Unidad 4: Geometría, Cuadriláteros y ángulos entre paralelas.
Clasificación de los cuadriláteros
El rectángulo tiene sus cuatro ángulos rectos, las diagonales iguales y se cortan en su punto medio.
Ángulos opuestos por el vértice
Ángulos determinados por dos paralelas y una transversal.
SEGUNDO CICLO
Unidad 4: Geometría, Cuadriláteros y ángulos entre paralelas.
Cuadriláteros
Los cuadriláteros son polígonos de cuatro lados, cuatro vértices, cuatro ángulos y dos diagonales. La suma de sus ángulos interiores, sea cual sea el cuadrilátero, es igual al ángulo de un giro, es decir 360°
autor Drini (trabajo propio)
Clasificación de los cuadriláteros
Paralelogramos: Tienen dos pares de lados opuestos paralelos.
Autor: Magister Mathematicae
Trapecios: Un par de lados paralelos y los otros no.
Autor: Loveless
Trapezoide: No tiene lados paralelos. Aún en la actualidad existen ciertas controversias en cuanto a su definición.
Paralelogramos
Cuadrado
Tiene dos pares de lados opuestos paralelos, sus cuatro ángulos son rectos y sus cuatro lados iguales y las diagonales son iguales entre sí. Resumen de fórmulas.
Perímetro | Superficie | Diagonal |
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Ejercitación:
- Calcula el perímetro, área y diagonal de los siguientes cuadrados
- Medida del lado 5 cm
- Medida del lado 12 m
- Medida del lado 20 m
- Medida del lado 1,2 m
- Medida del lado 2,53 m
- Sabiendo que el perímetro de un cuadrado es 28 m calcula la longitud de su lado y la superficie.
- Sabiendo que el área de un cuadrado es de 49 m calcule su perímetro.
- Sabiendo que la diagonal de una plaza rectangular es de 168 m, calcule la medida de cada lado, la superficie de la plaza y su perímetro.
- Un parque cuadrado de 1800 m2 necesita ser cercado. Si la cerca se va a construir paralela a los lados de la plaza a 6m de la acera, calcule:
- La longitud total de la cerca.
- La superficie que quedará dentro de la cerca.
- Cuanto mide la diagonal del área cercada.
- Para el piso de una habitación se van a usar baldosas de 1 m x 1 m. ¿Cuántas se necesitan si la habitación tiene es cuadrada de 3 m de lado?
- ¿Que cantidad de baldosas cuadradas de 20 cm de lado se necesitan para cubrir un piso cuadrado de 6 m de lado? ¿Cuánto mide la superficie del piso a cubrir?
- Se requiere alambrar un campo cuadrado de 6 km de lado. Si se van a usar cuatro hilos de alambre y los postes se ubicaran a una distancia de 15 m entre cada uno. ¿Cuánto alambre se necesita, y cuántos postes se deben adquirir?
- Calcula la superficie y el perímetro de los siguientes cuadrados según la medida de sus diagonales.
- 5 m
- 7 m
- 12 m
- 3 km
- 25 cm
- 12 cm
- 30 m
- 25 km
- 18 cm
Rectángulo
El rectángulo tiene sus cuatro ángulos rectos, las diagonales iguales y se cortan en su punto medio.
Autor: Michael Angelkovich
Perímetro | Superficie | Diagonal |
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Ejercitación:
- Una fábrica de material de chapa fabrica piezas rectangulares de zinc por encargo, calcular el perímetro, la superficie y diagonal, de cada medida de las piezas sabiendo que las medidas son las siguientes:
- 12 cm por 20 cm
- 18 cm por 25 cm
- 22 cm por 30 cm
- 30 cm por 40 cm
- 40 cm por 50 cm
- Una antena se va a instalar con su base en el centro sobre el techo de un edificio cuyas medidas son 15 m por 42 m. ¿A qué distancia de los vértices del techo se ubicará la base?
