SEGUNDO CICLO

Unidad 3: Irracionales y Sistemas de Ecuaciones

Capítulo 1: Números Irracionales

Aproximación a la función cuadrática

Una función cuadrática o de segundo grado describe el comportamiento de varios fenómenos de crecimiento o decrecimiento. Uno de ellos está relacionado con las superficies de figuras cuadradas.

Ejemplo

Una carpintería produce piezas para juegos didácticos de distintos formatos, en particular desea saber los costos de producción de las piezas cuadradas, saben que por metro cuadrado el costo es de $26. ¿Cuál sería la fórmula que permite calcular para cualquier medida el costo de producción?

Solución:

Sea x la medida del lado en metros

El área o superficie del cuadrado será entonces x2

El costo de cada cuadrado está en función de la medida de su lado, finalmente C(x)= 26 x2

De acuerdo a esto podremos averiguar el costo para cualquier medida de cuadrado. Calcular el costo de fabricar las piezas cuadradas de  5 cm, 10 cm, 20 cm y 50 cm.

C(5cm)= 26( 0,05)2

C(10cm)= 26(0,10)2

C(20cm)= 26( 0,20)2

C(50cm)= 26(0.50)2

En el caso del ejemplo anterior cualquier cuadrado que quiera fabricarse, tiene que resultar visible y tangible, es decir se pueda ver y tocar. Esto impone una restricción a los valores que puede asumir la variable x, que vendría a ser la longitud del lado y es que solo puede asumir valores mayores a cero para que exista un cuadrado. Esto es, no tiene sentido un cuadrado de lado cero de longitud, ni tampoco tiene sentido cuadrados de longitud negativa (esto es un absurdo). Por dicha causa la restricción esta dada por

x > 0

En caso más generales, o en otro tipo de problemas la variable no necesariamente va a estar restringida a un cierto dominio de valores, veamos a continuación una función cuadrática simple sin restricción de valores de su variable.

Gráfico de la Función y = x2 o f(x) = x2

A continuación se presenta una tabla de valores donde le hemos asignado distintos valores a la variable independiente x (primera columna de la tabla), en la segunda columna registramos los valores resultantes de la función f(x). A la derecha de la tabla hemos transcrito los pares de valores (x;f(x)) en el gráfico cartesiano, luego unimos los pares y nos resulta el trazo que se visualiza en el gráfico.

El trazo resultante es conocido como parábola, se distingue por presentar dos ramas simétricas respecto al eje vertical, aunque en otros casos funciones de este tipo el eje de simetría se desplaza según modificadores que se estudiarán con mayor detalle en el siguiente ciclo.

Ejercitación

Realizar tabla de valores y gráfica cartesiana de las siguientes funciones cuadráticas o de segundo grado

  1. f(x)=(x+1)2
  1. f(x)=(x+3)2
  1. f(x)=(x-1)2
  1. f(x)=(x-3)2
  1. f(x)=(x-4)2+5
  1. f(x)=(x-4)2-5

Los números irracionales

Revisión de los conjuntos de números

Los números naturales son aquellos que nacieron con la necesidad de contar del hombre, luego, la necesidad se amplió a ciertas situaciones donde aparecía la ausencia de elementos o el vacío y apareció la necesidad del cero. Los números negativos aparecen cuando se presenta la operación de diferencia donde el minuendo resulta ser menor que el sustraendo, ejemplo 5 – 7 = - 2, todos estos números se engloban en un solo conjunto numérico llamado Enteros o Z.

El conjunto de los números racionales aparece con la necesidad de dividir una unidad en partes más pequeñas, sería la razón entre dos números, por ejemplo 1/3, 2/3 o 4/5 de allí el nombre del conjunto de los números Racionales Q. Estos números pueden ser expresados también en forma de números decimales por ejemplo ½ es equivalente al cociente ente 1 y 2, es decir 0,5; o ¾ equivale al cociente entre 3 y 4 es decir 0,75.; 1/3 es el cociente entre 1 y 3 es decir 0,333…. Y podríamos dar muchos

Aparición de los números irracionales

Finalmente hay números que no provienen de una razón entre dos números o cociente entre ellos, números que poseen infinitas cifras decimales no periódicas, a continuación algunos ejemplos de números irracionales conocidos.

