Математична подорож.doc

ТЕЗИ НАУКОВО-ДОСЛІДНИЦЬКОЇ РОБОТИ

«МАТЕМАТИЧНА ПОДОРОЖ У СВІТ ГАРМОНІЇ»

Автор: Вовк Анастасія Андріївна

Назва територіального відділення МАН: Гайворонська філія Кіровоградської Малої академії наук учнівської молоді

Навчальний заклад, клас: загальноосвітня школа І-ІІІ ступенів с. Солгутове Гайворонського району Кіровоградської області, 9 клас

Учитель: Злагоднюк Олена Григорівна, вчитель математики загальноосвітньої школи І-ІІІ ступенів с. Солгутове Гайворонського району Кіровоградської області

Математика, гармонія, краса – поняття споріднені. Математичну точність, послідовність, логічність можна спостерігати у різних галузях нашого життя. Закони математики діють у будівництві, у скульптурах, живопису, мистецтві.

Важко переоцінити роль математики серед інших наук, вона є тим ланцюжком, що поєднує науку та навколишній світ.

Розуміння зв`язків гармонії та математики формує нашу уяву про навколишній світ,про математичні поняття, які діють у природі та різних галузях життя. Математика – це не тільки система законів, теорем, задач, а й засіб пізнання прекрасного. З давніх часів гармонію та красу пов`язували з симетрією та пропорцією золотого перерізу.

Дане дослідження є актуальним, тому що закони краси неможливо виразити кількома формулами, але, вивчаючи математику, ми все ближче наближуємось до розуміння законів природи,пізнання прекрасного.

Об'єктом дослідження є подорож .

Предметом дослідження є математична подорож у світ гармонії і краси

Метою дослідження є здійснити математичну подорож у світ гармонії і краси:поглибити знання про симетрію, її види, поняття «золотого перерізу»

Для виконання поставленої мети було сформовано наступні завдання:

Розкрити суть поняття гармонії,числової гармонії піфагорійців.
Розглянути основні періоди в розвитку «математики гармонії»
Показати зв'язок математики з природою.
Розглянути різні види симетрії та золотий переріз в математиці.
Виконати дослідження

Метод дослідження:пошуковий.

Дослідницька робота передбачала знаходження та опрацювання теоретичного матеріалу, створення комп`ютерної презентації. Дана робота має міжпредметні зв’язки з біологією та музикою.

Отже, математика – цариця всіх наук, символ мудрості, це не тільки струнка система законів, але й унікальний засіб пізнання краси.

ЗМІСТ

ВСТУП-----------------------------------------------------------------------------------5 РОЗДІЛ 1. МАТЕМАТИКА І ГАРМОНІЯ

Що таке гармонія---------------------------------------------------------------7

1.2.Міф про Гармонію--------------------------------------------------------------8 1.3.Гармонія у вченнях стародавніх греків------------------------------------8

Числова гармонія піфагорійців----------------------------------------------9

1.5.Три основних періоди в розвитку «математики гармонії»-----------10

РОЗДІЛ 2. СВІТ ГАРМОНІЇ І КРАСИ

2.1. Золотий переріз і сучасна математична гармонія----------------------13

2.2. Математика і природа--------------------------------------------------------14

2.3.Симетрія в математиці--------------------------------------------------------15

РОЗДІЛ 3. НАУКОВІ ДОСЛІДЖЕННЯ------------------------------------------19

ВИСНОВКИ----------------------------------------------------------------------------21

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ------------------------------------------22

ВСТУП

Математика - сукупна назва багатьох математичних наук. Основними з них є: арифметика, алгебра, геометрія і математичний аналіз. Слово "математика" використовували у Стародавній Греції приблизно в V ст. нашої ери послідовники легендарного Піфагора - так звані "піфагорійці". Походить воно від слова "матема", що означає "вчення" або "знання". Давні греки визнавали тільки 4 матема: вчення про числа (арифметику), вчення про фігури (геометрію), вчення про пропорції в природі та мистецтві (гармонію) та вчення про форми світу (астрономію).

