TERCER CICLO

Unidad 2: Función Exponencial y Logarítmica

Problemas de introducción a exponenciales.

Intenta dar solución a los siguientes problemas.

  1. En una avícola se observa que el crecimiento de los pollos parrilleros durante los primeros 50 días es del 8% diario. Si en promedio cada pollo nace con 50 g. ¿Cuál será el peso al cabo de 25 días?
  2. Una antigua leyenda oriental cuenta que un rey desconsolado por la muerte de su hijo, logró ser distraído por el regalo de un sabio que le obsequió un juego de ajedrez recientemente inventado. El rey lo recompensa, ofreciéndole al sabio lo que este pida. El sabio pide que coloque un grano de arroz en la primer casilla del tablero, dos en la segunda, cuatro en la tercera y así sucesivamente hasta completar todas. ¿Que cantidad de arroz pidió el sabio al rey?
  3. Ciertas bacterias se reproducen por un proceso en el que, en cada etapa, cada bacteria se divide en dos. Es decir que, después de cada etapa, la población de bacterias se duplica. En un laboratorio se aísla una bacteria para observar las sucesivas etapas del proceso de bipartición. ¿Cuántas bacterias hay al cabo de la cuarta etapa, cuantas al cabo de la décima etapa y cuantas al final de la etapa número 35?

Funciones exponenciales.

A continuación se tabulan y grafican seis funciones exponenciales de la forma

Nota: La notación g(x)=2x de la planilla corresponde a siendo  el símbolo de exponencial.    

Con la ayuda del programa Geogebra y una planilla de cálculo construimos la tabla de valores previa que nos brinda los pares de valores en el rango seleccionado de todas las funciones las cuales son representadas en el siguiente gŕafico.

Las funciones exponenciales se definen de tal modo por el hecho que la variable independiente se encuentra como exponente de cierta constante a la cual denominamos base y que representamos algebraicamente como a.  Dicha constante debe cumplir dos condiciones: ser mayor que cero, esto significa que no puede ser igual a cero ni asumir valores negativos y debe ser distinta de la unidad, en símbolos  

Casos con  a<1

                                y        

En todos los casos las funciones cortan al eje de las ordenadas en y=1 y son permanentemente decrecientes. Para valores de x cada vez más pequeños la función asume valores cada vez mas grandes, mientras que para valores cada vez mayores de x la función tiende a aproximarse cada vez más a cero pero nunca alcanza dicho valor se dice que la gráfica es asintótica al eje positivo de las abscisas.

Casos con a>1

                                y        

Al igual que en los casos anteriores todas las funciones cortan al eje de ordenadas en y=1,  son permanentemente crecientes. Para valores de x cada vez más pequeños la función es cada vez más próxima a cero sin llegar a tal valor, nuevamente la función es asintótica en este caso, al eje negativo de abscisas, para valores de x cada vez más grande la función se hace infinitamente grande .

En ambos casos tanto por valores negativos como por valores positivos de la variable independiente x las gráficas de la funciones alcanzan valores infinitamente grandes, es siempre positiva, nunca alcanza el valor cero, crece  cuando el valor de a es mayor a uno y crece más rápido cuanto mas grande es a, decrece cuando el valor de a es menor a uno y decrece más rápido cuanto más pequeño es el valor de a 

En la práctica encontraremos variaciones de la forma  reducida que hemos presentado las cuales pueden asumir las siguientes formas

                                                        

Ejercicios funciones exponenciales

  1. Construye las gráficas cartesianas de las exponenciales  de la forma con las siguientes bases
  1. a=3
  2. a=1/3
  3. a=4
  4. a=1/4
  1. Graficar en el mismo sistema de ejes cartesianos:
  1. ¿Qué sucedió con las gráficas?
  1. Teniendo en cuenta,  
  1. ¿qué indican b y c?
  2. Indicar las asíntotas de cada una y el conjunto imagen.
  1. Graficar las siguientes funciones e indicar: Dm, imagen, raíces, ordenada al origen, intervalos de crecimiento y decrecimiento, conjunto de positividad y negatividad y asíntotas.
  1. Encuentra las expresiones que resuelvan los problemas iniciales de esta unidad

Para el problema del peso de los pollos

sea el peso del pollo en función del tiempo en días.

si continuamos el razonamiento

finalmente

El problema pedía calcular el peso del pollo al cabo de 25 días, por lo tanto la solución al problema será en la formula general hacer de este modo

Problemas de introducción a logaritmos.