Como puedes ver, la especificación de los puntos suspensivos a continuación de una cantidad de cifras decimales especifica que hay una indefinida sucesión de cifras decimales no periódicas. Esta es la característica fundamental de la irracionalidad de estos números, como una manifestación de ser pocos comprensibles para la naturaleza humana o en otras palabras difíciles de entender.

Representación gráfica de los números irracionales.

Para representar gráficamente los números irracionales debemos recurrir al teorema de Pitágoras, para representar la raíz cuadrada de 2 consideramos un triángulo rectángulo isósceles cuyos catetos miden la unidad. En este caso la hipotenusa (h) estaría dada por  

 

O sea que

Veamos el gráfico

Como puede verse, la hipotenusa del triángulo rectángulo de catetos iguales y unitarios es la raíz de dos. Tomada esta medida como radio de circunferencia se traza con el compás haciendo centro en el origen (cero) proyectando la circunferencia sobre el eje horizontal de manera que el punto de corte en este eje es también la raíz de 2.

Conocida la raíz de 2 sobre el eje horizontal podemos calcular las raíces de 3 de 4 de 5 y así sucesivamente del siguiente modo.

Veamos, tomemos como cateto la raíz de 2 en el eje horizontal, como el otro cateto tomamos la unidad, luego la hipotenusa correspondiente a este triángulo sería

Del mismo modo

Y así sucesivamente

Si bien de este modo podremos graficar cualquier  número irracional sobre el eje horizontal, en algunos casos aprovechando algunos cuadrados perfectos podremos representar algunos números irracionales de una manera más directa, un caso es el de la raíz de cinco ya visto o por ejemplo

Otros ejemplos a continuación raíz de cinco y raíz de veinte donde podemos expresarlas del siguiente modo

Ejercitación: Representa gráficamente los siguientes números irracionales

  1. √7
  1. √9
  1. √11
  1. √17
  1. √26
  1. √4
  1. √10
  1. √6
  1. √8

Curiosidad con la gráfica de irracionales sucesivos.

Tomemos un triángulo rectángulo cuyos catetos son de longitud 1. Como vimos la hipotenusa será la raíz cuadrada de 2. Luego, si tomamos la hipotenusa y la utilizamos como uno de los catetos de un nuevo triángulo rectángulo, cuyo otro cateto sigue siendo de longitud 1, la hipotenusa de este otro triángulo será raíz cuadrada de 3. Si repetimos el proceso, tomando cada nueva hipotenusa como un cateto de un triángulo rectángulo, y tomamos el segundo cateto como de amplitud unitaria, obtendremos sucesivas hipotenusas con las raíces cuadradas de todos los números enteros.

La espiral de Teodoro o de Einstein

Gráfico de la función raíz cuadrada

Es importante destacar que la raíz cuadrada de un número x solo tendrá solución en el campo de los números reales mayores o iguales que cero, es decir valores reales positivos.

En efecto no hay solución para valores de x negativos. Recordemos:

De acuerdo a esto el valor de (b) obtenido como raíz, al elevarlo al cuadrado, el resultado (n) será siempre positivo, es decir, no existe ningún número real que al elevarlo a la potencia 2 resulte negativo. Confirmemos con algunos ejemplos

22=4                (-2)2=4                (-5)2=25                (-7)2=49

Como se desprende de los ejemplos siendo la base positiva o negativa la potencia resulta siempre positiva. Dado que potencia cuadrada de un número y raíz cuadrada son funciones inversas, esta última solo puede aplicarse a valores positivos, esto define el domino de la función raíz cuadrada. Ahora construyamos una tabla y grafiquemos.

x

y

0

0

1/25

1/5

1/16

¼

¼

½

1

1

4

2

9

3

16

4

25

5

De acuerdo a lo que hemos visto se debe tener en cuenta que cualquier valor afectado por una raíz cuadrada siempre debe ser positivo, para aclarar veamos con un ejemplo. Supongamos que debemos graficar la siguiente función

 En este caso se debe cumplir que   Donde 

con lo cual acotamos el dominio de la función a los valores de x mayores que uno. Nuestra tabla de valores entonces debe respetar esta condición.

x

x-1

f(x)

1

0

0

2

1

1

5

4

2

10

9

3

17

16

4

26

25

5

37

36

6

50

49

7

65

64

8


Ejercitación:

Determina el dominio de las siguientes funciones raíz cuadrática y graficar.

