บทที่ 1                                                                                                                               ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล และฟังก์ชันลอการิทึม

  1. เลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็ม

ตัวอย่างที่ 1        จงทำให้อยู่ในรูปอย่างง่ายและมีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก

        (1)                                                                (2)        

        

        (3)                                                        (4)        

        

แบบฝึกหัด 1.1

1. จงทำให้อยู่ในรูปอย่างง่ายและมีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก

        (1)                                                                                (2)        

        

        (3)                                                                        (4)        

        

        (5)                                                        (6)        

        (7)                                                                (8)        

2. ถ้า,,  และ  เป็นจำนวนเต็มบวก จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้ว่าจริงหรือเท็จ

        (1)         =                                                        (2)         =        

        (3)         =                                                                        (4)         =        

        (5)                ก็ต่อเมื่อ                 

                        

  1. รากที่  ในระบบจำนวนจริงและจำนวนจริงในรูปกรณฑ์

  1. ถ้า  แล้ว  จะมีรากที่สองที่มากกว่าหรือเท่ากับศูนย์เสมอ เรียกรากนี้ว่า รากที่สองที่ไม่

                เป็นลบของ  เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์

        2.        ถ้า  จะมีรากที่สองของ  สองราก คือ  และ

        3.        ถ้า  จะมีรากที่สองของ  เพียงรากเดียว คือ 0 หรือ

        4.        ถ้า  จะไม่มีรากที่สองของ  ที่เป็นจำนวนจริง

ตัวอย่างที่ 1        จงหารากที่สองของจำนวนต่อไปนี้

        (1)        รากที่สองของ 25        คือ        

        (2)        รากที่สองของ 16        คือ        

        (3)        รากที่สองของ         คือ        

        (4)        รากที่สองของ 6.25        คือ        

ตัวอย่างที่ 2        จงหาค่าของ

วิธีทำ                =        

                                        =        

                                        =        6                                        ตอบ

ในกรณีทั่วไปรากที่  ของจำนวนจริง มีบทนิยามดังนี้

ตัวอย่างที่ 3        

        (1)        รากที่ 4         ของ    16         คือ        ………………………………………….

        (2)        รากที่ 5         ของ   -243         คือ        ………………………………………….

ตัวอย่างที่ 4        

        (1)        ค่าหลักของรากที่ 4 ของ  16         คือ         ……………………………………

        (2)        ค่าหลักของรากที่ 3 ของ -125         คือ        ……………………………………

        (3)        ค่าหลักของรากที่ 5 ของ   32         คือ        ……………………………………

        (4)        ค่าหลักของรากที่ 7 ของ   -5         คือ        ……………………………………

        (5)        ค่าหลักของรากที่ 4 ของ  -16         คือ        ……………………………………

ตัวอย่างที่ 5        จงหาค่าของ

        (1)                                        =        …………………………………………………...

        (2)                                                        =        …………………………………………………...

        (3)                =        …………………………………………………...

ตัวอย่างที่ 6        จงหาค่าของ

        (1)                =        …………………………………………………...

        (2)                =        …………………………………………………...

        (3)                =        …………………………………………………...

ตัวอย่างที่ 7        จงหาค่าของ

        (1)                =        …………………………………………………...

        (2)                =        …………………………………………………...

        (3)                =        …………………………………………………...

ตัวอย่างที่ 8        จงหาค่าของ

……………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………

แบบฝึกหัด 1.2

1. จงทำจำนวนต่อไปนี้ให้อยู่ในรูปอย่างง่าย

        (1)                =        ……………………...                (2)                  =        ……………………...

        (3)                =        ……………………...                (4)                        =        ……………………...

        (5)                =        ……………………...        

2. จงเขียนจำนวนต่อไปนี้ให้อยู่ในรูปที่ตัวส่วนไม่ติดกรณฑ์

 

        (1)                =        ……………………...                (2)                    =        ……………………...