  1. Retoma el problema de los pollos de la introducción a exponenciales, e intenta calcular cuántos días tarda un pollo en alcanzar los 3,8 kg.[1]
  1. Una población de conejos aumenta anualmente en un 50 %. Si en el momento inicial hay 100 conejos:
  1. ¿Cuántos habrá dentro de 8 años? [2]        
  2. ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que su número sea de 30.000? [3]
  1. Según el pronóstico de las Naciones Unidas la cantidad de dióxido de carbono en la atmósfera ppm[4] se modeliza con la función:
    t es el tiempo a partir del año 1750
  1. ¿Cuántas ppm de dióxido de carbono habrá en la atmósfera para el 2050? [5]
  2. ¿En qué década el dióxido de carbono será de 700 ppm?[6]

Funciones logarítmicas

La expresión anterior se lee:   es igual al logaritmo en base  del número   si y solo si se cumple que  elevado al número  de como resultado . Al número  se le llama base y el número  es el exponente al cual se debe elevar la base para obtener el valor .  En síntesis encontrar el logaritmo de un número en cierta base “a” es encontrar el exponente al cual se debe elevar la base “a” para obtener el número dado.

Veamos algunos ejemplos:

                                                                  =8

Nuevamente recurrimos a Geogebra y una planilla de cálculo que utilizamos para construir la tabla de valores de seis funciones logarítmicas.

La notación de la planilla corresponde a  en la cual el par ordenado  vienen a representar respectivamente base del logaritmo y variable independiente.

Tal como hicimos con la función exponencial, analizaremos dos casos según sea el valor de

Caso con a<1

En esta situación analizamos las siguientes tres funciones logarítmicas

                                        

Todas las funciones tienen como dominio de definición los valores de  todas ellas son decrecientes, esto es mientras los valores de la variable independiente  crecen, la función decrece, observe que valores de la función grandes se encuentran para valores de la variable  pequeños, más grandes cuando los valores de la variable son más próximos a cero. En todos los casos el par ordenado (1,0) pertenece a las funciones o dicho de otra forma corta al eje de las abscisas en , esto es así dado que el logaritmo de la unidad en cualquier base es cero . Por otra parte las funciones tienen como imagen todo el campo de los números reales sin restricciones esto es en el intervalo abierto  

Observando el comportamiento de las funciones respecto del valor de  vemos que para estos casos con cuanto mayor es el valor de , (más próximo a uno), la función crece y decrece más rápidamente y atenúan su crecimiento y decrecimiento cuanto menor es el valor de . Observe las tablas de valores para mejor comprensión.

Caso con a>1

Con esta situación analizamos en tabla y gráfico las siguientes tres funciones.

                                        

Podemos observar de la gráfica que al igual que en el caso anterior, el dominio de la función está definido por los valores de , la imagen de la función es el conjunto de los reales sin restricciones, es decir el intervalo abierto  ,  las funciones son permanentemente crecientes, es decir que a medida que los valores de la variable crecen, los valores de la función también crecen, en todos los casos el par  pertenece a las funciones, es decir cortan al eje de las abscisas en , esto por la propiedad del logaritmo de la unidad en cualquier base por la cual se cumple que

Con respecto al valor de  se observa que cuando el valor de  es más pequeño, es decir más próximo a uno, la función crece y decrece rápidamente, a medida que el valor de  crece este crecimiento y decrecimiento se desacelera. Observe tablas de valores para mejor comprensión.

Del mismo modo que estudiamos la función exponencial, una función logarítmica se puede expresar en forma más completa con ciertas variaciones del siguiente modo.

 

    se llama argumento y   

es la base del logaritmo)

Ejercicios funciones logaritmicas

  1. Construye las gráficas cartesianas de las funciones logarítmicas  de la forma con las siguientes bases, compara las gráficas obtenidas y elabora tu conclusión.
  1. Gráfica en el mismo sistema de ejes cartesianos las siguientes funciones
  1. Compara ambas gráficas y elabora una conclusión.
  1. Grafica en el mismo sistema de ejes cartesianos las siguientes funciones de la forma )
  1. ¿Qué indica el valor de b? ¿Qué relación hay con la asíntota?
  1. Grafica en el mismo sistema de ejes cartesianos las siguientes funciones de la forma
  1. ¿Qué indica el valor de c? ¿Qué relación hay con el desplazamiento de la gráfica?

Funciones Exponenciales y Logarítmicas como inversas

A continuación observamos las gráficas de cuatro funciones en un mismo sistema de coordenadas cartesianas.

                

                

Se ha graficado como complemento la recta  con el objeto de mostrar la simetría que tienen las funciones exponenciales con su correspondiente inversa logarítmica. Por ejemplo si observamos el par ordenado (3 , 8) sobre la función f(x) vemos que tiene simetría respecto de la recta y=x con el punto (8 , 3) sobre la función f1(x). Igualmente el par ordenado (-2 , 4) sobre la función g(x) mantiene simetría respecto del eje y=x con el par ordenado (4 , -2).