Неодмінною умовою належності певного знання до математики було виведення його шляхом логічного міркування, тобто за допомогою мислення. Перші піфагорійці тримали математичні знання в суворій таємниці від непосвячених. Проте з часом, гору взяли математики, які вважали, що справжні знання можуть і повинні бути доступними всім. Впродовж багатьох століть люди з різних країн відкривали математику, уточнювали, вдосконалювали, поглиблювали відкрите і поширювали по всьому світу

За періодизацією академіка А.М. Колмогорова, в історії математики розрізняють чотири найголовніші періоди: зародження математики (від найдавніших часів до VI-V ст. до н.е.), математика сталих величин (VI-V ст. до н.е. -XVI ст. включно), математика змінних величин (XVIІ ст. - середина ХІХ ст.), сучасна математика (друга половина ХІХ ст. - наші дні).

Образно кажучи, космічні ракети зроблені не з металу, а з математичних формул, рівнянь, розрахунків.

Важко переоцінити роль математики серед інших наук, вона є

тим ланцюжком, що поєднує науку та навколишній світ. Закони краси неможливо виразити кількома формулами. Але, вивчаючи математику, ми все ближче наближуємось до розуміння законів природи.

Не всі люди розуміють закони математики, але кожен здатен відрізнити красивий об`єкт від спотвореного, здатен милуватись красою, захоплюватись витворами мистецтва. Та що ж означає бути прекрасним, що найбільше приваблює нас у довкіллі? Це довершеність та правильність форм, яка підпорядкована законам симетрії та золотої пропорції .

Видатний математик Герман Вейль високо оцінив роль симетрії в сучасній науці:

«Симетрія», як би широко або вузько ми не розуміли це слово, є ідея, за допомогою якої людина намагалася пояснити і створити порядок, красу і досконалість”.

Розуміння зв`язків гармонії та математики формує нашу уяву про навколишній світ,про математичні поняття, які діють у природі та різних галузях життя.

Математика – це не тільки система законів, теорем, задач, а й засіб пізнання прекрасного. З давніх часів гармонію та красу пов`язували з симетрією та пропорцією золотого перерізу.

РОЗДІЛ 1

МАТЕМАТИКА І ГАРМОНІЯ

1.1. Що таке гармонія?

Гармо́нія (грец. αρμονία — зв'язок, порядок; лад; злагодженість, відповідність, стрункість).

Гармонія – це одна з найважливіших сил в світі. Вона не дозволяє зробити зі світу хаос. Гармонія відіграє провідну роль у житті кожного з нас. Вона являє собою баланс між компонентами цього світу. Гармонія поширюється і на мікроби, і на зірки, і на все, що оточує нас щодня. Люди і все навколишнє побудовано на принципах гармонії.

Світова гармонія важлива, і вона несе свою мету, але кожна людина – це цілий всесвіт, і гармонія всередині нього так само важлива, як і всередині Всесвіту.

Як підкреслює В.П. Шестаков у книзі "Гармонія як естетична категорія"
історії естетичних навчань висувалися найрізноманітніші типи розуміння гармонії. Саме поняття " гармонія" вживалося надзвичайно широко і багатозначно. Шестаков виділяє три основних розуміння гармонії , що склалися в процесі розвитку науки та естетики:

Математична гармонія.

У цьому сенсі гармонія розуміється як рівність або відповідність частин один з одним і частини з цілим. У Великій Радянській Енциклопедії ми знаходимо таке визначення гармонії , яке виражає математичне розуміння гармонії:

«Гармонія - домірність частин і цілого , злиття різних компонентів об'єкта в
єдине органічне ціле. У гармонії отримують зовнішнє виявлення внутрішньої
впорядкованості міри буття ».

Естетична гармонія.

На відміну від математичного розуміння естетичне розуміння є вже не просто кількісним, а якісним , що виражає внутрішню природу речей. Естетична гармонія пов'язана з естетичними переживаннями ,чітко цей тип гармонії проявляється при сприйнятті краси природи.

Художня гармонія.

Цей тип гармонії пов'язаний з мистецтвом. Художня гармонія - це актуалізація принципу гармонії в матеріалі самого мистецтва.
Найголовніше, що випливає з проведених міркувань , полягає в тому , що «гармонія» є універсальним поняттям , яке має відношення не тільки до математики як науки , а й до мистецтва .

