M1. Función multivariable
L1.2 Límites y continuidad de una función de varias variables. Derivadas parciales
(T1.1) límite y continuidad de una función de varias variables
Límite de funciones de varias variables
Después de analizar los conceptos más importantes de funciones en dos y tres variables, nos
enfocaremos en extender el concepto de límite para este tipo de funciones.
Es importante recordar que el concepto intuitivo de límite para una
función significa que, a medida que x se acerca cada vez
más al valor real a, se aproxima más y más a L Recuérdese
que cuando afirmamos que x se acerca mas y mas al valor a
queremos expresar que a se aproxima arbitrariamente a este valor desde
cualquier lado de a (derecha o izquierda). Además, el límite debe ser el
mismo cuando x se acerca al valor de en las dos direcciones
Para funciones en varias variables, la idea es similar. Cuando expresamos
Queremos afirmar que cuando se acerca más y más al punto
, se aproxima más y más al valor real L. En este caso
se puede acercar al punto por cualquier trayectoria que
pase por este punto.Observemos que, a diferencia de lo que
Ocurre con las funciones de una variable, hay infinitas trayectorias
Diferentes que pasan por el punto dado.
En consecuencia, si encontramos dos trayectorias que pasan por el
punto ,Donde la función tiende a valores diferentes, entonces el
limite NO existe
Para muchas funciones, podemos evaluar límites por simple inspección identificando lo que ocurre con la función se acerca a un punto específico, por ejemplo:
De manera similar, se puede razonar que:
Pero nuestro interés es estudiar límites que no son inmediatos.
Definición
Sea una función definida en el interior de una circunferencia con centro en el punto excepto posiblemente en Decimos
Si para todo, existe su correspondiente tal que
Siempre que
En la definición se expresa que dado cualquier (no importa que tan pequeño sea), es posible encontrar otro valor , tal que todos los puntos que se encuentran dentro de la circunferencia con centro en y radio , su imagen cae en el intervalo
Si desea modificar la gráfica ingrese al siguiente enlace: https://www.geogebra.org/classic/ds6fqsf6
Al igual que en los límites de funciones en una variable, a partir de la definición se puede demostrar los resultados usuales para límites de sumas, productos y cocientes. Es decir:
(Propiedad homogénea)
(Propiedad aditiva)
Donde
Anteriormente especificamos que para demostrar que un límite no existe, debemos encontrar por lo menos dos trayectorias diferentes que pasen por el punto especificado en donde la función tienda a valores diferentes o se disparen. Ahora surge un interrogante ¿Qué herramientas utilizar si un límite existe, pero no es inmediato? Una de ellas es la definición formal como ya se ilustró en el ejemplo anterior, otra es una manipulación algebraica para tratar de eliminar la indeterminación o intentar utilizar coordenadas polares, si es posible. A continuación, formalizamos otra herramienta que es la generalización del teorema del emparedado para límites de funciones en una variable.
Teorema. Supongamos que para todo dentro de una circunferencia con centro en , excepto posiblemente en (.
Definición
Sea una función definida en una esfera con centro en , excepto posiblemente en Decimos que
Si para todo , existe su correspondiente tales que,
Siempre que
Observemos que, lo mismo que con los límites de funciones de dos variables, la definición anterior expresa que para que se cumpla debemos tener que se acerca a por cualquier posible trayectoria que pasa por
Lo mismo que para una función de dos variables, se observa que si una función de tres variables se acerca a diferentes límites por dos trayectorias particulares o se disparen, entonces el límite no existe.
(T1.3.1) Continuidad de funciones de varias variables
Recordando el concepto de continuidad en una función de una variable está conectado con el concepto de límite. En este caso la función es continua en un valor, siempre que el límite y la imagen de este coincidan. Esta misma caracterización se aplica a las funciones continuas de varias variables. A continuación, se presentan los tres casos que corresponden a la caracterización de las funciones
La función es continua en su dominio | La función es discontinua en (hueco) |
La función es discontinua en (Salto) |
Definición
Una función de dos variables es continua en un punto si se satisface
Si no es continua en el punto entonces se llama una discontinuidad de
Observación
Como la definición de continuidad para una función de dos variables es análoga a la de continuidad para una función en una variable, entonces la interpretación geométrica es similar. Es decir, la gráfica de la superficie correspondiente a una función continua de dos variables, no presenta ninguna interrupción (huecos o saltos).
Antes de definir el concepto de continuidad en una región , necesitamos definir primero el concepto de región abierta y cerrada en dos dimensiones. Denominaremos “disco abierto” a la región interior de una circunferencia y “disco cerrado” a la región interior
de la circunferencia junto con los puntos de la misma.
Definición
i) Un punto se denomina “punto interior” de , si existe por lo menos un disco abierto centrado en que está dentro de
ii) Un punto se denomina “punto frontera” de , si todo disco abierto centrado en contiene puntos dentro de y fuera de.
iii) Un conjunto es cerrado si contiene todos sus puntos frontera.
iv) Un conjunto es abierto si no contiene ni uno de sus puntos frontera.
