́ Algebra de Conjuntos

En este cap ́ıtulo, como en los siguientes, estudiaremos las operaciones conjun- tistas más comunes, por lo que momentáneamente supondremos la existencia de conjuntos como el de los números naturales N,1 el de los números reales R, o conjuntos que de ellos se desprenden; esto es sólo con el afán de propor- cionar ejemplos ilustrativos de los conceptos que tratemos. La existencia de estos conjuntos será formalizada en su momento.

3.1 Operaciones Fundamentales

En el cap ́ıtulo anterior la Definición 2.16 reza “A se dice subconjunto de B, A B, si todo elemento de A es también un elemento de B”. La relación de contención tiene las siguientes propiedades para conjuntos A, B y C.

(1) A A. (2) Si A B y B C entonces A C. (3) A B y B A si y sólo si A = B.

(1), (2), (3) se expresan brevemente diciendo que la propiedad de contención es reflexiva, transitiva y antisimétrica, respectivamente.

En los Ejemplos 2.3 y 2.13 se mostró la existencia de dos útiles conjuntos; ahora hacemos una definición formal de ellos.

Definición 3.1 Si A y B son conjuntos, la unión de A y B, es el conjunto

A ^ B = {x : (x 5 A) b (x 5 B)} .

La intersección de A y B es el conjunto

A _ B = {x : (x 5 A) a (x 5 B)} .

Acorde a la definición anterior, una condición necesaria y suficiente para que A _ B = > es que A y B tengan elementos en común.

1Aqu ́ı consideraremos N = {0, 1, 2,...}.

́ 24 3.

Algebra de Conjuntos

Definición 3.2 Diremos que los conjuntos A y B son ajenos si A _ B = >.

Con la terminolog ́ıa proporcionada por las definiciones anteriores podemos formular el Axioma de Fundación como sigue: “En cada conjunto no vac ́ıo A existe un elemento u 5 A que es ajeno a A, es decir, u _ A = >”.

El siguiente teorema nos muestra cómo se comportan la unión ^ y la inter- sección _ con respecto de la contención.

Teorema 3.3 Para cualesquiera conjuntos A, B, C, D tenemos:

(a) A _ B A A ^ B. (b) Si A C y B D entonces A _ B C _ D y A ^ B C ^ D. (c) A C y B C si y sólo si A ^ B C.

Demostración:

Solamente probaremos (a) dejando como ejercicio para el lector las partes (b) y (c). Si x 5 A _ B entonces x 5 A y x 5 B, as ́ı en particular x 5 A, es decir A _ B A. Por otra parte, para cualquier x 5 A se tiene que x 5 A ^ B por definición de A ^ B, es decir, A A ^ B.

El siguiente teorema puede demostrarse sin dificultad.

Teorema 3.4 Las operaciones _ y ^ son:

(a) Reflexivas: para todo A,

A _ A = A = A ^ A.

(b) Asociativas:

A _ (B _ C)=(A _ B) _ C y A ^ (B ^ C)=(A ^ B) ^ C.

A _ B = B _ A y A ^ B = B ^ A.

Más aún, _ distribuye sobre ^ y ^ distribuye sobre _:

A _ (B ^ C)=(A _ B) ^ (A _ C)

A ^ (B _ C)=(A ^ B) _ (A ^ C).

3.1. Operaciones Fundamentales 25

En virtud de la asociatividad, podemos designar a A^(B ^C) simplemente por A^B^C. Similarmente, una unión y una intersección de cuatro conjuntos, digamos (A ^ B) ^ (C ^ D)y(A _ B) _ (C _ D), pueden ser escritas como A ^ B ^ C ^ D y A _ B _ C _ D puesto que la distribución de paréntesis es irrelevante, y por la conmutatividad el orden de los términos también es irrelevante. Por inducción, la misma observación es aplicable a la unión y la intersección de cualquier número finito de conjuntos. La unión y la intersección de n conjuntos son escritas como

k=1

Ahora daremos una caracterización de la propiedad A B en términos de la unión y la intersección.

Teorema 3.5 Los siguientes enunciados son equivalentes:

(a) A B. (b) A = A _ B. (c) B = A ^ B.