1.2. Міф про Гармонію

В пошуках найдавніших уявлень про гармонію (грец. – злагода, лад) звернемося до античної міфології. З відомого античного міфу про Гармонію, дочку бога війни Ареса та богині кохання і краси Афродіти, ми довідуємося, що Зевс видав її заміж за Кадма, легендарного засновника грецького міста Фіви. На весіллі Гармонії і Кадма були присутні всі боги. Вони подарували Гармонії ковдру та намисто, які виготовив Гефест. Те, що Гармонія є дочкою богині краси і бога війни, очевидно, не випадковість. У міфі відбилось уявлення про гармонію як породження двох основ – краси і боротьби, любові і війни.

Другий давньогрецький міф розповідає про походження світу, де гармонія є протилежністю хаосу, який виступає однією з першооснов виникнення всього існуючого. Ця першооснова характеризується як щось без якості, визначеності, уявляється якоюсь порожнечею, безформністю, розпорошеністю. Гармонія ж означає певну якісну визначеність, єдність і оформленість цілого як сукупності складових частин. Принципом, на основі якого можлива ця єдність, є міра.

1.3. Гармонія у вченнях стародавніх греків

Отже, навіть найдавнішій міфології властиві були уявлення про гармонію, хаос і міру, які потім стали самостійними поняттями античної філософії та естетики.

Гомер використовував термін гармонія й у побутово-практичному значенні. Це, по-перше, мир, згода, злагода. По-друге, гармонія розуміється також як скріпа, цвях. У Гомера це слово найчастіше означає одиницю виміру.

Наприклад, Філолай вважав, що гармонія є внутрішнім зв'язком речей і явищ в природі, без якого космос не зміг би існувати. Зокрема, гармонія означає єдність межі і безмежного, однак вона є не тільки основою світу – душа також є гармонією.

Принципово нове вчення про гармонію сформулював пізніше відомий грецький діалектик Геракліт. Його розуміння гармонії ґрунтується на ідеї збігу протилежностей, на діалектиці єдності і множини. Гармонія у Геракліта виникає через боротьбу протилежностей. Іншими словами: без боротьби немає гармонії, як і без гармонії немає боротьби. Вчення Геракліта відрізняється від піфагорійського, в якому діалектика гармонії розуміється ще формально і схематично. Гармонія у Геракліта створюється не числами і не змішуванням окремих частин цілого, а є самою річчю в її цілісності і діалектичній тотожності з іншими речами.

Значний внесок у розвиток категорії гармонія зробили визначні давньогрецькі філософи Сократ, Платон і Арістотель.

Саме Сократ вніс в естетику ідею доцільності, що дало змогу по-новому поглянути на самий зміст гармонії. Вона вже не зводилась до фізичних пропорцій і симетрії, як у піфагорійців. У розуміння гармонії Сократ увів момент відносності, доцільності та функціональності.

Що стосується Арістотеля, то він використовував термін гармонія не дуже часто, надаючи перевагу іншим, близьким до нього за змістом. Арістотель зближує насамперед терміни гармонія і порядок, і тоді гармонія розуміється як діалектичний перехід безпорядку в порядок і навпаки. Гармонію Арістотель визначає також за допомогою понять міра, порядок, величина, симетрія.

Практично у Платона гармонію творили розум, воля, відчуття. Об’єднувала їх в єдине ціле ідея, для Платона –це ідея добра. Пануючим у цій гармонії був розум,

бо саме через мудрість поєднувалися в єдине ціле розум, воля, відчуття та осмислювалась і реалізовувалась ідея.

1.4. Числова гармонія піфагорійців

Піфагорійці вперше висунули думку про гармонійний устрій усього світу , включаючи сюди не тільки природу і людину , але і весь космос . Згідно піфагорійців - « гармонія представляє собою внутрішній зв'язок речей , без якої космос не зміг би існувати .»

Піфагор вважає ,що гармонія має чисельне вираження , тобто вона інтегрально пов'язана з концепцією числа. Піфагорійці створили вчення про сутність числа.