        (3)                =        ……………………...                (4)           =        ……………………...

        (5)                =        ……………………...        

3. จงทำผลคูณต่อไปนี้ให้อยู่ในรูปอย่างง่าย

        (1)                =        ……………………...        (2)                    =   ……………………...         

        (3)                =        ……………………...        (4)    =   ……………………...

4. จงทำให้เป็นผลสำเร็จ

        (1)                                                        (2)                    

        (3)                                                        (4)                    

1.3 เลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะ

ตัวอย่างที่ 1        จงทำ  เป็นรูปอย่างง่าย เมื่อ

……………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………..

ตัวอย่างที่ 2        จงทำ  เป็นรูปอย่างง่าย เมื่อ ,

……………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………..

ตัวอย่างที่ 3        จงทำ  เป็นรูปอย่างง่าย

……………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………..

ตัวอย่างที่ 4        จงทำ  เป็นรูปอย่างง่าย

……………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………..

ตัวอย่างที่ 5        จงหาค่าของ

……………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………..

ตัวอย่างที่ 6        จงทำ  ให้ตัวส่วนอยู่ในรูปไม่ติดกรณฑ์

……………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………..

ตัวอย่างที่ 7        จงหาร  ด้วย

……………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………..

ตัวอย่างที่ 8        จงหาเซตคำตอบของสมการ  

……………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………..

ตัวอย่างที่ 9        จงหาเซตคำตอบของสมการ  

……………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………..

แบบฝึกหัด 1.3

1. จงหาค่าของ

        (1)                        =        ………………..                                (2)                         =        ………………..

        (3)                =        ………………..                                (4)                 =        ………………..

        (5)                =        ………………..                                (6)                 =        ………………..

        (7)                =        ………………..                                (8)                         =        ………………..

        (9)                =        ………………..                                (10)                         =        ………………..

2. ให้  และ  เป็นจำนวนจริงบวก จงทำให้อยู่ในรูปอย่างง่าย และมีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนบวก

        (1)                =        ………………………………………………………………………

        (2)                =        ………………………………………………………………………

        (3)                =        ………………………………………………………………………

        (4)                =        ………………………………………………………………………

3. จงทำให้อยู่ในรูปอย่างง่าย

        1)                                                        2)        

        3)                                                        4)        

4. จงเขียนจำนวนต่อไปนี้ให้ตัวส่วนอยู่ในรูปที่ไม่ติดกรณฑ์

        1)                                                                        2)        

        3)                                                                4)        

5. จงทำให้อยู่ในรูปอย่างง่าย

        1)                                                        2)        

6. จงหาค่ากำลังสองของจำนวนต่อไปนี้

        1)                                                        2)        

7. จงหาเซตคำตอบของสมการต่อไปนี้

 

        1)                                                                2)        

        3)                                                                4)        

        5)                                                        6)        

        7)                                                        8)        

        9)                                                        10)        

        11)                                        12)        

แบบฝึกหัดพิเศษ

1. จงเขียน    ให้อยู่ในรูปอย่างง่าย

2. จงเขียน   ให้อยู่ในรูปอย่างง่าย

3. กำหนดให้  ดังนั้นค่าของ  มีค่าเท่าไร

4. ให้  และ  จงหาค่าของ

5. ถ้า  จงหาค่าของ

6. กำหนด  และ  จงหาค่าของ

7. กำหนด  และ  จงหาค่าของ

8. จงแก้สมการ

9. ถ้า  จงหาผลบวกของทุกสมาชิกในเซต

10. จงหาผลบวกของ  ที่สอดคล้องสมการ

11. จงหาผลบวกของกำลังสองของรากที่เป็นจำนวนจริงทุกรากของสมการ

12. จงหารากที่สามของ

13. ถ้า  จงหาค่าของ

14. ถ้า  เป็นรากของสมการ  และ  หาค่าของ

15. จงหาจำนวนจริง  ที่สอดคล้องกับสมการ

16. จงหาจำนวนจริงทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการ

17. จงหาผลบวกของจำนวนเต็มทั้งหมดที่เป็นคำตอบของสมการ

18. ถ้า  จงเขียนเซตนี้ในรูปแจกแจงสมาชิก

19. จงหาค่าของ

20. กำหนด

21. ถ้า  จงหาค่าของ

22. จงหาคำตอบของสมการ

23. ถ้า  แล้ว..........................