Demostración:

(a) , (b). Supongamos que A B. Por 3.3(a) sabemos que A _ B A. Ahora, si x 5 A entonces x 5 A y x 5 B (ya que A B); o sea, x 5 A _ B. Por lo tanto, A A _ B. As ́ı concluimos que A = A _ B.

(b) , (c). Si A = A _ B entonces se tienen las siguientes implicaciones: x 5 A ^ B , (x 5 A) b (x 5 B) , (x 5 A _ B) b (x 5 B) , x 5 B, lo cual muestra que A ^ B B, y nuevamente 3.3(a) nos proporciona B A ^ B. Por lo tanto, B = A ^ B.

Definición 3.6 La diferencia de dos conjuntos A y B es

A \ B = {x 5 A : x /5 B} .

El Ejercicio 2.2.3 del cap ́ıtulo anterior nos muestra que tal conjunto existe.

Ejemplo 3.7 Si A = {x 5 R : 0 x 1} y B =

x 5 R : 1 2

, en- tonces A \ B =

x 5 R : 0 x 1 2

< x 2 a

Ejemplo 3.8 A \ > = A y A \ B = A \ (A _ B).

Ejemplo 3.9 Si A \ B = A, entonces A _ B = >.

́ 26 3.

Algebra de Conjuntos

Ejemplo 3.10 A \ B = > si y sólo si A B.

La operación diferencia no tiene propiedades tan simples como _ y ^; por ejemplo: si A = >, (A ^ A) \ A = A ^ (A \ A), es decir, la colocación de paréntesis en A ^A \ A es importante. Otra diferencia es que, mientras que la unión y la intersección son operaciones conmutativas, por su propia definición la diferencia de conjuntos no es conmutativa.

Por otra parte, obsérvese que la negación de la proposición x 5 A \ B, es equivalente a la proposición: x /5 A b x 5 B, es decir, x /5 A \ B si y sólo si x no es un elemento de A o x es un elemento de B. Ahora x 5 A \ (A \ B) si y sólo si x 5 A a x /5 A \ B si y sólo si [x 5 A] a [x /5 A b x 5 B] si y sólo si [x 5 A ax /5 A] b [x 5 A a x 5 B] si y sólo si x 5 A _ B; hemos probado la siguiente proposición.

Proposición 3.11 Para conjuntos arbitrarios A y B tenemos que

A _ B = A \ (A \ B).

Definición 3.12 Si A B el complemento de A con respecto de B es el conjunto B \ A.

Teorema 3.13 Para cualesquiera dos conjuntos A y B, y cualquier conjunto E que contenga a A ^ B,

A \ B = A _ (E \ B).

Demostración:

Como A ^ B E, tenemos que A \ B = {x 5 E : (x 5 A) a (x /5 B} = {x 5 E : x 5 A} _ {x 5 E : x /5 B} = A _ (E \ B).

Teorema 3.14 Si E es un conjunto que contiene a A ^ B, entonces:

(a) A _ (E \ A) = >, A ^ (E \ A) = E. (b) E \ (E \ A) = A. (c) E \ > = E, E \ E = >. (d) A B si y sólo si E \ B E \ A.

El siguiente es uno de los resultados elementales de mayor uso, se conoce habitualmente como Leyes de De Morgan.

Teorema 3.15 Si A, B X entonces:

(a) X \ (A ^ B)=(X \ A) _ (X \ B). (b) X \ (A _ B)=(X \ A) ^ (X \ B).

3.1. Operaciones Fundamentales 27

Demostración:

x 5 X \ (A ^ B) si y sólo si x 5 X y x /5 A ^ B si y sólo si x 5 X, x /5 A y x /5 B si y sólo si x 5 X \ A y x 5 X \ B. Esto establece (a); para probar (b) hacemos: X \ [(X \ A) ^ (X \ B)] = [X \ (X \ A)] _ [X \ (X \ B)] = A _ B; entonces (X \ A) ^ (X \ B) = X \ (A _ B).

Definición 3.16 Sean A y B conjuntos, se define la diferencia simétrica de A y B como:

A 4 B = {x 5 A : x /5 B} ^ {x 5 B : x /5 A} .