Для піфагорійського вчення, гармонія має числове вираження. Піфагорійці вважали математичні основи початком всього існуючого і уподібнювали всі речі числам. Числова гармонія лежить в основі загальноантичного вчення і про космос. Піфагорійці надавали формі Всесвіту вигляд симетричних геометричних фігур: Землі — форму куба, вогневі — форму пірамід, повітрю — форму октаедра, воді — форму ікосаедра, сфері Всесвіту — форму додекаедра. Також Піфагор та його послідовники вважали, що рух світил навколо центрального світового вогню створює гармонійну музику. Тому космос постає гармонійно побудованим і музично оформленим тілом.

За переказами , Піфагор , будучи спостережливим,випадково відкрив , що три струни дають гармонійний акорд,якщо числа,які визначають їх довжини, стоять у певному відношенні – 6:4:3. Таким чином числа зумовлювали властивості явища,зміна чисел порушувала або вдосконалювала гармонію; звідси один крок до визначення,що числове співвідношення є не тільки зовнішньою умовою,а й внутрішньою діючою причиною явища. Піфагорійці вчили,що в такому самому «гармонійному» відношенні ,як довжини струн,що дають довершений акорд,стоять радіуси небесних сфер,які несуть собі Місяць,Сонце і нерухомі зорі,тобто сфер,що обертаються навколо «центрального вогню»; це так звана «музика сфер», гармонія світу, «небо є число і гармонія»

Гармонія присутня скрізь у Всесвіті: і в комбінації ритмів астрономічних тіл, за якими вони обертаються в просторі, відомій як «музика сфер», і в мистецтві музики, яка очищує душу. Гармонія встановлена не лише на фізичному рівні, але також і в зв'язках між космічним і моральним порядком. Піфагор увів звичай застосовувати музику для очищення душі й практикував лікування музикою. Деякі мелодії були проти пригнічуючих душу страждань — смутку й мук, другі — проти гніву й злості, а треті — проти пристрастей. Піфагорейцями було відкрито гармонійні співвідношення октави, квінти й кварти, а також числові закони, що ними керують.[ Кованцова М.І. Математична хрестоматія.- с.35-39]

1.5.Три основних періоди в розвитку «математики гармонії»

Інтерес до «золотого перетину » , Платоновим тілам і « математики гармонії » зростав в періоди найвищого розквіту людської культури. У відповідності з цими періодами у розвитку « Математики гармонії » можна виділити три основні періоди
1 . Давньогрецький період .

Умовно можна вважати , що цей період починається з досліджень Піфагора і Платона . Вищим досягненням цього періоду є «Початки Евкліда»

2 . Епоха Відродження.

Цей період пов'язаний з іменами таких видатних особистостей цієї епохи , як П'єро справи Франческа (1412-1492) , Леон Баттіста Альберті (1404-1472) , Леонардо да Вінчі (1452-1519) , Лука Пачіолі (1445-1517) , Йоганн Кеплер( 1571-1630 ) . Саме в цей період з'являються дві книги , які найбільшою мірою відображали «золоту » парадигму древніх греків. Перша з них - це книга " Divina Proprtione " ( 1509 ) , написана видатним італійським математиком і вченим ченцем Лукою Пачолі під безпосереднім впливом Леонардо да Вінчі. Друга книга - це книга Йоганна Кеплера «Гармонія світу » (1619 ) .

3 . Сучасний період .

Умовно цей період починається з 19 століття і його початок пов'язаний з дослідженнями французьких математиків Жака Філліпа Марі Біне (1786-1856) , Франсуа Едуарда Анатоля Люка (1842-1891) , німецького поета і філософа Адольфа Цейзинга (нар. 1810 р. ) і німецького математика Фелікса Клейна

(1849-1925) . У другій половині 20 ст . і початку 21 ст . інтерес до « математики гармонії» інтенсивно зростає у всіх сферах науки . Відродження ідеї гармонії в сучасній науці визначалося новими науковими реаліями. Проникнення Платонових тіл, «Золотого перетину» і чисел Фібоначчі в математику , в усі сфери теоретичного природознавства( кристалографія , хімія , астрономія , наука про Землю , квантова фізика , ботаніка , біологія ,геологія , медицина тощо), а також в інформатику та економічні науки і стало головною причиною інтересу сучасної науки до проблеми гармонії.

