7 клас

Рівень А (високий)

1. На дошці записане число. За один хід число на дошці замінюється на добуток своєї останньої цифри на число, яке отримане закреслюванням цієї цифри (наприклад, із числа 2014 утворюється число ). Придумайте таке трицифрове число, щоб воно записувалося трьома різними непарними цифрами, а рівно через три ходи (не раніше!) із цього числа отримали би нуль. Не забудьте навести перевірку того, що наведене Вами число дійсно за 3 ходи перетворюється в 0.

2. У класі 28 людей. Кожна дівчинка дружить із 4 хлопчиками, а кожний хлопчик – з 3 дівчинками. Скільки в класі хлопчиків і дівчаток?

3.  Чи вірно, що число  – просте? Відповідь обґрунтуйте.

4. Петрик, Василь, Мишко та Юрко ловили якось рибу в ставку. Увечері, повертаючись додому, вони вирішили визначити, яке місце по кількості виловленої риби зайняв кожний з них. Виявилося, що Юрко упіймав більше риби, ніж Мишко. Петрик й Василь виловили риби стільки, скільки Мишко і Юрко. А от Петрик і Юрко піймали менше риби, ніж Василь і Мишко. Допоможіть хлопцям розібратися, хто з них на якому місці.

5. Грають двоє. Перший може назвати довільне ціле число від 2 до 9. Другий множить це число на довільне ціле число від 2 до 9. Потім перший множить результат на будь-яке ціле число від 2 до 9, і так далі. Виграє той, хто першим отримає добуток більше 2014. Хто при правильній грі виграє — перший або його суперник?

 7 клас

Рівень Б (середній)

1. На дошці записане число. За один хід число на дошці замінюється на добуток своєї останньої цифри на число, яке отримане закреслюванням цієї цифри (наприклад, із числа 2014 утворюється число ). Придумайте таке трицифрове число, щоб воно записувалося трьома різними непарними цифрами, а рівно через три ходи (не раніше!) із цього числа отримали би нуль. Не забудьте навести перевірку того, що наведене Вами число дійсно за 3 ходи перетворюється в 0.

2. Дано числа 2011, 2012, 2013, 2014, 2015, 2016. Дозволено до будь-яких двох з них додати по одиниці. Чи можна за кілька кроків зрівняти ці числа?

3. Чи вірно, що число  – просте? Відповідь обґрунтуйте.

4. У кімнаті зібралися 12 людей, кожний з яких або лицар, що завжди говорить правду, або брехун, що завжди бреше. Їх пронумерували числами від 1 до 12. Перший сказав: «Усі люди, що знаходяться у цій кімнаті, з номерами, що діляться на 2, брехуни». Другий сказав: «Усі люди, що знаходяться у цій кімнаті, з номерами, що діляться на 3, брехуни» і т.д. Одинадцятий сказав: «Усі люди, що знаходяться у цій кімнаті, з номерами, що діляться на 12, брехуни». Дванадцятий, на відміну від попередніх, промовчав. Скільки брехунів у кімнаті?

5. Грають двоє. Перший може назвати довільне ціле число від 2 до 9. Другий множить це число на довільне ціле число від 2 до 9. Потім перший множить результат на будь-яке ціле число від 2 до 9, і так далі. Виграє той, хто першим отримає добуток більше 2014. Хто при правильній грі виграє — перший або його суперник?

 7 клас

Рівень В (достатній)

1. Який із двох виразів більший:

 або ?

2. На дошці записане число. За один хід число на дошці замінюється на добуток своєї останньої цифри на число, яке отримане закреслюванням цієї цифри (наприклад, із числа 2014 утворюється число ). Придумайте таке трицифрове число, щоб воно записувалося трьома різними непарними цифрами, а рівно через три ходи (не раніше!) із цього числа отримали би нуль. Не забудьте навести перевірку того, що наведене Вами число дійсно за 3 ходи перетворюється в 0.

3. Розв'яжіть рівняння: .

4. Дано числа 2011, 2012, 2013, 2014, 2015, 2016. Дозволено до будь-яких двох з них додати по одиниці. Чи можна за кілька кроків зрівняти ці числа?

5. Є три скриньки. В одній лежить діамант, в іншій сидить жаба, а в третій порожньо. Скриньки закриті, а на кришках є наступні написи.

Напис на першій скриньці:

«Діамант у першій скриньці. Жаба в другій скриньці.»

Напис на другій скриньці:

«Діамант у першій скриньці. Жаба в третій скриньці.»

Напис на третій скриньці:

«Діамант у третій скриньці. Жаба в другій скриньці.»

Відомо, що на скриньці з діамантом обидва з написаних тверджень вірні; на скриньці з жабою обидва твердження хибні. У якій скриньці жаба, у який діамант, а в який порожньо?