En el Ejercicio 2.2.8 del cap ́ıtulo anterior se pide demostrar que la diferencia simétrica de dos conjuntos existe.2 La diferencia simétrica tiene las siguientes propiedades:

Teorema 3.17 Para conjuntos A, B y C se tiene:

(a) A 4 > = A. (b) A 4 A = >. (c) A 4 B = B 4 A. (d) (A 4 B) 4 C = A 4 (B 4 C). (e) A _ (B 4 C)=(A _ B) 4 (A _ C). (f) Si A 4 B = A 4 C entonces B = C.

Observemos además que, para cualesquiera dos conjuntos A y C existe - exactamente un conjunto B tal que A4B = C, a saber, B = A 4C, en otras palabras:

A 4 (A 4 C) = C, A 4 B = C , B = A 4 C.

En efecto, los incisos (a), (b) y (d) del Teorema 3.17 implican que A4(A4C) = (A 4 A) 4 C = > 4 C = C 4 > = C. Además si A 4 B = C entonces A 4 (A 4 B) = A 4 C y por tanto, B = A 4 C. Lo anterior nos dice que la operación 4 es inversa de s ́ı misma.

El lector que conozca la definición de anillo, utilizando el Teorema 3.4 en sus partes (b) y (c) referentes a la intersección y el Teorema 3.17, podrá darse cuenta que para cualquier conjunto X, el conjunto P(X) con las operaciones 4 y _ funcionando como suma y producto, es un anillo conmutativo con unidad X. Una peculiaridad de este anillo es que la operación “sustracción” coincide con la operación “suma” y más aún, el “cuadrado” de cualquier elemento es

2Las propiedades de la diferencia simétrica fueron investigadas extensivamente por Haus- dorg en [H

́ 28 3.

Algebra de Conjuntos

igual a ese elemento. Note que ^ y \ no funcionan como suma y sustracción, respectivamente.

Usando 4 y _ como las operaciones básicas, los cálculos en el álgebra de conjuntos pueden resolverse por aritmética ordinaria. Además, podemos omitir todos los exponentes y reducir todos los coeficientes módulo 2 (es decir, 2kA = > y (2k + 1)A = A).

Este resultado es significativo puesto que las operaciones ^ y \ pueden ser expresadas en términos de 4 y _. Este hecho hace que toda el álgebra de subconjuntos de un conjunto particular X pueda ser representada como la aritmética en el anillo P(X). En efecto, uno puede fácilmente verificar que:

A ^ B = A 4 B 4 (A _ B) A \ B = A 4 (A _ B).

Ejercicios 3.1

1. Demuestre las partes (b) y (c) del Teorema 3.3.

2. Demuestre el Teorema 3.4.

3. (a) Demuestre que si A C entonces A ^ (B _ C)=(A ^ B) _ C.

(b) ¿Será cierto el resultado anterior si se suprime la hipótesis A C? (c) Demuestre que A C si y sólo si A ^ (B _ C)=(A ^ B) _ C.

4. Pruebe las afirmaciones hechas en los Ejemplos 3.8, 3.9 y 3.10.

5. Muestre que si A = > entonces (A ^ A) \ A = A ^ (A \ A).

6. Demuestre el Teorema 3.14.

7. Pruebe que

(a) A \ B = (A ^ B) \ B. (b) A \ (B \ C)=(A \ B) ^ (A _ C). (c) (A \ C) \ (B \ C)=(A \ B) \ C. (d) (A \ C) ^ (B \ C)=(A ^ B) \ C. (e) (A \ C) _ (B \ C)=(A _ B) \ C. (f) (A \ B) \ (A \ C) = A _ (C \ B).

3.2. Producto Cartesiano 29

(g) A

^···^A

= (A

)^···^(A

n-1

)^(A

)^(

n k=1

). (h) Si A, B X, entonces (X \ A) \ (X \ B) = B \ A.

8. Muestre por medio de ejemplos que las siguientes proposiciones son fal-

sas.

(a) A \ B = B \ A. (b) A (B ^ C) implica A B o A C. (c) B _ C A implica B A o C A.