РОЗДІЛ 2

СВІТ ГАРМОНІЇ І КРАСИ

2.1. Золотий переріз і сучасна математична гармонія

Всі предмети, які нас оточують, ми сприймаємо за формою. Інтерес до певної форми може викликатись потребою життя або красою форми. Найкраще сприймається форма предмета, будова якого ґрунтується на симетрії і золотому перерізі. Саме такі предмети викликають в нас відчуття гармонії та краси.

Ще художники епохи Відродження дослідили, що в мистецького твору є точки, які мимоволі приваблюють зір людини. Мова йдеться про зорові центри. Незалежно від формату картини, яка розглядається, є чотири точки, на які глядач звертає увагу. Ці точки розміщені на відстані 3/8 і 5/8 від країв площини.

Рис.2.1

Золотий переріз – це такий пропорційний поділ відрізка на нерівні частини, при якому менша частина так відноситься до більшої, як більша до всього відрізка.

a : b= b : c

Рис.2.2

Якщо весь відрізок прийняти за 1, а більшу його частину позначити Х, то менша частина відрізка буде дорівнювати (1-Х). За відношенням золотого перерізу 1: Х = Х: (1-Х), звідси = 1-Х. Рівняння +Х -1 = 0 має додатній корінь Х= =0,618…

Відношення золотого перерізу 1/Х = 1,618… зазвичай позначають грецькою літерою φ. Відношення золотого перерізу називають ще формулою краси.

Вважають, що поняття золотого перерізу ввів у науковий обіг давньогрецький математик і філософ Піфагор в VI столітті до нашої ери. Припускають, що Піфагор запозичив своє знання золотого перерізу у єгиптян і вавилонян.

Ще у Древньому Єгипті і Вавілоні використовувалось співвідношення золотого перерізу. Цю пропорцію можна знайти в піраміді Хеопса, у побутових предметах із гробниці Тутанхамона та інших мистецьких творах тієї пори.

Платон (427 - 347 р. до н.е.) також знав про золотий переріз. Він присвятив свій діалог "Тімей" поглядам піфагорійської школи та питанню золотого перерізу.

У середньовічні часи в Європі із золотим перерізом знайомилися за "Началами" Евкліда. Секрети золотого перерізу зберігалися в суворій таємниці. Їх знали лише обрані.В епоху Відродження посилився інтерес до золотого перерізу серед художників і учених. У 1509 р. у Венеції була видана книга Луки Пачолі "Божественна пропорція" з прекрасними ілюстраціями. Вважають, що ілюстрації до книги виконав Леонардо да Вінчі. Серед багатьох достоїнств золотої пропорції чернець Лука Пачолі не забув назвати і її "божественну суть" як вираження божественного триєдності Бог Син, Бог Батько і Бог Дух Святий (малося на увазі, що малий відрізок є уособлення Бога Сина, більший відрізок - Бога Батька, а весь відрізок - Бога Духу Святого).

2.2. Математика і природа

Природа — досконале творіння, переконуються вчені, які помічають в будові людського тіла пропорції золотого перетину, а в голівці цвітної капусти — фрактальні фігури.

Ще древні греки, а, можливо, і єгиптяни ще раніше, знали пропорцію «золотого перетину». Лука Пачолі, математик епохи Відродження, назвав це співвідношення «божественною пропорцією». Вчені виявили, що золотий перетин, який людське око сприймає як гармонійний та приємний, і який часто зустрічається в класичній архітектурі, мистецтві та навіть поезії, можна знайти і в природі.

Пропорція золотого перетину — це поділ відрізка на дві нерівні частини, в якому коротка частина так відноситься до довгої, як довга до всього відрізку. Відношення довгої частини до всього відрізку — це нескінченне число, ірраціональний дріб 0,618…, частка короткої — відповідно 0,382…

Цікаво знаходити схожі утворення в мікро-і макросвіті. Надихати може й те, що геометрію цих утворень наука може описати. Кровоносна система, річка, блискавка, гілки дерев… все це — схожі системи, що складаються з різних часточок і мають різний масштаб

Спіраль

Якщо побудувати прямокутник зі сторонами, співвідношення яких буде рівне пропорції «золотого перетину», і вписати в нього ще один «золотий прямокутник», в той — ще один, і так до нескінченності всередину і назовні, то за кутовими точками прямокутників можна провести спіраль. Цікаво те, що така спіраль співпадатиме зі зрізом раковини Наутилуса, а також іншими спіралями, які поширені в природі.

