettiyseniz ’nin ilk kısmı sayma ilkesidir. Bu teoremin bir sonucu olarak aşağıdakini söyleyebiliriz.

Sonuç: Bir tek alt grubu normaldir.

Sonlu bir grup olan ’ye ait bir alt grubu ancak ve ancak ’nin tek bir alt grubu varsa normaldir. İki örnekle teoremi açıklayalım.

’ün alt gruplarına bakalım: ve  göre elimizdekilerin ikisinden üçüncüsünü eşleniğinden elde edebilmeliyiz. Gerçekten de, ve

’ün alt gruplarına bakalım: ,, ve  ’dur.

Öyleyse;

,

,

 olur.

Böylece alt gruplarının sayısı ’te ’dir ve dört alt grubu da eşleniktir.

Aşağıdaki şekillerde ve gruplarının latis gösterimi verilmiştir. alt gruplarını eşlenik altında bir yörüngeye ait olduklarını göstermek için kesikli çizgilerle bağladık. ’ün ikinci mertebeden 3 alt grubunun alt grubunu içerdiğini  gereği gözleyin. İşin ilginç yanı, bu 3 alt grup eşlenik altında bir yörüngeye aittir. Ama bu, bir sonucu değildir.

Sylow Teoreminin Uygulamaları

Bir kaç nümerik örnek, Sylow teoremlerini hayata geçirecektir. ’nin kırkıncı mertebeden bir grup olduğunu düşünelim. Bu durumda Sylow teoremleri bize hakkında ne söyleyecektir? Modül 5’te kongrüenti 1 olan 40’ın tek böleni 1 olduğundan biz biliyoruz ki 5. mertebeden kesinlikle en az bir alt grubu vardır, bu nedenle normaldir. Benzer şekilde ’nin 8. mertebeden bir veya beş alt grubu vardır. Eğer sekizinci mertebeden bir tane alt grubu varsa, normaldir. Eğer beş alt grup varsa normal değildir ve beşi de özellikle seçilen birinden elde edilebilir. Misal diyelim ve çeşitli ’ler için ’i hesaplayalım. Sonunda beşinci mertebeden normal alt grupları ile gösterelim ve ise sekizinci mertebeden herhangi bir alt grubu göstersin. Öyleyse ’dır. Eğer normal olursa, bile diyebiliriz.

Peki mertebeden  için ne diyebiliriz? Kesinlikle beşinci mertebeden bir veya altı alt grubu vardır ve üçüncü mertebeden bir veya on alt grubu vardır. (Daha sonra da ’nin 30’dan fazla elemanı olacaktır. Böylece, üçüncü ve beşinci mertebeden bir alt grubu vardır ve bunlardan en az bir tanesi ’de normaldir. Üçüncü mertebeden bir alt grup ile beşinci mertebeden bir alt grubun çarpımı on beşinci mertebedendir ki ikisi de devirlidir ve ’de normaldir. Yani 15. mertebeden devirli alt grupların bir üreteci olsun ve , 2. mertebeden bir elemanı olsun(varlığı Cauchy Teoreminden kesindir.).  olduğunu görürüz. Grubun sadece mertebesinden bütün bu bilgileri çıkardığımızı görün. Sadece bir varsayımdan bir çok sonuç! Bu da sonlu grup teorisinin bir güzelliğidir.

mertebesinden devirli gruplar

, ile asal sayı iken ve , ’i bölmüyorsa , devirlidir. Bilhassa , ’ya izomorfiktir.

99. mertebeden grupların belirlenmesi

, 99. mertebeden bir grup olsun. ise ’nin olsun ve ,’nin  olsun. 99’un ’de ’e eşit olan tek pozitif böleni olduğundan biz,  ve onun sonucundan biliyoruz ki , ’de normaldir. Benzer şekilde ’da ’de normaldir. mertebesinden devirli grupların ispatını vermedik ama ispatından ve değişmelidir. Bu nedenle ’dır. Değişmeli gruplar abelyen olduğundan ve ’de abelyendir. Böylece , veya ’e izomorfiktir.