9. Sea X un conjunto que contiene a A ^ B.

(a) Demuestre que si A ^ B = X entonces X \ A B. (b) Demuestre que si A _ B = > entonces A X \ B. (c) Utilizando los incisos anteriores demuestre que A = X \ B si y sólo

si A ^ B = X y A _ B = >.

10. Pruebe que el sistema de ecuaciones A ^ X = A ^ B, A _ X = > tiene a

lo más una solución para X.

11. Sea A un conjunto. Demuestre que el “complemento” de A no es un

conjunto. (El “complemento” de A es el conjunto de todos los x /5 A).

12. Pruebe el Teorema 3.17.

13. Pruebe que A 4 B = > si y sólo si A = B.

14. Pruebe que

A ^ B = A 4 B 4 (A _ B) A \ B = A 4 (A _ B).

3.2 Producto Cartesiano

Las operaciones de unión e intersección nos proporcionan nuevos conjuntos a partir de otros conjuntos dados. En esta sección introduciremos otro conjunto construido a partir de dos conjuntos A y B, que denotaremos por A × B y llamaremos el producto cartesiano de A y B. El producto cartesiano es una de las construcciones más importantes de la Teor ́ıa de Conjuntos, pues per- mite expresar muchos conceptos fundamentales de matemáticas en términos de conjuntos.

́ 30 3.

Algebra de Conjuntos

A diferencia de los elementos de la unión y de la intersección, los elementos del producto cartesiano son de naturaleza distinta a los elementos de A y de B, ya que A ×B consistirá de lo que a continuación definiremos como parejas ordenadas de elementos. Intuitivamente una pareja ordenada es una entidad consistente de dos objetos en un orden espec ́ıfico. Para el empleo de la noción de par ordenado en matemáticas, uno desea que los pares ordenados tengan dos propiedades: (i) dados dos objetos a y b, exista un objeto, el cual puede ser denotado por (a, b) que esté un ́ıvocamente determinado por a y b; (ii) si (a, b) y (c, d) son dos pares ordenados, entonces (a, b)=(c, d) si y sólo si a = c y b = d. Por el Ejemplo 2.35, es posible definir un objeto, de hecho un conjunto, con la propiedad (i).

Definición 3.18 Se define el par ordenado de elementos a y b como

(a, b) = {{a}, {a, b}}.

Si a = b, (a, b) tiene dos elementos, un singular {a} y un par no ordenado {a, b}. La primera coordenada de (a, b) es el elemento que pertenece a ambos conjuntos, o sea a, y la segunda coordenada es el elemento perteneciente a sólo uno de los conjuntos, a saber, b. Si a = b, entonces (a, a) = {{a}, {a, a}} tiene un único elemento; en este caso ambas coordenadas son iguales. Es muy oportuno observar que (a, b) P({a, b}).

Probaremos ahora que los pares ordenados tienen la propiedad (ii) antes mencionada.

Teorema 3.19 (a, b)=(c, d) si y sólo si a = c y b = d.

Demostración:

+] Si a = c y b = d, entonces:

(a, b) = {{a} ,{a, b}} = {{c}, {c, d}} = (c, d).

,] Supongamos que {{a}, {a, b}} = {{c}, {c, d}}. Si a = b, entonces debe suceder que {a} = {c} y {a, b} = {c, d}. As ́ı, a = c, y entonces {a, b} = {a, d}. De esto se deduce que b = d. Si a = b, {{a}, {a, b}} = {{a}}. As ́ı {a} = {c} y {a} = {c, d}, lo cual implica que a = c = d. Por lo tanto, a = c y b = d.

Con los pares ordenados a nuestra disposición podemos definir ternas orde- nadas como

(a, b, c) = ((a, b),c),

3.2. Producto Cartesiano 31

cuartetas ordenadas como

(a, b, c, d) = ((a, b, c),d),

etc.; y es evidente que la correspondiente caracterización (Teorema 3.19) de igualdad también es apropiada.

