1. Aritmetiğin Temel Teoremi (The Fundamental Theorem of Arithmetic)
  1. Tanım

Bu teorem Euclid tarafından ortaya atılmış, Gauss tarafından da ispatlanmıştır. Bu teorem der ki; herhangi bir doğal sayı ( olmasın), bir takım asal sayıların çarpımı olarak yazılabilir. Yani her doğal sayının açılımı, eşsizdir. Hâl böyle olunca da teoremin ispatı,  ifadeden oluşur. Birincisi; her doğal sayının(hep hariç) bir takım asal sayılar tarafından çarpım hâlinde yazılabilmesi, ikincisi ise eşsiz olmasıdır.

  1. İspat

        Öncelikle asal çarpanlara ayırmanın varlığını kanıtlayalım.  doğal sayısı ile başlayalım.  zaten bir asal sayı olduğu için  olarak asal çarpanlarına ayırdık diyebiliriz. Farz edelim ki bu teoriyi çürütecek en küçük doğal sayı  olsun. Eğer  asal ise, kanıtlanmıştır. Eğer  bileşik ise,  ve kendisi için asal bölenleri vardır. Öyleyse  ve  olan  doğal sayı vardır.
 ve  

Tümevarımdan yola çıkarak  ve ’yi asal çarpanlarına ayıralım.  ve asalları için
 ve  Öyleyse  ile gösterilebilir. Bu da, ’nin asal çarpanlarına ayrılması için gereklidir.

Böylece matematiğin tümevarım yöntemine göre herhangi bir sayı, asalların çarpımına göre açıklanabilir. Sırada, herhangi bir doğal sayının asal çarpanlarına ayrılmasının her doğal sayı için eşsiz bir asal dizilime sahip olduğunu göstereceğiz. Bunun için iki yardımcı ifadeye(teoreme) ihtiyacımız var. Bu yardımcı ifadelere matematikte ‘Lemma’ diyoruz.

  1. İspat

Lemma 1

        İki pozitif tamsayı olan  ve  nin bütün tamsayılarla olan seti ,  ve ’nin  ve  katsayıları ile lineer kombinasyonlarıdır. Bu tamsayı kümesini  ile gösterelim. Bu  kümesinin içindeki elemanların da ’dan büyük elemanlarının olduğu alt kümeyi  ile gösterelim. Bu alt küme ’nin içinden alalım. Öyleyse en büyük ortak böleni olur.

Lemma 1 İspat

        Öncelikle ’nin ’yı böldüğünü gösterelim. Tamsayıların bölünmesinin genel formülünü uygularsak Bölme işleminden kalanımız olan ’nin,  olduğunu göstereceğiz.  ve  tamsayıları ile  yazılabilir. Bunu da …1 eşitliğinde yerine yazalım.  olur. Bunu da  olarak yazabiliriz. Buradan da son eşitlikteki ’nin  ve  katsayılarına da baktığımızda  kümesine ait bir elemandır. Farz edelim ki , öyleyse , ’nin bir alt kümesine aittir. Bu sebepten , ’den ya büyük ya da eşit olmalı. Çünkü , ’nin en küçük elemanıydı. Bu da ….1 deki  ile çelişir. Öyleyse dır. Böylece ’nin ’yı böldüğü gösterilmiş olur.

Benzer şekilde , ’yi de böler. Böylece ,  ve ’nin ortak bir böleni olur.  gibi bir forma sahip olduğundan  ve ’nin herhangi bir ortak böleni de ’yi böler. Bundan dolayı da ,  ve ’nin en büyük ortak böleni olur. Sonuç olarak Lemma 1 kanıtlanmış olur.

Lemma 2

         asal sayısı;  ve  sayılarının çarpımı olan ’yi bölerse,  veya ’yi de böler.

Lemma 2 İspat

        Diyelim ki  asal sayımız ’yı bölemiyor. Öyleyse ’yi bölmeli. , ’yı bölemediğinden ve asal olduğundan en büyük ortak bölenleri ’dir. Öyleyse  ve  tamsayıları ve gibi bir form olmalı. Her iki tarafı  ile çarparsak  olur. Varsayımdan ’nin ’yi böldüğünü biliyoruz. Öyleyse , ’yi de böler. Öyleyse , ’i ve dolayısıyla ’yi de böler. Sonuç olarak Lemma 2 kanıtlanmış olur.

Şimdi, herhangi bir doğal sayının çarpanlarına ayrılmasının eşsizliğinin kanıtını basitçe açıklayabiliriz.

Varsayalım ki çarpanlarına ayrılmış bir doğal sayımız var. Bu varsayım altında da en küçük doğal sayımız olan ’nin bir kaç çarpanı vardır.

 olsun. Öyleyse ,  yi böler. Lemma 2’den ,  yi böler. Ayrıca diyelim ki ,  i böler.  ve asal olduğundan  in  ve  gibi iki farklı şekilde çarpanlarına ayrılmış olsun. , ’den küçük olduğundan; varsayımsal olarak en küçük doğal sayının iki farklı çarpanlara ayrımı vardır.

Yukarıdaki için çarpanlarına ayırma işlemi aslında özdeştir. Yani tüm için  ve ’dir. Böylece ’nin çarpanları aslında özdeştir.

Dolayısıyla herhangi bir pozitif tamsayının çarpanlarına ayrılması tektir.

Fatih YILDIZ
http://goo.gl/4RJsQ8