24. ถ้า  และ  แล้ว จงหาค่าของ

25. ให้  เป็นจำนวนตรรกยะที่สอดคล้องกับ  จงหาค่าของ

26. มีจำนวนเต็มบวก  ทั้งหมดกี่จำนวนที่สอดคล้องกับอสมการ    

27. กำหนดสมการ

        

จงหาค่าของ  เท่ากับเท่าไร

1.4 ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล

ตัวอย่างที่ 1        กราฟของฟังก์ชัน

 

                        

        1)        โดเมนของฟังก์ชัน          คือ        ………………………………………………………..

        2)        เรนจ์ของฟังก์ชัน          คือ        ………………………………………………………..

        3)        กราฟตัดแกน Y ที่จุดใด                        ………………………………………………………..

        4)        ฟังก์ชัน  เป็นฟังก์ชันเพิ่มหรือฟังก์ชันลด        ……………………………………..

ตัวอย่างที่ 2        กราฟของฟังก์ชัน

 

                        

        1)        โดเมนของฟังก์ชัน  คือ        ………………………………………………………..

        2)        เรนจ์ของฟังก์ชัน          คือ        ………………………………………………………..

        3)        กราฟตัดแกน Y ที่จุดใด                        ………………………………………………………..

        4)        ฟังก์ชัน  เป็นฟังก์ชันเพิ่มหรือฟังก์ชันลด        ……………………………………..

ตัวอย่างที่ 3        จงเขียนกราฟของ,,  และ ลงในระบบพิกัดฉากเดียวกัน

 

                        

ข้อสังเกต

        1.        กราฟของฟังก์ชัน,  และ  จะผ่านจุด (0, 1) เสมอ ทั้งนี้เพราะ

        2.        ถ้า  แล้ว  เป็นฟังก์ชันเพิ่ม และกราฟ  ไม่ตัดแกน X แต่เข้าใกล้

                เส้นตรง  เมื่อ  มีค่าลดลงโดยไม่มีขอบเขต

        3.        ถ้า  แล้ว  เป็นฟังก์ชันลด และกราฟ  ไม่ตัดแกน X แต่เข้าใกล้

                เส้นตรง  เมื่อ  มีค่าเพิ่มขึ้นโดยไม่มีขอบเขต

        4.        ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลเป็นฟังก์ชัน 1-1 จาก  ไปทั่วถึง

        5.        โดยสมบัติของฟังก์ชัน 1-1 จะได้ว่า  ก็ต่อเมื่อ

ตัวอย่างที่ 4        จงหาเซตคำตอบของสมการ

……………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………..

ตัวอย่างที่ 5        จงหาเซตคำตอบของอสมการ

……………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………..

ตัวอย่างที่ 6        จงเขียนกราฟของแต่ละฟังก์ชัน

แบบฝึกหัด 1.4

1. จงพิจารณาว่าฟังก์ชันต่อไปนี้เป็นฟังก์ชันเพิ่มหรือฟังก์ชันลด พร้อมทั้งเขียนกราฟ

        1)                                                                                        2)        

        3)                                                                                4)        

        5)                                                                                6)        

        7)                                                                                8)        

2. จงหาเซตคำตอบของสมการหรืออสมการต่อไปนี้

        1)                                                                                2)        

        3)                                                                                4)        

        5)                                                                                6)        

        7)                                                                                8)        

