AULA 4 – TAREFA

Na aula 4, vimos a matriz que, quando aplicada a um vetor do plano (2D), realiza sua rotação de  radianos em torno da origem, no sentido anti-horário.

Nesta tarefa, você vai mostrar que essa rotação também pode ser feita por meio da multiplicação de números complexos, obtendo-se um resultado equivalente ao obtido com as matrizes. Para isso, vamos associar cada número complexo  ao vetor , como ilustrado no plano complexo ao lado.

1. Considere os números complexos  e .

a) Desenhe no plano complexo os vetores  e  que representam os números complexos  e , respectivamente.

b) Considere que seja aplicada ao vetor  uma rotação de  radianos em torno da origem, no sentido anti-horário. Usando a matriz de rotação vista em aula, determine, em função de , as coordenadas do vetor obtido.

c) O vetor  pode ser obtido por meio de uma rotação de  radianos em torno da origem, no sentido anti-horário, aplicada ao vetor . Usando a resposta ao item b, determine o valor de  (em radianos, não esqueça!).

d) Determine o vetor , obtido por meio da aplicação de uma rotação de  radianos em torno da origem, no sentido anti-horário, ao vetor .

e) Determine um número complexo  tal que a multiplicação  resulte em um número complexo  cuja representação no plano complexo esteja associada ao vetor .

No exercício 1, você realizou a rotação de alguns vetores por meio da matriz de rotação e também usando a multiplicação de números complexos. No entanto, ainda não generalizou a segunda estratégia, ou seja, ainda não estabeleceu o número complexo que deve ser multiplicado para que se obtenha uma rotação desejada. Faremos isso no exercício 2.

2. Todo número complexo pode ser escrito na forma algébrica (, com ) ou na forma trigonométrica (, sendo  o módulo e  o argumento do número complexo).

a) Represente, na forma trigonométrica, os números complexos , , ,  e .  

b) Na forma trigonométrica, é muito prático multiplicar dois números complexos. Sendo  e , temos que:

Em outras palavras, basta multiplicar os módulos e somar os argumentos.

Dado um número complexo , representado no plano complexo por um vetor , determine um número complexo  tal que o produto  seja representado por um vetor  que corresponda à rotação de  radianos do vetor  em torno da origem, no sentido anti-horário. Justifique sua resposta (um desenho pode ajudar!).

Dica: lembre-se de que um vetor não tem o seu módulo alterado quando é submetido a uma rotação.