66. mertebeden grupların belirlenmesi

, 66. mertebeden bir grup olsun. ise ’nin olsun ve , ’nin olsun. 66’nın ’de ’e eşit olan tek pozitif böleni olduğundan biz,  ve onun sonucundan biliyoruz ki , ’de normaldir. Böylece , ’nin mertebeden bir alt grubudur. mertebeden herhangi bir grubun devirli olduğunu bildiğimizden  yazabiliriz. Şimdi  ve  olsun. ’de , iki indekse sahiptir, bunun normal olduğunu biliyoruz. Yani ’den ’ye bazı  değerleri için ’dir. Sonra  ve ’nin her üyesi formunda olduğundan ’nin yapısı tamamen ’nin değeri ile belirlenmiştir. Biz orada sadece farklı olduğunu iddia ediyoruz. Bunu ispatlamak için olduğunu gözlemleyin. Böylece  ve aralarında asaldır. Ayrıca ikinci mertebeden olduğundan

’dir. Böylece ’dir. Bu nedenle , ’i böler. Bunu takip ederek , ’i böler ve bu nedenle ’dir. Bu ve diğer bilgiden yola çıkarsak  hakkında bildiklerimiz var. Yani ’dir. Bu da mertebeden en çok grup olduğunu kanıtlar.

grup olduğunu göstermek için basitçe mertebeden olduğunu ve herhangi ikisinin izormorfik olmadığını gözledik. Misal ikinci mertebeden elemana sahipken yalnızca ikinci mertebeden elemana sahiptir.  

mertebeden tek grup ’dir.

, mertebeden bir grup olsun ve , ’nin bir olsun. , ’nin tek  Yani ’dir. ’yi böler. Yani ’dır. ’ın ve ’yı kesin böldüğünden ’dir. Böylece ’dir. Bu şu demektir: ’nin her elemanı ’nin her elemanıyla değişmelidir. Bu nedenle ’dir. Böylece (in içinden gelen), ’yi böler. Yani , ’e eşittir ve ’de ’e eşittir. Ama yalnızca olanlar devirlidir. Yani biz ’nin devirli olduğunu biliyoruz. Vermediğimiz bir teorem gereği () abelyendir ve sonlu abelyen grupların temel teoremi de bize ’nin devirli olduğunu söyler.

Basit Gruplar

Basit grup kavramı ilk olarak 180 yıl önce Galois tarafından tanıtıldı. Basit gruplar teorisi uçsuz bucaksız ve zor bir konudur.

Tanım: Bir grup sadece normal alt grupları birim ve kendisiyse basit gruptur. Başka bir deyimle birim ve kendisinden başka normal alt grubu olmayan gruplara basit grup denir.

’in basitliği, sembol üzerine çift permütasyonların grubu bunun ispatında çok önemli bir rol oynamıştır. Çünkü genel dereceden polinomların bir köklü çözümü yoktur. Öyleyse basit grupları önemli yapan nedir? Onlar önemli çünkü sayılar teorisindeki asallarınkine veya kimyadaki elementlerle bir şekilde benzerdir. Yani onlar gruplar için yapı taşları olarak görev yapmaktadır. Bu yapı taşları buranın devamındaki gibi belirlenebilir. Sonlu bir grubu verilsin. veya daha büyük mertebeden uygun bir normal alt grubu seçin, sonra grubunun çarpanları basittir. Devamında bu sefer ’in veya daha büyük mertebesinden uygun bir normal alt grubu seçin, ’de basittir. Bu şekilde olana kadar devam ediyoruz. Basit gruplar , ’nin çarpanlara ayrılmış birleşimidir. 100 yıldan daha uzun bir süre önce Jordan ve Hölder, tanımlı süreçten gelen normal alt gruplarının seçimlerinin bağımsız olduğu bu çarpanlarca ispatlanmıştır. Belirgin bir şekilde bir grup, bu çarpanlarla ve bir grubun çokça verilmiş özelliğinden yeniden inşa edilebilir. Bu ve gerçek şu ki sonlu gruplar hakkındaki çoğu soru tümevarım ile bütün sonlu grupların belirlenmesinin önemi  hakkındaki sorulara düşürülebilir.

Misal hangi gruplar basittir? Abelyen basit gruplar kesinlikle asal ikenbasittir. Normalde abelyen olmayan basit grupların açıklanması inanılmaz derecede zordur. Burada bizim yapabileceğimiz bir kaç örnek vermek ve bunun keşfine dair bir kaç şeyden söz etmek olacak. ’nin için için basit olduğunu ilk gözlemleyen Galois’dir 1831’de. Sonraki keşiftler 1870’te Jordan tarafından asal iken üzerinde basit matris gruplarının dört sonsuz ailesi olduğunu bulmuştur. Bunlardan biri olmadığında ’dir. 1892 ve 1905 yılları arasında Amerikalı matematikçi Leonard Dickson; Jordan’ın bulduğu sonuçları, basit gruplara ve keşfettiği bir kaç yeni sonsuz aileye genelleştirmiştir.

https://goo.gl/Vwc9d9

Fatih YILDIZ