3. ถ้า  และ   จงหาค่าของ  

        1)                                =        ……………………………………………………………………        

        2)                                =        ……………………………………………………………………

        3)                =        ……………………………………………………………………        

        4)                =        ……………………………………………………………………

        5)                        =        ……………………………………………………………………

        6)                        =        ……………………………………………………………………

        7)                        =        ……………………………………………………………………

        8)                                =        ……………………………………………………………………

4. จงเขียนกราฟของแต่ละฟังก์ชันต่อไปนี้

        1)                                                                                2)        

        3)                                                                        4)        

แบบฝึกหัดพิเศษ

1. เซตคำตอบของสมการ  คือสับเซตของเซตในข้อใด

        ก.        (-4, -3)                        ข.        (-3, 1)                        ค.        (0, 3)                        ง.        (-1, 2)

2. ค่าของ  ที่ทำให้  คือข้อใด

        ก.        0                                ข.        0.5                                ค.        1                                ง.        1.5

3. พิจารณาข้อความต่อไปนี้

        (1)                  เมื่อ  เป็นจำนวนนับ

        (2)                                 เมื่อ,  และ

        ก.        ถูกเฉพาะข้อ (1)                                                ข.        ถูกเฉพาะข้อ (2)                                        

        ค.        ถูกทั้งข้อ (1)         และ (2)                                        ง.        ผิดทั้งข้อ (1)         และ (2)        

4. ข้อใดต่อไปนี้ถูก

        ก.                        

        ข.                                        

        ค.                                โดยที่  และ  เป็นจำนวนจริงใด ๆ ที่มากกว่า 0        

        

        ง.                โดยที่  เป็นจำนวนจริงใด ๆ ที่มากกว่า 0                

5. ถ้า  และ  แล้ว  มีค่าเท่ากับเท่าใด

        ก.        3                                ข.        6                                ค.                                        ง.        

6. พิจารณาข้อความต่อไปนี้

        (1)                                (2)        

        ก.        ถูกทั้งข้อ (1)         และ (2)                                                ข.        ข้อ (1) ถูก แต่ ข้อ (2) ผิด                        

        ค.        ข้อ (1) ผิด แต่ ข้อ (2) ถูก                                        ง.        ข้อ (1) ผิด และ ข้อ (2) ถูก

7. ถ้า  และ  แล้ว  เท่ากับเท่าไร

        ก.        10                                ข.        30                                ค.        -10                                ง.        -30

8. ถ้าเอกภพสัมพัทธ์คือเซตของจำนวนจริง แล้วเซตคำตอบของสมการ  คือข้อใด

        ก.                                ข.                                

        ค.                        ง.        

9.  มีค่าเท่ากับเท่าไร

        ก.        8                                ข.        2                                ค.        12                                ง.        

10. เซตคำตอบของสมการ  คือสับเซตของเซตในข้อใด

        ก.        [3, 4]                        ข.        [-4, -3]                        ค.        [1, 2)                                ง.        (2, 3]

11. คำตอบของสมการ  อยู่ในช่วงใด

        ก.        [-1, 1]                        ข.        (0, 2]                        ค.        [-1, 0]                                ง.        (3, 5]

12. ค่า  ของสมการ  อยู่ในช่วงใด

        ก.        [0, 2]                        ข.        [3, 5]                        ค.        [6, 8]                                ง.        [9, 11]

13. ค่าของ  ที่สอดคล้องกับสมการ  คือข้อใด

        ก.        0                                ข.                                        ค.                                        ง.        

14. กำหนดให้  และ  ค่าของ  เท่ากับข้อใด

        ก.                                        ข.                                        ค.                                        ง.        

15. ค่า  ที่สอดคล้องกับสมการ  อยู่ในช่วงใดต่อไปนี้

        ก.                        ข.                        ค.                                        ง.        

16. เซตคำตอบของอสมการ   เท่ากับเซตคำตอบของอสมการในข้อใด

        ก.                        ข.                        ค.                                ง.        