Пропорція золотого перетину сприймається людським оком як красива, гармонійна. А ще пропорція 0,618… дорівнює відношенню попереднього до наступного числа в ряді Фібоначчі: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,144,233, ...

Числа прослідовності Фібоначчі теж повсюдно проявляються в природі: це спіраль, по якій гілочки рослин примикають до стебла, спіраль, по якій виростають лусочки на шишці або зерна на соняшнику. Що цікаво, в цих природних утвореннях кількість рядів, що закручується проти годинникової стрілки і за годинниковою стрілкою, — це сусідні числа в ряді Фібоначчі.

Спірально закручується голівка капусти броколі та баранячий ріг… Та й у самому людському тілі, зрозуміло, здоровому та нормальному за пропорціями, зустрічаються співвідношення золотого перетину. Подвійною спіраллю закручена молекула ДНК. Ураган закручується по спіралі, спірально плете свою павутину павук.

«Золоту пропорцію» можна побачити і в будові тіла метелика, у відношенні грудної та черевної частин її тільця, а також у бабки. Та й більшість яєць вписується якщо не в прямокутник золотого перетину, то в похідний від нього.

Іншими загадковими фігурами, які ми можемо побачити в природі повсюдно, є фрактали.

Фрактали — це фігури, складені з частин, кожна з яких подібна до цілої фігури — чи не нагадує це принцип золотого перетину?
Дерева, блискавка, бронхи і кровоносна система людини мають фрактальну форму, ідеальними природними ілюстраціями фракталів називають також папороті та капусту брокколі.

2.3. Симетрія в математиці

Важко знайти людину, яка б не мала якогось уявлення про симетрію. "Симетрія" - слово грецького походження. Воно, як і слово "гармонія", означає відповідність, наявність певного порядку, закономірності в розташуванні частин.

У давнину слово «симетрія» вживалось у значенні «гармонія» та «краса».

В математиці розглядаються різні види симетрії: осьова симетрія (симетрія відносно прямої), центральна симетрія (симетрія відносно точки) і дзеркальна симетрія (симетрія відносно площини).

Центральна симетрія.

Геометрична фігура називається симетричною відносно центру C, якщо для кожної точки А цієї фігури може бути знайдена точка E цієй ж фігури, так що відрізок AE проходить через центр C і ділиться в цій точці навпіл (AC = CE). Точка С називається центром симетрії.

Рис.2.3

Осьова симетрія.

Симетричними відносно прямої а називаються точки А і А1, якщо ця пряма проходить через середину відрізка АА1 і перпендикулярна до нього. Пряма а - це вісь симетрії.

Рис.2.4

Якщо зверху подивитися на будь-яку комаху і подумки провести посередині пряму (площину), то ліві і праві половинки комах будуть однаковими і по розташуванню, і за розмірами, і за забарвленням. Адже ми ні разу не бачили, щоб у жука або бабки, у будь-якої іншої комахи лапи ліворуч були б ближче до голови, ніж праворуч, а праве крило метелика або сонечка було б більше, ніж ліве. Такого в природі не буває, інакше б комахи не змогли б літати.

Властивість симетричності, властиве живій природі, людина використала у своїх досягненнях, винайшовши літак, створивши унікальні будівлі архітектури. Та й сама людина є фігурою симетричною.

Симетрію можна побачити серед квітів. Осьову симетрію мають квітки сімейства розоцвітих, а центральну симетрію - сімейство хрестоцвітих. Симетрію можна побачити і на листі дерев.

Дзеркальна симетрія.

Геометрична фігура називається симетричною відносно площини S, якщо для кожної точки E цієї фігури може бути знайдена точка E ' цієї ж фігури, так що відрізок EE' перпендикулярний площині S і ділиться цією площиною навпіл(EA = AE). Площина S називається площиною симетрії.