Las rectas con trazo de punto y raya que unen los pares ordenados mencionados son perpendiculares a la recta y=x, cualquier traslación que se realice de estas rectas manteniendo la perpendicularidad a la recta y=x, determinarán pares ordenados simétricos, en general si sobre f(x) queda determinado el par (s,t) entonces sobre f1(x) quedará determinado el par (t,s). De igual manera si sobre g(x) queda determinado el par (a,b) entonces el par (b,a) estará presente sobre g1(x).

Se observa que la función logarítmica es inversa de la exponencial, en forma general y en términos algebraicos puede expresarse que si

        entonces                siendo  la inversa de

o bien

        entonces                        siendo          la inversa de

Ejercicios con inversas

Realiza la grafica de las siguientes funciones y su correspondiente inversa.

Logaritmos

Revisa los conceptos estudiados en función logarítmica para solucionar los ejercicios de los cuales los dos primeros están con su solución. Hallar el logaritmo de un número  en base  puede expresarse como una ecuación donde la incógnita es justamente el logaritmo buscado. Solucionar esta ecuación, es encontrar el exponente al que hay que elevar la base “ para que el resultado sea “, en símbolos:

El logaritmo de un número es el exponente al que hay que elevar la base para obtener dicho número

                                        

                                        

                                        

                        

Propiedades de lo logaritmos

A fin de solucionar problemas con más complejidad y encontrar el logaritmo de un número usando otra base, es de suma importancia conocer las propiedades de los logaritmos. No solo serán útiles en los casos mencionados sino también a la hora de solucionar ecuaciones exponenciales y logarítmicas que veremos más adelante.

Logaritmo de la base es igual a la unidad

Logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores

Logaritmo de un cociente es igual a la diferencia entre el logaritmo del dividendo y el logaritmo del divisor

Logaritmo de una potencia es igual al exponente de la potencia por el logaritmo del número

Logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el logaritmo del número dado y el índice de la raíz

Demostraciones de las propiedades

El logaritmo de la base no requiere demostración ya que es obvia.

Logaritmo de un producto

Supongamos que x e y son el resultado de los logaritmos en base b de los factores, entonces

como

y

entonces

(1) 

luego por producto de potencias de igual base resulta

(2) 

de (1) y (2) por propiedad transitiva de las igualdades

(3) 

tomando logaritmo en base b en ambos miembros resulta

(4)   

en el segundo miembro se tiene un logaritmo de la base elevado a cierta potencia

(5) 

de (4) y (5) tenemos

(6) 

recordemos que x e y eran los logaritmos de los factores, luego

que es lo que queríamos demostrar

Logaritmo de un Cociente

Otra vez recurrimos a x e y como el resultado de los logaritmos en base b de dividendo y divisor

como  yentonces

(1) 

luego por cociente de potencias de igual base resulta

(2) 

de (1) y (2) por propiedad transitiva de las igualdades

(3) 

tomando logaritmo en base b en ambos miembros resulta

(4)   

en el segundo miembro se tiene un logaritmo de la base elevado a cierta potencia

(5) 

de (4) y (5) tenemos

(6) 

recordemos que x e y eran los logaritmos de dividendo y divisor, luego

que es lo que queríamos demostrar.

Logaritmo de una Potencia

proponemos que x sea el resultado del logaritmo en base b de m, por definición de logaritmo

 

partiendo del primer miembro de la propiedad enunciada, podemos plantear

En el segundo miembro por potencia de potencia se multiplican los exponentes

se observa que

recordemos que habiamos definido x como el logaritmo de m, luego

que es lo que queríamos demostrar.

Logaritmo de una Raíz

Recordemos que una raíz puede ser expresada como una potencia fraccionaria donde el numerador es el exponente de la potencia del valor dentro de la raíz y el denominador es el índice de la raíz, en símbolos sería

 

en particular

 

de manera que el primer miembro de la igualdad puede ser expresada como

es el logaritmo de una potencia, podemos aplicar dicha propiedad, luego

o lo que es lo mismo

finalmente

que es lo que queríamos demostrar

Ejemplos de uso de propiedades para resolver logaritmos

1)

2)

                 

                 

                 

3)

                             

                               

         

4) Reduce al logaritmo de una sola expresión:

  1. log 5 + log 6 − log 2
  2. 2 log 7 + 3 log 5
  3. 3 log a + 2 log b − 5 log c

5) ¿Qué relación debe existir entre a y b para que se verifique que ?.

