Задача 1. Найдите отношение двух сторон треугольника, если его медиана, выходящая из их общей вершины, образует с этими сторонами углы в 30° и 90°.

1 способ решения. Мы знаем, что медиана  разбивает данный треугольник на два равновеликих треугольника. Значит, площадь треугольника АВК равна площади треугольника КВС.

SАВК = 0,5 АВ∙ВК∙ sin30° = 0,5 АВ∙ВК∙ 0,5 = 0,25 АВ∙ВК,

SАВК = 0,5 ВС∙ВК,

Приравнивая правые части, получаем 0,25 АВ∙ВК = 0,5 ВС∙ВК, отсюда, умножая обе части равенства на 4, получаем АВ∙ВК = 2 ВС∙ВК. Делим на ВК, АВ = 2 ВС.

2 способ решения. Продолжим медиану за точку К на её длину, то есть ВК = КD. Тогда АВСD -параллелограмм.Обозначим длину его меньшей стороны АD = х, тогда в прямоугольном треугольнике  АВD катет АD равен половине гипотенузы (так как лежит против угла АВК = 30°). То есть гипотенуза АВ=2х. ВС=АD=х. АВ/ВС=2х/х=2/1.

3 способ решения. Продолжим сторону АВ за точку В на её длину, то есть АВ = ВР. Тогда ВК – средняя линия треугольника АРС, ВК параллельна РС. Соответственные углы АВК и ВРС равны 30°. Накрестлежащие углы КВС и ВСР равны 90°. В прямоугольном треугольнике  ВРС катет ВС равен половине гипотенузы ВР. То есть АВ = ВР = 2 ВС.

4 способ решения. Продолжим сторону ВС за точку В на её длину, то есть ВЕ = ВС. Тогда ВК – средняя линия треугольника АЕС, ВК параллельна АЕ. Соответственные углы ВЕА и КВС равны 90°. Накрестлежащие углы ЕАВ и АВК равны 30°. В прямоугольном треугольнике  ВЕА катет ВЕ равен половине гипотенузы АВ. То есть АВ = 2 ВЕ = 2 ВС.