- Una plaza tiene una superficie de 4200 m2, si el lado mayor mide 70 m. Calcule la medida del lado menor y el tamaño de su diagonal.
- Un bizcochuelo rectangular de 35 cm x 45 cm se debe repartir equitativamente entre 15 alumnos.
- ¿Qué tamaño deberían tener las porciones?
- ¿Qué corte sería el más apropiado?
- Si se pide que como mínimo cada porción tenga 3 cm de ancho x 4 de alto. ¿Alcanza para todos?
- Al finalizar el año se preparan pizzas para el festejo de despedida de año, Hay bandejas dos tamaños de 60 cm x 40 cm y de 55 cm x 45 cm. Calcular la superficie de cada pizza según la bandeja y seleccionar el mejor corte rectangular para obtener, 10, 15 y 20 porciones por bandeja.
- Las dimensiones de un campo de fútbol reglamentario son las siguientes
- 100 m x 64 m como mínimo y 110 m x 75 m como máximo.
- Las medidas de los arcos son de 7,32 m x 2,44 m.
- El área chica comienza a 5,5 m de los postes del arco y dista 5,5 m de la línea de fondo.
- El área grande comienza a los 11 m del borde del área chica y dista hasta los 16,5 m de la línea de fondo.
- Se solicita calcular
- la superficie mínima y máxima del campo de fútbol.
- la superficie que tienen que proteger los arqueros en el arco para evitar anotaciones.
- la superficie del área chica.
- la superficie del área grande.
- Calcula la diagonal de los siguientes rectángulos
- 12 m x 20 m
- 15 m x 10 m
- 8 cm x 12 cm
Rombo
Tiene sus cuatro lados iguales, los opuestos paralelos, sus ángulos opuestos son iguales y sus diagonales se cortan perpendicularmente en su punto medio.
autor Dnu72
Perímetro | Superficie | Diagonal |
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D = Diagonal mayor, d = diagonal menor, l = lado
Romboide
El romboide es un paralelogramo que tiene sus ángulos y lados iguales, dos a dos. No es rombo ni es rectángulo, también se lo denomina paralelogramo no rectángulo o simplemente paralelogramo.
Autor drini | Autor Dnu72 |
Perímetro | Superficie |
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Trapecios
autor Dirk Hünniger | autor Teve |
Tiene un par de lados paralelos y los otros no, A los lados paralelos se les llama bases, una de de ellas será mayor y la otra menor, los puntos medios de los lados no paralelos determinan un segmento al cual se denomina mediana o base media.
Base media o Mediana | Superficie |
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Según sus ángulos se clasifican en rectángulos (un ángulo recto), isósceles, lados no paralelos iguales y dos ángulos agudos y dos obtusos iguales entre sí, escaleno, no es isósceles ni rectángulo, las medidas de sus lados son distintas.
Trapecio Rectángulo Autor Alon he.wikipedia | Trapecio Isósceles Autor Mariko en.wikipedia | Trapecio Escaleno Autor Paulnasca en.wikipedia |
Trapezoides
El trapezoide en su sentido más puro se considera un cuadrilátero irregular es decir aquel que tiene sus cuatro lados desiguales, aunque puede darse un caso particular con el deltoide cuya figura posee dos pares de lados iguales y sus cuatro ángulos distintos.
Deltoide Autor: Deepsol | Trapezoide Concavo Autor Πβ | Trapezoide cruzado Autor Πβ |
Ejercitación
- Representa gráficamente y calcular el perímetro, superficie y la medida del lado o de la diagonal faltante según el caso de los siguientes rombos.
- Diagonal Mayor 8 cm; Diagonal menor 2 cm
- Diagonal Mayor 6 cm; diagonal menor 4 cm.
- Diagonal mayor 8 cm; diagonal menor 4 cm.
- Diagonal mayor 56 m; diagonal menor 16 cm.
- Lado 20,6 m; diagonal menor 10 m.
