Переливання.

  Задачі на переливання допоможуть розвивати логічне мислення, просторову уяву, витримку, наполегливість у знаходженні оптимального розв’язку. Пропоную розглянути розв’язання деяких задач.

Задача 1.  Як за допомогою 3-літрового і 5-літрового відер набрати 1 літер води? У нашому розпорядженні  є водопровідний кран і раковина, куди можна виливати воду.

Розв’язання:  Розв’язання цієї задачі можна записати у вигляді таблиці. Спочатку обидва відра порожні. Наповнюємо 3-літрове відро і виливаємо воду з нього у 5-літрове. Знову наповнюємо 3-літрове відро і виливаємо її у 5-літрове, поки воно не наповниться. У

3-літровому відрі залишиться 1 літр води.

Задача 2.  Маємо дві ємності 5 і 7 л. Як за допомогою ємностей відміряти 6 л води з крана?

Розв’язання:  Складемо таблицю розв’язання :

Задача 3. Маємо три ємності: 9 л, 5 л, 3 л. Перша наповнена водою,а інші дві порожні. Як за допомогою цих ємностей відміряти 1 л води? Як відміряти 4 л води?

Розв’язання:  

Задача 4. У трьох купках лежать 22, 14 і 12 горіхів. За допомогою трьох перекладань зрівняйте кількість горіхів у купках.

Розв’язання:  Оскільки горіхів всього 48, то в кожній купці повинно опинитися по 16. Перекладати з однієї купки в іншу можна стільки горіхів, скільки їх є в купці в яку перекладають. Схематично перекладання можна показати так:

(22,14,12) — (8,28,12) — (8,16,24) — (16,16,16). 

Задачі для розв’язування:

1. В бочці міститься не менше 13 відер пального. Як відлити з неї 8 відер за допомогою 9-відерної і 5-відерної бочок?

2. В бочці не менше 10 л бензину. Як відлити з неї 6 л за допомогою дев’ятилітрового відра і п’ятилітрового бідона?

3. Бідон ємністю 10 л наповнений молоком. Необхідно перелити з цього бідона 5 л у семилітровий, використовуючи при цьому бідон місткістю 3 л. Як це зробити?

4. В трьох купках лежать 11, 7, 6 сірників відповідно. Дозволено перекладати з однієї купи до іншої стільки сірників, скільки там вже є. Як за три перекладання зрівняти кількість сірників у всіх купах?                                                                                                                                                                      

5. Є два піщаних годинника: на 7 хвилин і на 11 хвилин. Яйце повинно варитися 15 хвилин. Як зварити яйце, перевертаючи годинники мінімальну кількість разів?

6. В одній склянці налито 5 ложок чаю, а в другій 5 ложок молока. Ложку молока перелили з другого стакана в перший, потім старанно розмішали і ложку чаю з молоком перелили знову в другий стакан. Чого тепер більше: чаю в другій склянці чи молока в першій? Як зміниться відповідь, якщо таке переливання виконати 10 разів?

7. Дехто з повної склянки кофе випив половину і долив стільки ж молока. Потім випив третю частину отриманого кофе з молоком і долив стільки ж молока. Нарешті, відпив шосту частину отриманого напою і долив стільки ж молока. Тільки після цього він випив все до кінця. Чого випито більше: кофе чи молока?

Зважування.

    Умови наступних запропонованих задач легко змінювати (монети на камінці, пакети , каміння і т.д), отримуючі нові, що допомагає вчителю закріпити у учнів розуміння ідеї розв’язання.
Задача 1 . Маємо n однакових монет, з яких одна фальшива (легша за вагою). Як за допомогою шальових терезів без гир знайти фальшиву монету за найменшу кількість зважувань , якщо

a) n=3; б) n=9; в) n=27; г) n- довільне число.

Розв’язання:  г) При кожному зважуванні монети ділять на 3 групи, з яких 2 кладуть на терези і визначають в якій з груп знаходиться фальшива монета. Процес повторюють в залежності від кількості монет.

Задача 2 .  Серед чотирьох монет є одна фальшива, як знайти її за 2 зважування на шальових терезах без гир? Чи можна при цьому з’ясувати легша вона чи важча?

Розв’язання:  Позначимо монети a, b, c, d. Першим зважуванням порівнюємо вагу a і b. Нехай

a ≠b (наприклад, a < b ). Тоді c і d – справжні, а фальшива a чи b . Для визначення порівнюємо

a і с. Якщо a = с , то b фальшива і важча, оскільки a < b. Якщо a ≠ с , то фальшива a , при чому одразу з’ясовуємо , важча вона чи легша. Аналогічно поступаємо , якщо a = b.
Задача 3 .  Маємо 6 однакових за виглядом монет, чотири з них справжні, а дві фальшиві: обидві легші за справжні, але їх маса різна. За три зважування на шальових терезах без гир знайдіть обидві фальшиві монети.

Розв’язання:  Позначимо вагу монет a1 ,… a6 . Першим зважуванням порівнюємо a1 і a2 .
Випадок 1  a1= a2. Тоді a1 і a2 справжні. Порівнюємо a3 і a4 , якщо a3 = a4 , тоді a5 і a6 – фальшиві. Якщо a3 < a4 ,  то одна з фальшивих a3 , а друга знаходиться серед 4, 5 і 6 (вона визначається порівнянням a4  і  a5 ). Випадок a3 > a4  аналогічний.

Випадок 2  a1 < a2  – монета а1 фальшива. Друга фальшива монета визначається порівнянням монет 1 і 3 та монет 4 і 5 (якщо при одному зважуванні нерівність, то легша монета фальшива. Інакше фальшива монета - 6). Випадок а1 > a2 подібний до випадку 2.

Задачі для розв’язування:

1. Маємо чотири камінці різної маси. За яку найменшу кількість зважувань на терезах без гир можна знайти найважчий і найлегший камінь?

2. Маємо чотири пакети різної маси і правильні шальових терези без гир. Як за п’ять зважувань розкласти пакети в порядку зростання їх маси?

3. З 21 монети 10 справжніх і 11 фальшивих, причому кожна фальшива на 1 гр  легша за справжню. Взяли одну з монет, як за одне зважування на терезах зі стрілкою визначити чи фальшива монета?

4. Маємо 6 однакових за виглядом монет,  чотири з них справжні, по 4 г кожна, а дві - фальшиві: вагою 5 г і 3 г. За чотири зважування на шальових терезах без гир знайдіть обидві фальшиві монети.

5. Серед 18 монет одна фальшива, причому фальшива відрізняється за масою від справжніх. За яку найменшу кількість зважувань на правильних шальових терезах без гир можна визначити легша чи важча від справжніх фальшива монета?

6. Як зважити груз на шальових терезах з гирями,якщо гирі правильні, а терези не правильні.
7. а) Маємо 4 камені різної маси. За яку найменшу кількість зважувань можна знайти найлегший і найважчий камінь?

б) Розв’язати задачу для 6-ти каменів.