M1. Función multivariable

L1.2 Límites y continuidad de una función de varias variables. Derivadas parciales

(T1.1) límite y continuidad de una función de varias variables

 Límite de funciones de varias variables

Después de analizar los conceptos más importantes de funciones en dos y tres variables, nos

enfocaremos en extender el concepto de límite para este tipo de funciones.

Es importante recordar que el concepto intuitivo de límite para una f

función significa que, a medida que x se acerca cada vez

más al valor real a,   se aproxima más y más a L Recuérdese

que cuando afirmamos que x se acerca mas y mas al valor a

queremos expresar que a se aproxima arbitrariamente a este valor desde

cualquier lado de a (derecha o izquierda). Además, el límite debe ser el

mismo cuando x se acerca al valor de en las dos direcciones                         figura 1: por Fisicalab, s.f.

                                                                         https://www.fisicalab.com/apartado/concepto-limite-funcion

Para funciones en varias variables, la idea es similar. Cuando expresamos

                                                            Queremos afirmar que cuando  se acerca más y más al punto

                                                           , se aproxima más y más al valor real L. En este caso

                                                        se puede  acercar al punto  por cualquier trayectoria que  

                                                           pase por este punto.Observemos que, a diferencia de lo que

                                                           Ocurre con las funciones de una variable, hay infinitas trayectorias

                                                           Diferentes que pasan por el punto dado. 

                                                           En consecuencia, si encontramos dos trayectorias que pasan por el      

                                                           punto ,Donde la función tiende a valores diferentes, entonces el  

                                                          límite NO existe

 Figura 2:Imagen tomada de

Stewart, J. (2011). Cálculo

 (7.ª ed.p. 829)

                                                                                                                                                                   Para muchas funciones, podemos evaluar límites por simple inspección identificando lo que ocurre con la función se acerca a un punto específico, por ejemplo:

De manera similar, se puede razonar que:

Pero nuestro interés es estudiar límites que no son inmediatos.

Definición

Sea una función definida en el interior de una circunferencia con centro en el punto  excepto posiblemente en  Decimos  

Si para todo, existe su correspondiente  tal que

 Siempre que 

En la definición se expresa que dado cualquier                                                                             (no importa que tan pequeño sea), es posible encontrar                                                                             otro valor  , tal que todos los puntos que se encuentran                                                                              dentro de la circunferencia con centro en  y radio ,                                                                            su imagen cae en el intervalo  

                                                                                                           Figura 3: Elaborada por Expertic.UIS                                          

                                                                                                     https://www.geogebra.org/classic/ds6fqsf6 

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  Al igual que en los límites de funciones en una variable, a partir de la definición se puede demostrar los resultados usuales para límites de sumas, productos y cocientes. Es decir:

 (Propiedad homogénea)

(Propiedad aditiva)

 Donde  

Anteriormente especificamos que para demostrar que un límite no existe, debemos encontrar por lo menos dos trayectorias diferentes que pasen por el punto especificado en donde la función tienda a valores diferentes o se disparen. Ahora surge un interrogante ¿Qué herramientas utilizar si un límite existe, pero no es inmediato? Una de ellas es la definición formal como ya se ilustró en el ejemplo anterior, otra es una manipulación algebraica para tratar de eliminar la indeterminación o intentar utilizar coordenadas polares, si es posible. A continuación, formalizamos otra herramienta que es la generalización del teorema del emparedado para límites de funciones en una variable.

Teorema.  Supongamos que  para todo  dentro de una circunferencia con centro en , excepto posiblemente en (.

Si

Definición

Sea  una función definida en una esfera con centro en , excepto posiblemente en  Decimos que

Si para todo , existe su correspondiente   tales que,

  Siempre que  

Observemos que, lo mismo que con los límites de funciones de dos variables, la definición anterior expresa que para que se cumpla  debemos tener que  se acerca a  por cualquier posible trayectoria que pasa por

Lo mismo que para una función de dos variables, se observa que si una función de tres variables se acerca a diferentes límites por dos trayectorias particulares o se disparen, entonces el límite no existe.

Continuidad de funciones de varias variables 

Recordando el concepto de continuidad en una función de una variable está conectado con el concepto de límite. En este caso la función es continua en un valor, siempre que el límite y la imagen de este coincidan. Esta misma caracterización se aplica a las funciones continuas de varias variables. A continuación, se presentan los tres casos que corresponden a la caracterización de las funciones

Definición

Una función de dos variables es continua en un punto  si se satisface

Si  no es continua en el punto  entonces  se llama una discontinuidad de

Observación

Como la definición de continuidad para una función de dos variables es análoga a la de continuidad para una función en una variable, entonces la interpretación geométrica es similar. Es decir, la gráfica de la superficie correspondiente a una función continua de dos variables, no presenta ninguna interrupción (huecos o saltos).