Logaritmos Decimales

Se llama logaritmo decimal a aquel logaritmo cuya base es 10, por convención dicho logaritmo se expresa sin anotar la base, es decir

luego

El logaritmo decimal de  es el exponente al que hay que elevar 10 para obtener

Veamos algunos ejemplos de logaritmos decimales

log 1 = 0100 = 1

log 10 = 1101 = 10

log 100 = 2102 = 100

log 1000 = 3  103 = 1000

log 0,1 = -110-1 = (1/10)1=1/10=0,1

log 0,01 = -210-2  = (1/10)2=1/100=0,01

log 0,001 = -310-3 = (1/10)3=1/1000=0,001

log 0,0001 = −410−4 = 1/10000=0,0001

De lo anterior puede deducirse que los únicos números que tienen logaritmos enteros son las potencias de 10. Veamos, si y los números entre 1 y 10 tendrán logaritmos comprendidos entre 0 y 1.

En símbolos dado que  para  donde  

Logaritmos Naturales o Neperianos

Se llama logaritmo natural o neperiano al logaritmo cuya base es el número irracional , se expresa de las siguientes formas

luego

El número  es un número con infinitas cifras decimales y de acuerdo a la definición de logaritmos

Uso de la calculadora

Las calculadoras científicas de uso actual resuelven exponentes de cualquier orden usando la tecla apropiada que según los modelos y su antigüedad pueden ser exp, xy o ^ también resuelven logaritmos pero solo decimales cuya tecla es log y naturales siendo su tecla ln

Los sistemas operativos modernos que usan las computadoras actuales también cuentan con calculadoras incorporadas dentro del software instalado, aquí se muestran calculadoras usadas  Linux y Windows.

Por último, celulares y tabletas, que en gran cantidad utilizan Android como sistema operativo también traen su calculadora aunque para cálculos de logaritmos naturales o decimales se debe adquirir alguna versión más completa, varias de ellas son gratuitas. A continuación algunas imágenes.

Para calcular por ejemplo 28 se deberá presionar la tecla 2 luego exp, xy o ^ según la calculadora y luego presionar el símbolo =  debería mostrar el resultado 256.

Para calcular el logaritmo decimal de un número se presionara la tecla log y a continuación el número del cual se quiere calcular el logaritmo y por último el símbolo =.

El mismo procedimiento se debe seguir para calcular el logaritmo natural, aunque en este caso la tecla que se debe utilizar es la tecla ln.

Cambio de base

Para calcular logaritmos en bases distintas a la decimal o a la natural, cuando el cálculo no es posible resolver mentalmente, se debe recurrir a un recurso distinto que permita solucionar el inconveniente,  para esto debemos recurrir al procedimiento de cambio de base que permite calcular el logaritmo de un número en cierta base, en función del logaritmo del número en otra base diferente.

sean

         y                  (1)

de lo anterior se desprende que

tomando logaritmo en base a en ambos miembros

luego por propiedad de logaritmo de una potencia

como se puede escribir

reemplazamos x e y por sus valores según (1)

        (2)

finalmente

Esta propiedad expresa que el logaritmo en base b de un número puede ser expresado como la razón entre el logaritmo del número y el logaritmo base b ambos en cualquier base.

Así por ejemplo si necesitamos calcular  aplicando la propiedad mencionada podemos solucionarlo realizando el cociente luego la verificación sería elevando 8 a el número obtenido y esto debe dar 126. En este caso hemos utilizado logaritmos decimales pero también podríamos haber usado logaritmos naturales, en este caso la comprobación es idéntica.

Observando la igualdad (2)  si hacemos  es decir usamos la base de los logaritmos naturales en lugar de la base a y usamos la base de los logaritmos decimales en lugar de la base 10 la igualdad se transforma en  la siguiente

Esto significa que encontrar el logaritmo natural de un número es equivalente a multiplicar su logaritmo decimal por la constante 2,30258...

Con un razonamiento similar y nuevamente en la igualdad (2) ahora hacemos  es decir usamos la base de los logaritmos decimales como la base a y la base de los logaritmos naturales como base b la igualdad se transforma en

Esto significa que para encontrar el logaritmo decimal de un número basta con multiplicar su logaritmo natural por la constante 0,43429...

Ejercicios usando cambio de base

  1. Sabiendo que resuelve los siguientes logaritmos sin usar calculadora
  1. Sabiendo que  halla (sin calculadora) el valor de
  1. Usando logaritmos naturales o decimales resuelve los siguientes logaritmos

Ecuaciones Exponenciales

Llamamos así a las expresiones en las cuales la incógnita aparece como exponente de potencia de cierta base constante. La incógnita se encuentra como exponente en uno o más términos de la expresión. Como regla general la incógnita será x aunque esto no es restrictivo. Para resolver estas ecuaciones se deben conocer las propiedades de la potenciación, de la radicación, de logaritmos y en algunos casos recurrir a cambios de variables por otra incógnita.