17. ถ้า  และ  แล้ว  เท่ากับข้อใด

        ก.        -1                                ข.        0                                ค.                                        ง.        1

1.5 ฟังก์ชันลอการิทึม

ข้อสังเกต

        1)        ความสัมพันธ์ระหว่าง  กับ  ที่เขียนในรูป   และ  

                มีความหมายเช่นเดียวกัน นั่นคือ

  1. กราฟของฟังก์ชัน  จะผ่านจุด (1, 0) เสมอ เพราะว่า

                        

                3)        ถ้า  แล้ว  เป็นฟังก์ชันเพิ่ม

                        ถ้า  แล้ว  เป็นฟังก์ชันลด

                4)        ฟังก์ชันลอการิทึมเป็นฟังก์ชัน 1 – 1 จาก  ไปทั่วถึง  และทำให้ได้ว่า

                         ก็ต่อเมื่อ

        5)        เนื่องจาก   และ  มีความหมายเช่นเดียวกัน จึงทำให้ได้ว่า

ตัวอย่างที่ 1        จงหาค่าของ

        1)                                                                                2)        

……………………………………………….                ………………………………………………

……………………………………………….                ………………………………………………

……………………………………………….                ………………………………………………

สมบัติที่สำคัญของลอการิทึม

เมื่อ  เป็นจำนวนจริงบวกที่  และ  เป็นจำนวนจริง

        (1)        

……………………………………………….                ………………………………………………

……………………………………………….                ………………………………………………

……………………………………………….                ………………………………………………

        (2)        

……………………………………………….                ………………………………………………

……………………………………………….                ………………………………………………

……………………………………………….                ………………………………………………

        (3)        

……………………………………………….                ………………………………………………

……………………………………………….                ………………………………………………

……………………………………………….                ………………………………………………

        (4)        

……………………………………………….                ………………………………………………

……………………………………………….                ………………………………………………

……………………………………………….                ………………………………………………

        (4)        

……………………………………………….                ………………………………………………

……………………………………………….                ………………………………………………

        (5)        

……………………………………………….                ………………………………………………

……………………………………………….                ………………………………………………

        (6)         เมื่อ  และ

……………………………………………….                ………………………………………………

……………………………………………….                ………………………………………………

ตัวอย่างที่ 2        จงหาค่าของ

        1)                                                                        2)        

……………………………………………….                ………………………………………………

……………………………………………….                ………………………………………………

……………………………………………….                ………………………………………………

        3)                                                                        4)        

……………………………………………….                ………………………………………………

……………………………………………….                ………………………………………………

……………………………………………….                ………………………………………………

ตัวอย่างที่ 3        จงหาค่าของ

        1)                                                        2)        

……………………………………………….                ………………………………………………

……………………………………………….                ………………………………………………

……………………………………………….                ………………………………………………

ตัวอย่างที่ 3        กำหนด  และ   จงหาค่าของ

        1)                                                                        2)        

……………………………………………….                ………………………………………………

……………………………………………….                ………………………………………………

แบบฝึกหัด 1.5

1. จงเขียนสมการต่อไปนี้ในรูปลอการิทึม

        (1)                                                ……………………………………………………….                

        (2)                                                ……………………………………………………….                

        (3)                                                ……………………………………………………….                

        (4)                                        ……………………………………………………….                

        (5)                                          ……………………………………………………….                

        (6)                                        ……………………………………………………….                

        (7)                          ……………………………………………………….                

        (8)                                        ……………………………………………………….                

2. จงเขียนสมการต่อไปนี้ในรูปเลขยกกำลัง

        (1)                                        ……………………………………………………….                

        (2)                                        ……………………………………………………….        

        (3)                                                ……………………………………………………….                

        (4)                                ……………………………………………………….                

        (5)                                  ……………………………………………………….                

        (6)                                        ……………………………………………………….                