Definición
i) Una funciónde dos variables es continua en un conjunto abierto , sies continua para todo .
ii) Una función de dos variables es continua en un conjunto cerrado , si es continua en el abierto y sies continúa en todo punto frontera . Esto es, si
,
Observación
La notación adicional indica que el límite se toma a lo largo de todas las trayectorias contenidas completamente en el interior de .
Puesto que la definición de continuidad está en términos de límites, tenemos de manera inmediata los siguientes resultados
Si son continuas en , entonces las siguientes funciones también son continuas en , donde en el último caso.
Observación
Al igual que en las funciones continuas en una variable, se cumple que las funciones de dos variables de la forma: polinómicas, racionales, radicales, trigonométricas, trigonométricas inversas, exponenciales y logarítmicas, son continuas en todo su dominio.
El siguiente resultado demuestra que podemos usar todos nuestros resultados establecidos para la continuidad en funciones de una variable, al considerar funciones de varias variables.
Teorema
Sean una función continua enuna función continua en Entonces,
es continua en
Observación
Todos los análisis que se hicieron para funciones continuas en dos variables se extienden a funciones de tres (o más) variables, en forma natural.
Definición
Una funciónde tres variables es continua en si se satisface
Si no es continua en entonces llamamos a una discontinuidad de
Recordando, la derivada de una función en una variable está dada
Partiendo del supuesto que el límite exista.
En esta sección nos enfocaremos a extender el concepto a funciones de dos y más variables, así como el concepto de derivadas parciales de orden superior.
Definición.
Las primeras derivadas parciales de una función de dos variables están dadas:
Derivada parcial en
Derivada parcial en
Partiendo del supuesto que los límites existan.
Ejemplo. Aplicando la definición, encontrar las primeras derivadas parciales de la función
Solución.
Considerando como una constante, tenemos:
Considerando como una constante, entonces
Observaciones.
i) Otras notaciones que se utilizan para mostrar las primeras derivadas parciales de la funciónson:
ii) Al igual que ocurrió con las funciones en una variable, las primeras derivadas parciales de la función Se pueden interpretar como límites, razones de cambio instantáneas en direcciones paralelas a los ejes coordenados y, a continuación, veremos que también representan la pendiente de una recta tangente en un punto dado.
iii) De la definición se desprende que, para derivar parcialmente una función de varias variables con respecto a una de ellas, se consideran las demás variables como constantes y se utilizan las derivadas ordinarias en dicha variable.
iv) Interpretación geométrica. Consideremos la superficie
El plano corta a la superficie en una curva . La recta tangente a la curva en tiene como pendiente | El plano corta a la superficie en una curva . La recta tangente a la curva en tiene como pendiente |
Ejemplo. Una empresa fabrica dos tipos de estufas de combustión de madera, el modelo auto estable y el modelo para inserción en una chimenea. La función de costo para producir estufas auto ajustables y de inserción en una chimenea es:
Calcular los costos marginales , cuando
Solución. Las primeras derivadas parciales son
Por tanto,
Ejemplo. La superficie , y el plano se intersecan en una curva . Encuentre la pendiente de la recta tangente a en el punto
Solución. La pendiente de esta recta tangente está dada por Entonces
Por tanto,
Ejemplo. Hallar las primeras derivadas parciales de la función .
Solución. Para hallar , se debe resolver como la derivada de un producto considerando a constante. Entonces
Para encontrar se considera a como constante. Por tanto
El concepto de derivadas parciales se extiende en forma natural a funciones de tres o más variables independientes. Esto es, si es una función en
n-variables, entonces las primeras derivadas parciales están dadas.
Para todo Partiendo del supuesto que los límites existan.
Derivadas parciales de orden superior
De igual manera que ocurrió para funciones en una variable, podemos encontrar las derivadas parciales de una función de varias variables, de orden 2, orden 3, etc. Veamos un diagrama considerando una función en dos variables , el cual se puede extender a funciones de tres o más variables.
Ejemplo. Calcular las cuatro derivadas parciales de segundo orden de la función
Solución. Las primeras derivadas parciales son
Considerando la función , se deriva con respecto a
Ahora, derivando la función con respecto a se tiene
Observación. En el diagrama se puede ver que una función de dos variables tiene dos primeras derivadas parciales, cuatro derivadas parciales de orden dos, ocho derivadas parciales de orden tres, dieciséis derivadas parciales de orden cuatro y así sucesivamente. De las cuatro derivadas parciales de orden dos, hay dos que se denominan derivadas cruzadas . De orden tres hay dos ternas que se denominan derivadas cruzadas , etc. Estas derivadas cruzadas tienen la característica de que el resultado se extiende a las derivadas cruzadas de tercer orden y más.
Teorema de Clairaut
Si son continuas en un conjunto abierto que contiene a , entonces
Ejemplo. Muestre que las derivadas parciales cruzadas (mixtas), para la función que aparece a continuación son iguales
Solución. Para encontrar , primero se deriva la función con respecto a y luego este resultado en. Entonces,
Luego,
Para hallar , primero se deriva la función con respecto a y luego este resultado en Entonces,
Por tanto,