Симетричні фігури, предмети і тіла не рівні один одному у вузькому сенсі слова(наприклад,ліва рукавичка не підходить для правої руки і навпаки). Вони називаються дзеркальнорівними.

Рис.2.5

РОЗДІЛ 3

НАУКОВІ ДОСЛІДЖЕННЯ

Досліджуючи руку людини,я прийшла до висновку, що: сума двох перших фаланг пальців відноситься до всієї довжини пальців у відношенні золотого перерізу:0,618.

Рис.3.1

Досліджуючи співвідношення між розмірами обличчя людини, вчені прийшли до висновку:

Відношення висоти обличчя до його ширини дорівнює 0,618;
Відношення ширини рота до ширини носа дорівнює 0,618;
Відношення відстані між зіницями до відстані між бровами одно 0,618.

Рис.3.2

Рослини і моє дослідження

Розглядаючи розташування листя на стеблі, можна помітити, що між кожними двома парами листя (А і С) третя розташована в місці золотого перетину (точка В)

Рис.3.3

Навколишній нас світ живе за законами математики,а пропорції і відношення є невід'ємним принципом загальної гармонії ,законами «золотого перерізу», тобто абсолютної гармонії, підпорядковуються не тільки плоди людської діяльності, але і сама людина - її органи, душа, думки.

З народження людині наказано перебувати в гармонії з собою і зовнішнім світом. І зовсім неважливо, чи відповідає твоя зовнішність «золотим пропорціям», головне - завжди перебувати в душевній гармонії з тим світом, в якому ми живемо!

ВИСНОВКИ

Ідея про гармонійність світу і систем, пов'язана з відносинами протилежностей всередині об'єкта, не нова. Вона сходить до філософії Стародавньої Греції. "Бог, - учив великий філософ і геометр Піфагор, - це єдність, а світ складається з протилежностей. Те, що призводить протилежності до єдності і створює все в космосі, є гармонія. Гармонія є божественною і полягає в числових відносинах..." У наші дні ідея гармонії систем набуває все більшого визнання. Робляться зусилля з виявлення заходи структурної гармонії систем, виходячи з протилежностей в об'єкті, бо, як пише Е. М. Сороко, "гармонія не має будь-яким змістом поза суперечливості" Прийнято вважати, що об'єкти, які містять в собі «золотий перетин», сприймаються людьми як найбільш гармонійні.

Напевно, важко знайти надійну міру для об'єктивної оцінки самої краси, і однією логікою тут не обійдешся. Проте тут допоможе досвід тих, для кого пошук краси був сенсом життя, хто зробив це своєю професією. Це, перш за все, люди мистецтва, як ми їх називаємо: художники, архітектори, скульптори, музиканти, письменники. Але це і люди точних наук, - перш за все, математики.

В своїй роботі я розкрила суть поняття гармонії,числової гармонії піфагорійців, розглянутла основні періоди в розвитку «математики гармонії», показала зв'язок математики з природою, розглянула різні види симетрії та золотий переріз в математиці,виконала дослідження.

Цікавим для мене було показати зв'язок математичної гармонії з природою: золотий переріз та симетрія.

Ця тема мене зацікавила тим ,що математичний світ гармонії дуже широкий. Математична подорож у світ гармонії ще не закінчена.

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

Стахов А.П. Роль «Золотого Сечения» и «Математики Гармонии» в
преодолении «стратегических ошибок» в развитии математики. – [Електронний ресурс]. – Режим доступу: naukovedenie.ru/PDF/33tvn412.pdf
Кованцова М.І. Математична хрестоматія. – Видавництво «Радянська школа» Київ. – 1970
ІНТЕРНЕТ-РЕСУРСИ

Математика: відкриття впродовж століть -[Електронний ресурс]. – Режим доступу: referatcentral.org.ua/mathematics_statistics_load.php?id=211

http:// www.epochtimes.com.ua

http://ukrreferat.com

http://alexfrost.ucoz.ru/index/nature/0-4

http://ru.osvita.ua/vnz/reports/culture/10986/

http://ukrreferat.com/index.php?pg=1&referat=38908