Drehungen in euklidischen Vektorräumen

Ein euklidischer Vektorraum ist ein Vektorraum mit Skalarprodukt. Er hat besondere geometrische Eigenschaften. Die linearen Abbildungen sind Längen- und Winkeltreu. Daher hat der Vektorraum eine orthonormale Basis. Das bedeutet, die Basisvektoren stehen paarweise senkrecht aufeinander und haben die Länge 1.

Seien  V = Rn ,  x und y zwei Spaltenvektoren , dann wird das Skalarprodukt üblicherweise folgendermaßen definiert  <x,y> := xT∗y, wobei T die Transposition bezeichnet.

Dann bilden e1 = (1,0,..),  e2 = (0,1,..),  … en   = ( 0,..,1) eine orthonormale Basis. Wie sehen die Drehungen aus?

n=2.

Die Drehungen werden beschrieben durch die Drehachse in Richtung e1 und durch den Drehwinkel 𝛂 bezüglich e2 .

Die Drehmatrix der linearen Abbildung sieht dann folgendermaßen aus:

 ⎡ cos(𝛂) -sin(𝛂) ⎤

 ⎣ sin(𝛂)  cos(𝛂) ⎦

N=3.

Die Drehungen werden beschrieben durch eine Drehachse in Richtung e1 und einen Drehwinkel 𝛂 in der Ebene, die senkrecht zur Drehachse steht.

Die Drehmatrix der linearen Abbildung sieht dann folgendermaßen aus:

   ⎧   𝟏       𝟎          𝟎        ⎫    

   ⎪   𝟎    cos⦗𝛼⦘  -sin⦗𝛼⦘   ⎥

   ⎩   𝟎    sin⦗𝛼⦘   cos⦗𝛼⦘   ⎭

n=4.

D() bezeichnet die Drehmatrix im Fall n = 2.

                ⎡D(𝞪)    0   ⎤

D(𝛂,𝛃) =  ⎣  0    D(𝞫) ⎦

Diese Drehmatrix der linearen Abbildung wird also beschrieben durch 2 lineare Ebenen, die senkrecht aufeinander stehen und jeweils einen eigenen Drehwinkel haben.

Außerdem zeigt die Drehmatrix, dass der Vektorraum die direkte Summe der beiden Ebenen ist, da ihr Durchschnitt 0 ist.

Man muss wissen, nicht jede lineare Abbildung ist eine Drehung. Sondern es sind genau die, die zur sogenannten spezielle Orthogonale Gruppe SO(n) gehören.

Außerdem muss man wissen, dass  durch die Drehungen im Rn auch die Drehungen einer Kugel beschrieben werden, deren Mittelpunkt der Nullpunkt des Rn ist. Das liegt an der Euklidizität, bei der Längen und Winkel erhalten bleiben und die Kugel daher in sich abgebildet wird

Wie sieht die Schnittmenge mit der 3-dimensionalen Oberfläche aus? Es ist offensichtlich eine Kugel, da die beiden Ebenen Großkreise ergeben.

Wir haben also das bemerkenswerte Ergebnis, dass die 3-dimensionale Oberfläche unserer 4-dimensionalen Kugel - also das Universum - selbst eine 3-dimensionale Kugel ist.