Antes de definir el concepto de continuidad en una región , necesitamos definir primero el concepto de región abierta y cerrada en dos dimensiones. Denominaremos “disco abierto” a la región interior de una circunferencia y “disco cerrado” a la región interior de la circunferencia junto con los puntos de la misma.

Definición

i) Un punto  se denomina “punto interior” de , si existe por lo menos un disco abierto centrado en  que está dentro de

ii) Un punto  se denomina “punto frontera” de , si todo disco abierto centrado en  contiene puntos dentro de  y fuera de.

iii) Un conjunto  es cerrado si contiene todos sus puntos frontera.

iv) Un conjunto  es abierto si no contiene ni uno de sus puntos frontera.

Definición

i)  Una funciónde dos variables es continua en un conjunto abierto , sies continua para todo .

ii) Una función de dos variables es continua en un conjunto cerrado , si es continua en el abierto y sies continúa en todo punto frontera . Esto es, si

,      

Observación

La notación adicional  indica que el límite se toma a lo largo de todas las trayectorias contenidas completamente en el interior de .

Puesto que la definición de continuidad está en términos de límites, tenemos de manera inmediata los siguientes resultados:

Si  son continuas en , entonces las siguientes funciones también son continuas en , donde  en el último caso.

Observación

Al igual que en las funciones continuas en una variable, se cumple que las funciones de dos variables de la forma: polinómicas, racionales, radicales, trigonométricas, trigonométricas inversas, exponenciales y logarítmicas, son continuas en todo su dominio.

El siguiente resultado demuestra que podemos usar todos nuestros resultados establecidos para la continuidad en funciones de una variable, al considerar funciones de varias variables.

Teorema

Sean  una función continua enuna función continua en  Entonces,

es continua en

Observación

Todos los análisis que se hicieron para funciones continuas en dos variables se extienden a funciones de tres (o más) variables, en forma natural.

Definición

Una funciónde tres variables es continua en  si se satisface

Si no es continua en entonces llamamos a una discontinuidad de f.

(T1.4) Derivadas parciales de primer orden y orden superior

Recordando, la derivada de una función en una variable está dada

Partiendo del supuesto que el límite exista.

En esta sección nos enfocaremos a extender el concepto a funciones de dos y más variables, así como el concepto de derivadas parciales de orden superior.

Definición.

Las primeras derivadas parciales de una función de dos variables están dadas:

Derivada parcial en          

Derivada parcial en          

Partiendo del supuesto que los límites existen.

Ejemplo. Aplicando la definición, encontrar las primeras derivadas parciales de la función

Solución.

Considerando  como una constante, tenemos:

Considerando como una constante, entonces

Observaciones.

i) Otras notaciones que se utilizan para mostrar las primeras derivadas parciales de la funciónson:

ii) Al igual que ocurrió con las funciones en una variable, las primeras derivadas parciales de la función Se pueden interpretar como límites, razones de cambio instantáneas en direcciones paralelas a los ejes coordenados y, a continuación, veremos que también representan la pendiente de una recta tangente en un punto dado.

iii) De la definición se desprende que, para derivar parcialmente una función de varias variables con respecto a una de ellas, se consideran las demás variables como constantes y se utilizan las derivadas ordinarias en dicha variable.

iv) Interpretación geométrica. Consideremos la superficie

Ejemplo. Hallar las primeras derivadas parciales de la función .

Solución. Para hallar , se debe resolver como la derivada de un producto considerando a constante. Entonces

Para encontrar  se considera a  como constante. Por tanto

El concepto de derivadas parciales se extiende en forma natural a funciones de tres o más variables independientes. Esto es, si   es una función en

n-variables, entonces las primeras derivadas parciales están dadas.

Para todo  Partiendo del supuesto que los límites existan.

Derivadas parciales de orden superior

De igual manera que ocurrió para funciones en una variable, podemos encontrar las derivadas parciales de una función de varias variables, de orden 2, orden 3, etc. Veamos un diagrama considerando una función en dos variables , el cual se puede extender a funciones de tres o más variables.

Ejemplo. Calcular las cuatro derivadas parciales de segundo orden de la función

Solución. Las primeras derivadas parciales son

Observación. En el diagrama se puede ver que una función de dos variables  tiene dos primeras derivadas parciales, cuatro derivadas parciales de orden dos, ocho derivadas parciales de orden tres, dieciséis derivadas parciales de orden cuatro y así sucesivamente. De las cuatro derivadas parciales de orden dos, hay dos que se denominan derivadas cruzadas  . De orden tres hay dos ternas que se denominan derivadas cruzadas , etc. Estas derivadas cruzadas tienen la característica de que el resultado se extiende a las derivadas cruzadas de tercer orden y más.

Teorema de Clairaut 

Si   son continuas en un conjunto abierto que contiene a , entonces