  1. f(x)=√x-3
  1. f(x)=√x-2
  1. f(x)=√x+1
  1. f(x)=√x-1/3
  1. f(x)=√x+2/5
  1. f(x)=√x-6
  1. f(x)=√x+3
  1. f(x)=√x-1/6
  1. f(x)=√x+5

Gráfico de la función f(y)=x2 y la función g(x)=√x como inversas

En este caso para verificar que ambas funciones son inversas, debemos considerar la restricción al dominio que tiene la función raíz cuadrada, recordemos que la variable x solo puede asumir valores reales mayores o iguales a cero, esto es x >= 0 y ambas funciones evaluamos para valores positivos de x. Tomamos la precaución de no tomar valores demasiados grandes para evitar un gráfico muy desbalanceado. Veamos la tabla de valores y la correspondiente gráfica. Para los valores que se han propuesto se obtiene la gráfica de la función y=x graficada en color azul la cual representa el eje de simetría entre ambas funciones.

x

y

x**2

raíz(x)

0

0

0

0

  1/4

  1/4

   1/16

   1/2  

  1/2

  1/2

   1/4  

 408/577

  3/4

  3/4

   9/16

 181/209

1

1

1

1

1 1/4

1  1/4

1   9/16

1  36/305

1 1/2

1  1/2

2   1/4  

1 198/881

1 3/4

1  3/4

3   1/16

1 247/765

2

2

4

1 408/985

Obteniendo inversas de funciones

Sea la función  y=(x-2)2  se solicita encontrar su inversa.

Para realizar esta propuesta en primer lugar se despeja la variable independiente, de tal forma

√y=x-2

√y+2=x

Obtenida esta expresión reemplazamos las variables x por y y viceversa obteniendo.

y=√x+2

Recordando que la variable independiente por estar afectada por una raíz cuadrada no puede asumir valores negativos, siendo entonces el dominio de la función restringido a valores de x mayores o iguales a cero, en símbolos.

x>=0

Ahora podremos construir una tabla de valores y graficar dichas funciones del siguiente modo.

x

y

(x-2)**2

raíz(x)+2

-raíz(x)+2

0,00

0,00

4,00

2,00

2,00

0,20

0,20

3,24

2,45

1,55

0,40

0,40

2,56

2,63

1,37

0,60

0,60

1,96

2,77

1,23

0,80

0,80

1,44

2,89

1,11

1,00

1,00

1,00

3,00

1,00

1,20

1,20

0,64

3,10

0,90

1,40

1,40

0,36

3,18

0,82

1,60

1,60

0,16

3,26

0,74

1,80

1,80

0,04

3,34

0,66

2,00

2,00

0,00

3,41

0,59

2,20

2,20

0,04

3,48

0,52

2,40

2,40

0,16

3,55

0,45

2,60

2,60

0,36

3,61

0,39

2,80

2,80

0,64

3,67

0,33

3,00

3,00

1,00

3,73

0,27

3,20

3,20

1,44

3,79

0,21

3,40

3,40

1,96

3,84

0,16

3,60

3,60

2,56

3,90

0,10

3,80

3,80

3,24

3,95

0,05

4,00

4,00

4,00

4,00

0,00

4,20

4,20

4,84

4,05

-0,05

4,40

4,40

5,76

4,10

-0,10

4,60

4,60

6,76

4,14

-0,14

4,80

4,80

7,84

4,19

-0,19

5,00

5,00

9,00

4,24

-0,24

Nos hemos valido de una planilla de cálculo para la producción de la tabla y el gráfico. En particular hemos incluido también los valores de la raíz negativa en la quinta columna con el objeto de poder observar mejor la simetría respecto de la recta y=x de ambas funciones.