Ejercicios con ecuaciones exponenciales


  1. Solución



  2. Solución



  3. Solución



     (1)
    en la expresión de la izquierda, usando cambio de base

    Si en (1) en la expresión de la izquierda tomamos logaritmos en ambos miembros



    en ambos casos la expresión es la misma, luego resolvemos con calculadora
  4. 33x-2 = 81
  5. 5(x-3)/4 = 25
  6. Se ha obtenido experimentalmente que la presión atmosférica viene dada por la función p(x) = 0,9x, donde x es la altura sobre el nivel del mar. La altura se mide en kilómetros, y la presión, en atmósferas.
  1. Halla la presión en lo alto de una montaña de 3.500 m
  2. Halla la altura a la que hay que subir para que la presión sea de 0,8 atmósferas
  1. Una ciudad tiene 200.000 habitantes, y su población crece un 2,5% cada año. ¿Cuántos habitantes tendrá al cabo de 40 años?
  2. Tenemos una población inicial de 100 conejos en una gran llanura con comida abundante. Si se reproducen a razón de 20 conejos cada año, ¿Cuántos conejos habrá al cabo de 5 años?
  3. La cantidad de madera de un bosque crece según la función y = x * 1,025t, donde t es el tiempo en años y x es la cantidad de madera inicial. Si en el año 2000 el bosque tiene 1000 km3 de madera, ¿Cuánta madera tendrá en el año 2100?
  4. Supongamos que, en cada uno de los 10 años siguientes, el IPC (índice de precios al consumidor) es de un 20%. Si un producto cuesta actualmente $100, ¿cuánto costará al cabo de los 10 años?
  5. Una moto se devalúa un 15% cada año. Si nos ha costado $15.000 , ¿qué valor tendrá al cabo de 10 años?

Ecuaciones Logarítmicas

Ecuaciones de este tipo, son aquellas en donde la incógnita se encuentra afectada por un logaritmo. Resolver una ecuación de este tipo es hallar el valor de la incógnita que verifica la ecuación, para ello recurriremos al concepto de logaritmos y a sus propiedades.

Ejercicios con ecuaciones logaritmicas


  1. Solución







    Una solución alternativa es la siguiente


  2.  
    Solución





     
    factorizando el trinomio

    las soluciones son
  3. El azúcar se descompone en el agua según la fórmula  donde c y k son constantes. Si 30 kilos de azúcar se reducen a 10 kilos en 4 horas, ¿cuánto tardará en descomponerse el 95% del azúcar?.
  4. En 1900 la población de una ciudad era de 50000 habitantes. En 1950 había 100000 habitantes. Asumamos que el número de habitantes en función del tiempo se ajusta a la fórmula  donde c y k son constantes. ¿Cuál fue la población en 1984?. ¿En qué año la población es de 200000 habitantes?.
  5. Una sustancia radiactiva se desintegra de acuerdo a la fórmula  donde c es una constante. ¿En cuánto tiempo habrá exactamente un tercio de la cantidad inicial?.

TERCER CICLO

Unidad 2: Función Exponencial y Logarítmica

Problemas de introducción a exponenciales.

Funciones exponenciales.

Casos con  a<1

Casos con a>1

Ejercicios funciones exponenciales

Problemas de introducción a logaritmos.

Funciones logarítmicas

Caso con a<1

Caso con a>1

Ejercicios funciones logaritmicas

Funciones Exponenciales y Logarítmicas como inversas

Ejercicios con inversas

Logaritmos

Propiedades de lo logaritmos

Demostraciones de las propiedades

Logaritmo de un producto

Logaritmo de un Cociente

Logaritmo de una Potencia

Logaritmo de una Raíz

Ejemplos de uso de propiedades para resolver logaritmos

Logaritmos Decimales

Logaritmos Naturales o Neperianos

Uso de la calculadora

Cambio de base

Ejercicios usando cambio de base

Ecuaciones Exponenciales

Ejercicios con ecuaciones exponenciales

Ecuaciones Logarítmicas

Ejercicios con ecuaciones logaritmicas


Bibliografía de referencia y consulta:


[1] Solución 56,27 días

[2] Solución 2.562 conejos

[3] Solución 14,07 años

[4] ppm partes por millón

[5] Solución: 617,09 ppm

[6] Solución: En el año 2097