AULA 1 – ATIVIDADE 1: DESENHANDO UM CUBO

O cubo que você vai desenhar nesta atividade está centrado na origem de um sistema de coordenadas cartesianas tridimensionais e suas faces são paralelas aos planos coordenados. As arestas desse cubo medem 2 unidades e seus vértices são os pontos A, B, C, D, E, F, G e H.

1. Com base nas informações acima,

        a) escreva as coordenadas de todos os vértices desse cubo;

        b) represente o cubo no sistema de coordenadas fornecido.

Agora, você vai representar o mesmo cubo considerando o modelo simplificado de câmera pin-hole, ilustrado na figura ao lado. Note que o objeto tridimensional será desenhado em um plano que corresponde, nessa representação, a uma das faces da câmera.          

Para fazer isso, além de conhecer a posição da câmera, é preciso estabelecer relações entre as coordenadas  de um ponto do objeto tridimensional e as coordenadas  desse mesmo ponto na representação bidimensional. É o que você vai fazer a seguir.

A figura mostra um esquema da câmera pin-hole, com orifício no centro O de uma das faces. As imagens são formadas na face oposta, que tem centro O’. Nessa figura, P’ é a imagem do ponto P. Sua primeira tarefa será estabelecer uma relação entre as distâncias  e  (deslocamentos horizontal e vertical da imagem em relação ao ponto O’) e as distâncias ,  e  (medidas sobre direções paralelas às arestas da câmera).

2. Considere que a câmera tem tamanho unitário, ou seja, que .

a) Calcule  em função de ,  e  utilizando o triângulo destacado na figura a seguir.

b) De forma análoga ao que foi feito no item a, calcule  em função de ,  e . Note que você deverá projetar o segmento  em um plano paralelo a uma das faces da câmera, como fizemos para você no item anterior.

3. Em relação a um sistema de coordenadas cartesianas, suponha que o orifício da câmera pin-hole tenha coordenadas . Sendo  um ponto do espaço que será projetado na câmera, determine as distâncias ,  e  definidas no item 2. Considere que a reta  é paralela ao eixo x.  

4. Como estamos tentando estabelecer uma relação entre as coordenadas  de um ponto do objeto tridimensional e as coordenadas  desse mesmo ponto na representação bidimensional, é preciso pensar nos sinais das variáveis ,  e . Considerando que a reta  da câmera é paralela ao eixo x, qual dessas variáveis deve ser necessariamente positiva? Como você interpreta isso no modelo de formação da imagem?  

5. Com base no que você desenvolveu nos itens 2, 3 e 4, determine as coordenadas  da representação bidimensional de um ponto  na câmera pin-hole em função de ,  e  e da posição  do orifício da câmera. Considere a câmera de tamanho unitário e a reta  paralela ao eixo x.    

6. Considere novamente o cubo do item 1, cujas coordenadas dos vértices você já determinou. Supondo que a imagem desse cubo será captada por uma câmera pin-hole como a que você modelou no item 5, com orifício localizado no ponto , com , escreva as coordenadas  das imagens projetadas dos oito vértices desse cubo.    

7. Represente no GeoGebra a imagem do cubo na câmera. Utilize controles deslizantes para representar as coordenadas ,  e  do orifício da câmera. Na figura ao lado, representamos essa imagem para .

Movimente o controle deslizante  e observe o comportamento da imagem. Depois, movimente os demais controles deslizantes e procure interpretar o comportamento da imagem.