Ministerul Educaţiei Naţionale Centrul Naţional de Evaluare i Examinare
Examenul de bacalaureat naţional 2015 Proba E. c) Matematică M_pedagogic
Model Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că 81 − 18 + 50 − 8 = 9 . 5p 2. Determinaţi numărul real m pentru care f ( )2 = 0 , unde f : R → R, f ( x ) = x − m .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia
x 2
+ 1 = 1 . 5p 4. O firmă folosește 2000de lei pentru publicitate, ceea ce reprezintă 5% din profitul anual al
firmei. Determinați profitul anual al firmei. 5p 5. Determinaţi ecuaţia dreptei care trece prin punctul M ( 1, − 1 ) i este paralelă cu dreapta d de
ecuaţie y = x − 1 . 5p 6. Arătați că sin30 a + 3 ⋅ cos30 a
=
2 .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
Pe mulţimea numerelor reale se define te legea de compoziţie x ∗ y = x + y − 2 . 5p 1. Calculați ( − )2 ∗ 2 . 5p 2. Arătați că legea de compoziţie „∗” este asociativă. 5p 3. Verificaţi dacă e = 2 este element neutru al legii de compoziţie „∗”. 5p 4. Determinaţi numărul real x, știind că ( x + )1 ∗ x = 3 .
5p 5. Rezolvaţi în mulțimea numerelor reale ecuaţia 9 x ∗ 3 x = 0 .
5p 6. Arătaţi că
x
2
∗ x 1 2
≥ 0 pentru orice număr real nenul x.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
Se consideră matricea A ( a
)
=
− a
1
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Model Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
Pagina 1 din 1 1 a
, unde a este număr real.
5p 1. Calculaţi
det ( A ( 0 ) )
. 5p 2. Arătați că 4 ⋅ A ( 1 ) − 3 ⋅ A ( − 1 ) = A ( 7 ) .
5p 3. Determinaţi numerele reale a , știind că
det ( A ( a ) )
= 10 .
5p 4. Arătaţi că det ( A ( a ) − I 2
)
> 0 pentru orice număr real a , unde
I
2
=
1 0 0 1
.
5p 5. Determinați inversa matricei A ( )2 . 5p 6. Determinaţi numărul matricelor A ( a ) , unde a este număr întreg și det ( A ( a ) )
≤ 401 .
Ministerul Educaţiei Naţionale Centrul Naţional de Evaluare i Examinare Examenul de bacalaureat naţional 2015 Proba E. c) Matematică M_pedagogic
BAREM DE EVALUARE ğI DE NOTARE
Model Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1.
18 = 3 2 , 50 = 5 2 și 8 = 2 2 3p 9 − 3 2 + 5 2 − 2 2 = 9 2p 2. f ( )2 = 2 − m 2p 2 − m = 0 ⇔ m = 2 3p 3. x 2
+ 1 = 1 2p x = 0 care verifică ecuația 3p 4.
5%
⋅ x = x
20
, unde x este profitul anual al firmei 3p
x 20
= 2 000 ⇒ x = 40 000
de lei 2p
5. m d
= 1
și m = m d
⇒ m = 1
3p Ecuaţia dreptei este y = x − 2 2p 6.
sin30
° = 1 2
,
cos30
° = 3
2
2p
sin30 a + 3 ⋅ cos30 a = 1 2 + 3 ⋅ 2 3
=
2
3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. ( − 2 ) ∗ 2 = ( − 2 ) + 2 − 2 = 3p = − 2 2p 2. ( x ∗ y ) ∗ z = ( x + y − )2 ∗ z = x + y + z − 4 2p x ∗ ( y ∗ z ) = x ∗ ( y + z − 2 ) = x + y + z − 4 = ( x ∗ y ) ∗ z pentru orice numere reale ,x y și z 3p 3. x ∗ 2 = x + 2 − 2 = x pentru orice număr real x 3p 2 ∗ x = 2 + x − 2 = x pentru orice număr real x 2p 4. ( x + )1 + x − 2 = 3 3p x = 2 2p 5. 9 x + 3 x − 2 = 0 ⇔ ( 3 x + 2 )( 3 x − 1 )
= 0 3p x = 0 2p 6. x 2 ∗ x 1 2 = x
2
+ x 1 2 − 2
= x 4 − x 2 2
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Model Barem de evaluare i de notare Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
Pagina 1 din 2 x
2
+
1
= 2p
= ( x
2
x
−
2
1
)2
≥ 0
pentru orice număr real nenul x
3p
Ministerul Educaţiei Naţionale Centrul Naţional de Evaluare i Examinare
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.
det ( A ( 0 ) ) = 0 −
1 1 0
= 0 ⋅ 0 − ( − 1 )
⋅ 1
=
3p
1= 2p 2.
A
( 1
)
=
−
1 1 1 1
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Model Barem de evaluare i de notare Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
Pagina 2 din 2
, A
( − 1
)
=
− − 1 1 1 −
1
, A
( 7
)
=
−
7 1 1 7
3p
4 ⋅ A ( 1 ) − 3 ⋅ A ( − 1 ) = 4 ⋅ − 1 1 1 1 − 3 ⋅ − 1 − 1 − 1 1 = −
7 1 1 7
=
A
( 7
)
2p
3.
det ( A ( a ) ) = a −
1
1 a
= a
2
+
1
2p
a 2
+ 1 = 10 ⇔ a 1
=− 3 și
a 2
= 3 3p 4.
( )
2 A a − I
=
− 1 a
− 1 a
1 −
1
3p
det ( A ( a ) − I 2
) = a
− 1 − 1 a
1 −
1
= ( a
− 1 )2
+ 1 >
0
pentru orice număr real a 2p
5. det ( A ( 2 ) )
= 5 2p
A
−
1
( 2
) = 2 5 1 5 −
1 5 2 5
3p
6.
det ( A ( a ) ) = a −
1
1 a
= a
2
+
1
2p
a 2
≤ 400 ⇔ a ≤ 20 și a∈Z, deci sunt 41 de matrice A ( a ) care verifică cerința 3p