3. จงหาค่าต่อไปนี้

        1)                                                                        2)        

……………………………………………….                ………………………………………………

……………………………………………….                ………………………………………………

……………………………………………….                ………………………………………………

        3)                                                                        4)        

……………………………………………….                ………………………………………………

……………………………………………….                ………………………………………………

……………………………………………….                ………………………………………………

        5)                                                                        6)        

……………………………………………….                ………………………………………………

……………………………………………….                ………………………………………………

……………………………………………….                ………………………………………………

        7)                                                        8)        

……………………………………………….                ………………………………………………

……………………………………………….                ………………………………………………

……………………………………………….                ………………………………………………

4. จงเขียนกราฟของฟังก์ชันต่อไปนี้

        1)                                                                                2)        

        3)                                                                                4)        

        5)                                                                6)        

5. จงหาค่าของ  ในแต่ละข้อต่อไปนี้

        1)                                                                        2)        

……………………………………………….                ………………………………………………

……………………………………………….                ………………………………………………

        3)                                                                4)        

……………………………………………….                ………………………………………………

……………………………………………….                ………………………………………………

……………………………………………….                ………………………………………………

1.6 การหาค่าลอการิทึม

ลอการิทึมที่นิยมใช้ในการคำนวณ คือ ลอการิทึมสามัญ (ลอการิทึมฐานสิบ) นิยมเขียนโดยไม่มีฐานกำกับ  เช่น  มีความหมายเช่นเดียวกับ

เนื่องจากจำนวนจริงบวก  ใด ๆ สามารถเขียนในรูป  เมื่อ  และ  เป็นจำนวนเต็ม ได้เสมอ

ตัวอย่างที่ 1        ถ้า  จงหาค่าของ

        (1)                                                                        (2)        

…………………………………………………….                …………………………………………………

…………………………………………………….                …………………………………………………

…………………………………………………….                …………………………………………………

…………………………………………………….                …………………………………………………

        จากตัวอย่างข้างต้นเป็นการหาค่าของ  เมื่อกำหนด  มาให้ ในทางตรงกันข้าม

ถ้ากำหนดค่า  ให้ ก็สามารถหาค่า  ได้ และเรียก  ว่า แอนติลอการิทึม (Antilogarithm) 

ของ

ตัวอย่างที่ 2        ถ้า  และ  จงหาค่าของ

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

แบบฝึกหัด 1.6

1. จงหาค่าลอการิทึมของจำนวนที่กำหนดให้ต่อไปนี้ เมื่อกำหนด  และ

        (1)        37,100                                                                        (2)        0.00371

…………………………………………………….                …………………………………………………

…………………………………………………….                …………………………………………………

        (3)        832                                                                                (4)        0.0832

…………………………………………………….                …………………………………………………

…………………………………………………….                …………………………………………………

2. จงหา  เมื่อกำหนด  และค่า  ดังต่อไปนี้

        (1)        0.4082                                                                        (2)        3.4082

…………………………………………………….                …………………………………………………

…………………………………………………….                …………………………………………………

        (3)        - 0.5918                                                                        

…………………………………………………….                

…………………………………………………….                

3. กำหนดให้  เป็นความสัมพันธ์ระหว่างจำนวนของแบคทีเรียกับเวลา เมื่อ  มีหน่วยเป็นชั่วโมง และ  มีหน่วยเป็นพันตัว จงหาจำนวนเดิมของแบคทีเรีย และจำนวนของแบคทีเรียเมื่อเวลาผ่านไป

        (1)        10 นาที

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

        (2)        30 นาที

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

 

        (3)        1 ชั่วโมง

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

4. สูตรที่ใช้ในวิชาฟิสิกส์เพื่อหาค่าโดยประมาณของคาบ (Period) T วินาที ของการแกว่งของลูกตุ้มนาฬิกา ซึ่งยาว  เมตร คือ T =  จงหาค่าโดยประมาณของคาบของการแกว่งของลูกตุ้มนาฬิกา ซึ่งยาว 83 เซนติเมตร (ใช้ค่า)

