9 клас

Рівень А (високий)

1. Зобразіть на координатній площині множину точок, координати яких  задовольняють нерівності .

2. Знайдіть всі розв'язки системи

3. Всередині квадрата зі стороною  1 побудовано кілька кіл, сума довжин яких дорівнює 20. Доведіть, що існує пряма, яка перетинає принаймні 7 з цих кіл.

4. На дошці записано числа 0, 1, 2, 3, ..., 2014. Андрійко може вибрати серед записаних чисел довільні два a, b та записати замість них число . Після
   2014-ї такої операції на дошці залишиться єдине число. Яке найбільше значення воно може мати?

5. Для функції ,  виконується умова . Доведіть, що вона має два нулі.

9 клас

Рівень Б (середній)

1. Три від'ємні числа x, y, z  підібрано так, що виконуються рівності  й . Що більше: z або x?

2. Знайдіть всі розв'язки системи

3. Всередині квадрата зі стороною  1 побудовано кілька кіл, сума довжин яких дорівнює 20. Доведіть, що існує пряма, яка перетинає принаймні 7 з цих кіл.

4. Доведіть, що  для будь-якого дійсного x. ( [а] – ціла частина дійсного числа а, [а] дорівнює найбільшому цілому числу, що не перевищує а).

5. Для функції ,  виконується умова . Доведіть, що вона має два нулі.

 9 клас

Рівень В (достатній)

1. Три від'ємні числа x, y, z  підібрані так, що виконуються рівності  й . Що більше: z або x?

2. Натуральні числа від 1 до 9 розфарбовано у два кольори. Доведіть, що знайдуться три різні числа одного кольору, одне з яких дорівнює сумі двох інших.

3. В трикутнику ABC проведено бісектрису BD. Відомо, що центр описаного навколо  кола збігається із центром кола, що вписане у . Знайдіть кути .

4. На дошці записано числа 0, 1, 2, 3, ..., 2014. Андрійко може вибрати серед записаних чисел довільні два a, b та записати замість них число . Після
   2014-ї такої операції на дошці залишиться єдине число. Яке найбільше значення воно може мати?

5. Доведіть, що  для будь-якого дійсного x. ( [а] – ціла частина дійсного числа а, [а] дорівнює найбільшому цілому числу, що не перевищує а).