Ejercitación con inversas de cuadráticas y raíz cuadrática

Encontrar la inversa de las siguientes funciones y graficar

  1. y=(x-1)2
  1. y=(x-5)2
  1. y=(x-1/2)2
  1. y=(x+1/2)2
  1. y=(x-3)2
  1. y=√x+6
  1. y=√x+1/4
  1. y=√x-2/3
  1. y=√x-3

Aproximación a la función cúbica

Una función de orden cúbico es una expresión donde la variable independiente se encuentra elevada a la tercera potencia. Así podremos encontrar expresiones como las siguientes

y=x3

y=(x-3)3

y=(x+2)3

Es posible encontrar expresiones como las dadas anteriormente expresada en su forma polinómica como resultado del desarrollo del cubo de un binomio, así por ejemplo las funciones a continuación son expresiones equivalentes.

y=x3+6x2+12x+8                            y=(x+2)3

Gráfico de la función y=x3

Con la ayuda de la tabla de valores hemos conseguido calcular los valores correspondientes. Los pares ordenados resultantes se han transcripto y producen el siguiente gráfico

X

f(x)

-3

-27

-2

-8

-1

-1

0

0

1

1

2

8

3

27

Como puede observarse en la función cúbica pueden asignarse a la variable independiente, valores negativos, cero y valores positivos, sean enteros, racionales o irracionales, es decir el dominio es el campo de los números reales.

Ejercitación de funciones cúbicas

Grafica las siguientes funciones cúbicas y analiza el desplazamiento horizontal y vertical de cada una respecto a y=x3

  1. y=(x+2)3
  1. y=(x-2)3
  1. y=(x+5)3
  1. y=x3+3
  1. y=x3-3
  1. y=x3+1
  1. y=(x+1)3-4
  1. y=(x+1)3+2
  1. y=(x-5)3-1

Aproximación a las funciones polinómicas.

Hasta este momento hemos estudiado funciones como las siguientes

Función

Ejemplo

Factorizado

Forma polinómica general

Lineal o de primer grado

y=2x+1

y=2x+1

y=ax+b

Cuadrática o de segundo grado

y=x2-3x+2

y=(x-1)(x-2)

y=ax2+bx+c

Cúbicas o de tercer grado

y=x3+6x2+12x+8

y=(x+2)3

y=ax3+bx2+cx+d

Si observamos la última columna de la tabla podemos observar la secuencia creciente de las potencias de x, de esta forma una función polinómica de cuarto gado en forma general podremos expresarla como sigue.

y=ax4+ bx3+cx2+dx+e

De forma más amplia

y=anxn+ an-1xn-1+…   …+a1x+a0

Es la forma general de una función polinómica de grado n donde n es un entero no negativo

an         an-1        a1        a0        son coeficientes, son números reales

an                                es el coeficiente principal  o el coeficiente del termino de mayor grado

xn        xn-1        x                son las potencias decrecientes de la variable x

a0                                es el término independiente

anxn                                es el termino de mayor grado

Las funciones polinómicas y su representación gráfica, describen relaciones entre dos variables que resuelven numerosos problemas que se presentan en la vida real.

Propiedades de las funciones polinomiales

SEGUNDO CICLO

Unidad 3: Irracionales y Sistemas de Ecuaciones

Capítulo 1: Números Irracionales

Aproximación a la función cuadrática

Ejercitación

Los números irracionales

Revisión de los conjuntos de números

La espiral de Teodoro o de Einstein

Gráfico de la función raíz cuadrada

Ejercitación:

Gráfico de la función f(y)=x2 y la función g(x)=√x como inversas

Obteniendo inversas de funciones

Ejercitación con inversas de cuadráticas y raíz cuadrática

Aproximación a la función cúbica

Gráfico de la función y=x3

Ejercitación de funciones cúbicas

Aproximación a las funciones polinómicas.

Propiedades de las funciones polinomiales