Grenzwert lim (n→∞) (1 - 1/n^2)^n

lim n→∞

(1 - 1/n^2)^n
e^(ln((1 - 1/n^2)^n))
e^(n·ln(1 - 1/n^2))

Substitution n = 1/t, lim t→0

e^((1/t)*ln(1 - t^2))
e^(ln(1 - t^2) / t)

Man betrachtet jetzt nur den Exponenten und erkennt das Zähler und Nenner gegen Null gehen. Man wendet die Regel von L'Hospital an und leitet Zähler und Nenner getrennt ab.

ln(1 - t^2) / t
1 / (1 - t^2) * (-2t) / 1 = -2t / (1 - t^2)

lim (t→0) (-2t / (1 - t^2)) = 0

Der Exponent geht gegen 0.

Damit geht der komplette Term gegen 1.

lim (t→0) e^(ln(1 - t^2) / t) = 1

Damit können wir schreiben:

lim (n→∞) (1 - 1/n^2)^n = 1