- Lado 18 m; una diagonal 20 m.
- Lado 15 m; una diagonal 30 m.
- Representar gráficamente y calcular perímetro y superficie de los siguientes paralelogramos.
- Lado mayor 2,24 cm; lado menor 1,5 cm.
- Lado mayor 2 cm; lado menor 1,5 cm.
- Base 3 cm; altura 3 cm.
- Base 5 cm; altura 2.5 cm..
- Calcular la superficie, base media y perímetro de los siguientes trapecios
- Bases 10 y 15 cm, altura de 8 cm.
- Bases 510 y 760 m, altura de 200 m.
- Bases 62 m y 38 m, altura de 75 m.
- Bases 8 y 10 cm, altura 6 cm.
Ángulos adyacentes
Se llaman así a aquellos ángulos que tienen un lado en común y los otros dos son semirrectas opuestas. Dada su características estos ángulos son suplementarios. Ángulos suplementarios son aquellos cuya suma es igual a dos rectos (180°)
Autor: Larocka en es.wikipedia
Ángulos opuestos por el vértice
Se llaman así a aquellos ángulos que tienen el vértice en común y los lados de uno son semirrectas opuestas de los lados del otro. Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes. En el dibujo los ángulos a con c y b con d son opuestos por el vértice
Autor: DNU72 |
Ángulos determinados por dos paralelas y una transversal.
Autor: School genius
En la figura se observan las rectas m y n paralelas entre sí, que son cortadas por la recta t la cual es transversal a ellas. Quedan determinados cuatro ángulos en la intersección de la transversal con cada una de las dos rectas paralelas, en total son ocho ángulos. De acuerdo a la figura vamos a estudiar las relaciones que existen entre distintos pares de ángulos.
Ángulos Correspondientes
Son los que quedan en un mismo semiplano respecto de la transversal y en idéntica posición respecto de las paralelas, así los pares de ángulos correspondientes en la figura son. Los ángulos correspondientes son congruentes, es decir tienen la misma medida.
1 y 5; 2 y 6; 3 y 7; 4 y 8
Alternos Internos
Quedan en distintos semiplanos respecto de la transversal y son interiores entre las paralelas. Son congruentes.
3 y 6; 4 y 5
Alternos Externos
Quedan en distintos semiplanos respecto de la transversal y son exteriores a las paralelas. Son congruentes.
1 y 8; 2 y 7
Conjugados Internos
Quedan en el mismo semiplano respecto de la transversal. Son interiores entre las paralelas. Son suplementarios (su suma es 2R=180°)
4 y 5; 3 y 6
Conjugados Externos
Quedan en el mismo semiplano respecto de la transversal, son exteriores a las paralelas. Son suplementarios.
Adyacentes
1 y 8; 2 y 7
El estudio de las relaciones de congruencia entre estos ángulos nos permite conociendo uno de ellos calcular el resto de los ángulos. En la figura siguiente podemos observar las relaciones de congruencia en los ángulos con el mismo nombre.
Krishnavedala |
Ejemplo: En la figura el 
y tenemos que calcular el resto de los ángulos. El procedimiento sería el siguiente:
por ser opuestos por el vértice
por ser correspondientes entre paralelas a y b y transversal c
por ser opuestos por el vértice
en consecuencia
Por otra parte por ser adyacentes
por ser opuestos por el vértice
por ser correspondientes entre paralelas a y b y transversal c
por ser opuestos por el vértice
Finalmente
Ejercitación
- Las rectas a, b y c son paralelas. Calcula la medida de todos los ángulos expresando las relaciones entre ángulos que explican los valores obtenidos.
Unidad 4: Geometría, Cuadriláteros y ángulos entre paralelas.
Clasificación de los cuadriláteros
El rectángulo tiene sus cuatro ángulos rectos, las diagonales iguales y se cortan en su punto medio.
Ángulos opuestos por el vértice
Ángulos determinados por dos paralelas y una transversal.
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