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

1.7 การเปลี่ยนฐานของลอการิทึม

การเปลี่ยนฐานของลอการิทึมจากฐานหนึ่งไปยังอีกฐานหนึ่งทำได้ ดังนี้

ตัวอย่างที่ 1        จงเปลี่ยน  ให้อยู่ในรูป  เมื่อ

วิธีทำ        กำหนดให้                         

                                                                                

                                                                                

                                                                                

                                                                                

                                                                                

ตัวอย่างที่ 2        กำหนด  และ  จงหาค่าของ

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

ตัวอย่างที่ 3        กำหนด  จงหาค่าของ

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

ลอการิทึมธรรมชาติ (Natural logarithm) เป็นลอการิทึมอีกฐานหนึ่งที่ใช้มากและมีประโยชน์ในการศึกษาขั้นสูง นิยมเขียนแทน  แทน  เมื่อ  เป็นสัญลักษณ์แทนจำนวนอตรรกยะ และ  มีค่าประมาณ 2.7182818

ตัวอย่างที่ 4        กำหนด  และ  จงหาค่าของ

        (1)                                                                                (2)        

…………………………………………………….                …………………………………………………

…………………………………………………….                …………………………………………………

…………………………………………………….                …………………………………………………

…………………………………………………….                …………………………………………………

แบบฝึกหัด 1.7

1. จงหาค่าต่อไปนี้

        1)                        =        …………………..                2)                =        …………………..

        3)                =        …………………..                4)                =        …………………..

        5)                        =        …………………..                6)                        =        …………………..

        7)                        =        …………………..                8)                        =        …………………..

        9)                        =        …………………..                10)                =        …………………..

2. กำหนด  จงหาค่าของ

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

3. กำหนด  จงหาค่าของ

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

1.8 สมการเอกซ์โพเนนเชียลและสมการลอการิทึม

สมการเอกซ์โพเนนเชียล คือ สมการที่มีตัวแปรเป็นเลขชี้กำลัง

ตัวอย่างที่ 1        กำหนดให้  และ  จงหาค่า  ให้ถูกต้องถึงทศนิยมตำแหน่งที่ 3

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

ตัวอย่างที่ 2        กำหนดให้  และ  จงหาค่า  ให้ถูกต้องถึงทศนิยมตำแหน่งที่ 2

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

ตัวอย่างที่ 3        จงหาค่าของ  จากสมการ  กำหนดให้  และ

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

ตัวอย่างที่ 3        จงหาค่าของ  จากสมการ  กำหนดให้  

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

สมการลอการิทึม เป็นสมการที่มีลอการิทึมของตัวแปร

ตัวอย่างที่ 4        กำหนดให้  จงหาค่าของ  

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

ตัวอย่างที่ 5        กำหนดให้  จงหาค่าของ  

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

ตัวอย่างที่ 6        จงหาเซตคำตอบของสมการ  

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

แบบฝึกหัด 1.8

1. จงหาค่าของ  จากสมการต่อไปนี้

        1)                                                                                2)        

…………………………………………………….                …………………………………………………

…………………………………………………….                …………………………………………………

        3)                                                                                4)        

…………………………………………………….                …………………………………………………

…………………………………………………….                …………………………………………………

        5)                                                                

…………………………………………………….        

…………………………………………………….        

…………………………………………………….        

2. จงแก้สมการต่อไปนี้

        1)                                                                        2)        

…………………………………………………….                …………………………………………………

…………………………………………………….                …………………………………………………

        3)                                                                4)        

…………………………………………………….                …………………………………………………

…………………………………………………….                …………………………………………………

        5)                                                        6)        

…………………………………………………….                …………………………………………………

…………………………………………………….                …………………………………………………

3. จงหาค่าของ  จากสมการต่อไปนี้

        1)                                                                                2)        

…………………………………………………….                …………………………………………………

…………………………………………………….                …………………………………………………

        3)                                                                                4)        

…………………………………………………….                …………………………………………………

…………………………………………………….                …………………………………………………

        5)                                                        

…………………………………………………….                