Kuratowski [K

] en 1921 fue el primero en dar una definición satisfactoria de par ordenado. Lo complicado de tal definición reside en evitar toda referencia a la forma de escribir los s ́ımbolos (a, b). Los filósofos de la primera época de la Teor ́ıa de Conjuntos se encontraron metidos en un problema en lo relativo a dicha cuestión. La dificultad reside en eliminar la simetr ́ıa existente entre a y b. El motivo por el cual los filósofos no consiguieron hacerlo fue su confusión en cuanto a la distinción que existe entre x y {x}, pues quer ́ıan que fuese lo mismo. Poniendo (a, b) = {{a}, {a, b}}, la asimetr ́ıa del segundo miembro basta para probar el Teorema 3.19, el cual hace que la definición de par ordenado sea adecuada.

Definición 3.20 Sean A y B conjuntos cualesquiera. El producto cartesiano de A y de B es el conjunto A ×B es el conjunto consistente de todos aquellos pares ordenados (a, b) tales que a 5 A y b 5 B, esto es,

A × B = {(a, b) : a 5 A a b 5 B}.

Estamos describiendo un nuevo conjunto y por ende debemos asegurar su existencia como tal, es por ello que damos la siguiente proposición que nos afirma que A × B es un conjunto.

Proposición 3.21 Para cualesquiera A y B, A × B es un conjunto.

Demostración:

Por el Ejemplo 2.27 del Cap ́ıtulo 2 tenemos que siempre que a 5 A y b 5 B entonces P({a, b}) P(A^B), y como (a, b) P({a, b}), se sigue que cuando a 5 A y b 5 B se tiene que (a, b) P(A ^ B), o bien (a, b) 5 P(P(A ^ B)). Por lo tanto,

A × B = {(a, b) 5 P(P(A ^ B)) : a 5 A a b 5 B} .

Ya que P(P(A ^B)) existe, la existencia de A ×B como conjunto se sigue del Axioma Esquema de Comprensión.

́ 32 3.

Algebra de Conjuntos

Denotaremos A×A por A2. Hemos definido una terna ordenada de elementos a, b y c como (a, b, c) = ((a, b),c). Para ser consistentes con esa definición, introducimos el producto cartesiano de tres conjuntos A, B y C como

A × B × C = (A × B) × C.

Note que

A × B × C = {(a, b, c) : a 5 A a b 5 B a c 5 C}.

Usando una obvia extensión de nuestra notación, A × A × A será denotado por A3. De modo análogo, el producto cartesiano de cuatro conjuntos puede también ser introducido.

Ejemplo 3.22 Sean A = {1, 2,3} y B = {2, 4, 5}. Entonces

A × B = {(1,2), (1, 4), (1,5), (2, 2), (2, 4), (2, 5), (3,2), (3, 4), (3, 5)}.

Ejemplo 3.23 Si A = R = B, entonces A × B = {(x, y) : x, y 5 R} = R2 es el plano usual de la geometr ́ıa anal ́ıtica.

Ejemplo 3.24 Sea A =

(es decir, A es la cir- cunferencia unitaria) y sea B = {x 5 R : 0 x 1}. Entonces, A × B es el conjunto de los puntos de R3 que están en el cilindro unitario de altura 1.

Teorema 3.25 (a) A × B = > si y sólo si A = > o B = >.

(b) Si C × D = >, entonces C × D A × B si y sólo si C A y D B. (c) A × (B ^ C)=(A × B) ^ (A × C). (d) A × (B _ C)=(A × B) _ (A × C).

Demostración:

La demostración de la proposición en (a) es inmediata a partir de las defini- ciones.

(b) ,] Veamos que D B. Un argumento simétrico será suficiente para establecer C A. Puesto que C ×D = >, aplicando (a) obtenemos que C = >. Fijemos un c 5 C arbitrario. Ahora, deseamos demostrar que para todo x, x 5 D , x 5 B. Sea x 5 D. Entonces (c, x) 5 C × D y luego (c, x) 5 A × B. De aqu ́ı se sigue que x 5 B. Por lo tanto D B.

+] Sea (c, d) 5 C ×D. Entonces c 5 C y d 5 D. Como por hipótesis C A y D B, se tiene que c 5 A y d 5 B; de aqu ́ı (c, d) 5 A × B. Por lo tanto, C × D A × B.

(x, y) 5 R2 : x2 + y2 = 1