Урок алгебри і початків аналізу

Тема. Найбільше і найменше значення функції на відрізку.

Мета. Ознайомити учнів зі змістом понять « найбільше значення функції на відрізку» і «найменше значення функції на відрізку». Сформулювати алгоритм знаходження найбільшого й найменшого значення функції на відрізку, формувати вміння і навички застосовувати його при розв’язуванні вправ.

Формувати уявлення про математику як форму опису і метод пізнання дійсності.

Розвивати комунікативні та інформаційні компетентності, компетентності саморозвитку і самоосвіти та продуктивної творчої діяльності.

Тип уроку: урок засвоєння нових знань.

Обладнання та наочність: інтерактивний комплекс, презентація учителя, учнівські міні – проекти:

1) «Історія виникнення екстремальних задач»,

2) « Принцип екстремуму в природі»,

3) «Знаходження найбільшого і найменшого значення функції неперервної на інтервалі».

Епіграф уроку. «Просто передати знання людині неможливо. Оволодіти

людина може шляхом власної діяльності. « Наповнити» розум

не можна, він сам повинен  усе засвоїть.»

А. Дістеверг

Хід уроку

І Організаційний етап.

1. Перевірка готовності учнів до уроку, емоційне налаштування на роботу.

2. Вступне слово вчителя.

Основна мета вивчення теми « Похідна» - усвідомлення застосування похідної до розв’язування задач як аналітичного так і практичного змісту. На попередніх уроках ми з вами навчилися розв’язувати фізичні задачі за допомогою похідної, досліджувати функції та будувати їх графіки.

Це не єдиний спосіб застосування похідної. Сьогодні на уроці ми познайомимось ще з одним із способів застосування похідної. Після закінчення нашого навчального закладу ви будете далі будувати своє життя, намагатиметесь досягти певних висот, тобто зробити кар’єру. Епіграфом нашого уроку буде вислів видатної людини А. Дістеверга  . «Просто передати знання людині неможливо. Оволодіти ними людина може шляхом власної діяльності. « Наповнити»  розум не можна, він сам повинен  усе засвоїть.»

ІІ. Актуалізація опорних знань учнів.

На мультимедійній дошці по черзі з’являються завдання.

1. Знайти область визначення функції

          а) у =

         б) у =

        в) у=

2.Знайти похідну функції

      а) у =

     б) y =

     в) y=

3. Знайти критичні точки функції

      а) y =

     б) y =

ІІІ. Перевірка виконання домашнього завдання.

1. Захист міні-проектів.

«Істрія виникнення екстремальних задач»

План.

1. Задачі оптимізації.
2. Задача Дідони.
3. Внесок математиків у розв’язування задач оптимізації.

«Принцип екстремуму в природі»

План.

1. Принцип екстремуму і площі.
2. Екстремуми в оптиці.
3. Поверхні, що мають найбільший об’єм.

«Знаходження найбільшого і найменшого значення функції неперервної на інтервалі»

План.

1. Теорема Вейєрштрасса.
2. Найбільше і найменше значення функції монотонної на відрізку.
3. Найбільше і найменше значення функції, яка неперервна на інтервалі та має лише одну екстремальну точку на цьому інтервалі.

ІІІ. Формулювання теми, мети й завдань уроку.

Учитель пропонує учням проаналізувати міні-проекти і визначити спільне у їхній роботі. Дати відповідь на запитання «Над якою темою вони будуть працювати сьогодні на уроці?»

Учні самостійно формулюють тему уроку.

Учитель повідомляє, що дійсно на уроці буде розглянута тема «Найбільше і найменше значення функції на відрізку».

ІV. Сприймання і усвідомлення нового матеріалу.

Розповідь вчителя.

Найбільшого і найменшого значень неперервна на деякому проміжку функція  може набувати як на кінцях відрізку, так і у внутрішніх його точках. Може статися і так, що одного із значень функція набуває в середині відрізка, а другого – на одному з кінців. Зверніть увагу на рисунок.

Так в яких же точках відрізка функція може набувати свого найбільшого і найменшого значення?

Учні дають відповідь на запитання, перевіряють правильність своїх міркувань.

Якщо функція f(x) неперервна на відрізку і має на ньому скінченну кількість критичних точок, то вона набуває найбільшого і найменшого значення на цьому відрізку або на кінцях відрізку, або в критичних точках, що належать даному відрізку.

Приклад.

Знайти найбільше і найменше значення функції f(x) на вказаному відрізку, якщо

f(x)=3х4- 6х2 +1,   [0;2]

Розв’язання:

1. D(f)=R
2. [0;2]  Є D(f)
3. f(x)=12x3 -12x
4. f(x)=0,  12x(x2 – 1)=0

12x(x-1)(x+1)=0

x=0;  x=1;  x=-1

5. 0   є [0;2], 1 є [0;2], -1 ¢ [0;2]

6. f(0)=1

   f(1)=-2

  f(2)=3·16 - 6·4+1= 48 – 24 + 1=25

7. max f(x)= f(2)=25

      [0;2]

min f(x)= f(1)=-2

            [0;2]

Колективне складання алгоритму знаходження найбільшого і найменшого значення функції f(x) на відрізку.

1. Знайти область визначення функції D(f).
2. Визначити чи належить заданий відрізок D(f).
3. Знайти похідну функції f́̕(x).
4. Знайти критичні точки функції, розв’язавши рівняння f́́̕(x)=0.
5. Визначити, які з критичних точок належать даному проміжку.
6. Знайти значення функції на кінцях проміжку та в критичних точках, що належать даному проміжку.
7. Вибрати з одержаних значень найбільше і найменше. Записати відповідь.

V. Формування навичок і вмінь застосовувати складений алгоритм.

Пропонуються диференційовані завдання.

Завдання виконуються на мультимедійній дошці. Завдання:Знайти найбільше і найменше значення функції f(x) на відрізку, користуючись алгоритмом.

f(x)=х4- 2х2 +5,   [0;2]

 f(x)= х4/4 - 8х2,   [-1;2]

Учитель коментує виступи учнів, виставляє оцінки за урок.

VII. Домашнє завдання   (Коментує вчитель)

1. Вивчити теоретичний матеріал §  , засвоїти складений алгоритм.
2. Виконати вправи з підручника на знаходження найбільшого і найменшого значення функції на відрізку.

VIIІ. Рефлексія.

1. Учні діляться враженнями про міні-проекти та висловлюють думку про те, що найбільше сподобалось на уроці.
2. Пригадують алгоритм знаходження найбільшого і найменшого значення функції на відрізку.
3. Наводять приклади задач на знаходження найбільшого і найменшого значення функції на відрізку, які зустрічаються в економіці.