…………………………………………………….                

4. กำหนด  จงหาค่าของ  จากสมการต่อไปนี้

        1)                                                                2)        

…………………………………………………….                …………………………………………………

…………………………………………………….                …………………………………………………

        3)                                                        

…………………………………………………….                

…………………………………………………….                

5. จงหาเซตคำตอบของสมการต่อไปนี้

1)                                        2)        

…………………………………………………….                …………………………………………………

…………………………………………………….                …………………………………………………

…………………………………………………….                …………………………………………………

3)                                        4)        

…………………………………………………….                …………………………………………………

…………………………………………………….                …………………………………………………

…………………………………………………….                …………………………………………………

5)                                                        6)        

…………………………………………………….                …………………………………………………

…………………………………………………….                …………………………………………………

…………………………………………………….                …………………………………………………

7)                                        8)        

…………………………………………………….                …………………………………………………

…………………………………………………….                …………………………………………………

…………………………………………………….                …………………………………………………

…………………………………………………….                …………………………………………………

9)                                                                                10)        

…………………………………………………….                …………………………………………………

…………………………………………………….                …………………………………………………

…………………………………………………….                …………………………………………………

…………………………………………………….                …………………………………………………

1.9 การประยุกต์ของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล และฟังก์ชันลอการิทึม

  ตัวอย่างที่ 1  ในเวลา 8 ปี ฟาร์มเลี้ยงกระต่ายแห่งหนึ่งมีกระต่ายจำนวน 4,100 ตัว และมีอัตราการเพิ่ม 55% ต่อปี

        1)        จงหาว่าฟาร์มนี้มีกระต่าย ณ จุดเริ่มต้นประมาณกี่ตัว

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

        2)        อีก 12 ปีข้างหน้า จะมีจำนวนกระต่ายประมาณกี่ตัว

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

  ตัวอย่างที่ 2  ในปี พ.ศ. 2546 พบว่ามีประชากรของโลกทั้งหมด 6.1 พันล้านคน และมีอัตราการเพิ่ม 1.4% ต่อปี อยากทราบว่าเมื่อไรประชากรของโลกจะมีจำนวนเป็น 122 พันล้านคน

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

  ตัวอย่างที่ 3  นักชีววิทยาได้ทำการเพาะเชื้อแบคทีเรียที่เป็นกลุ่มตัวอย่างจำนวนหนึ่ง พบว่ามีอัตราการเติบโต 40% ต่อชั่วโมง ต้องการทราบว่าจะมีจำนวนแบคทีเรียประมาณกี่ตัว เมื่อเวลาผ่านไป 10 ชั่วโมง ถ้ามีจำนวนแบคทีเรีย ณ จุดเริ่มต้นเท่ากับ 500 ตัว

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

  ตัวอย่างที่ 4  ธาตุโปโลเนียมมีครึ่งชีวิต 140 วัน ถ้าเดิมมีธาตุโปโลเนียมอยู่ 300 มิลลิกรัม จงหา

        (1)        ปริมาณของธาตุโปโลเนียมที่เหลืออยู่ เมื่อเวลาผ่านไป 1 ปี

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

        (2)        ใช้เวลานานกี่วันจึงจะมีธาตุโปโลเนียมเหลืออยู่ 200 มิลลิกรัม

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

        ตัวอย่างที่ 5  จงหาระดับความเข้มเสียงของเครื่องบินไอพ่น เมื่อกำลังบินสู่ท้องฟ้ามีความเข้ม

        เสียง 100 วัตต์/ตารางเมตร

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

        ตัวอย่างที่ 6  กลุ่มตัวอย่างเลือดของคนคนหนึ่งมีความเข้มข้นของประจุไฮโดรเจน H+ เท่ากับ

                3.16  10-8 โมล จงหาค่า pH พร้อมทั้งพิจารณาความเป็นกรด – ด่าง ของกลุ่มตัวอย่างเลือดนี้

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..