SEGUNDO CICLO

Unidad 6: Geometría y Medición

Medida

Area del circulo

Polígonos inscriptos de n lados

El número pi π

Cuerpos  poliedros

Prismas

El prisma es un poliedro que presenta dos caras opuestas, congruentes y paralelas llamadas bases y por tantos paralelogramos como lados tenga sus bases. A continuación algunos prismas a manera de ejemplo.

Superficie y volumen de los prismas

Cilindro

Superficie y volumen de los cilindros

Área lateral = perímetro de la base x altura téngase en cuenta que la base es un círculo.

Al = 2 π r . h

Si a la expresión anterior le sumamos el área de las dos regiones circulares basales, obtenemos el área total del cilindro. Para calcular su área total se emplea la siguiente fórmula

A total = A lateral + 2 A base

Concepto de volumen

Unidades de medida de volumen

Unidades de medida convencionales

Unidades de medida no convencionales

Relación capacidad volumen

Problemas de medición de volumen de objetos no regulares

SEGUNDO CICLO

Unidad 6: Geometría y Medición

Medida

Es el resultado del proceso de medición, esto se refiere a la comparación de la magnitud que quiere medirse con la que se considera como unidad para dicha magnitud. La medición implica la existencia de un patrón tomado como base al que se considera unidad de medida de una determinada magnitud física.

En nuestro país se utiliza desde el año 1972 el Sistema Métrico Legal Argentino, conocido por sus siglas SIMELA que utiliza los símbolos y métricas del Sistema Internacional de Medidas (SI). A continuación las unidades de base y símbolos.

Area del circulo

El área del círculo es la medida de la superficie contenida por la circunferencia de centro o y radio r. El símbolo A de área o S de superficie se utilizará en forma indistinta, el valor del área está en función de la fórmula.

         o          S =  π × r2

Para la fórmula debe considerarse entonces que r representa el radio de la circunferencia y que 𝝅π pi es un número irracional de infinitas cifras decimales, a los efectos de los cálculos consideraremos

π = 3,1416

es decir una aproximación con cuatro decimales, aunque debemos tener presente que en realidad

π = 3,14159...

Donde los puntos suspensivos representan infinitas cifras decimales más. A partir de la fórmula del área se puede deducir el valor del radio como sigue

A = π . r2 

pasamos π pi que está como factor a divisor

r2 = A / 𝝅π

 luego pasamos el exponente 2 como índice de raíz y queda

r = √(A / π)        

Por último considerar que dado que el radio es la mitad del diámetro se puede obtener el área en función del diámetro del círculo como sigue

A = π . (d/2)2 

donde d es la medida del diámetro

Recordar que d=2.r de donde r=d/2

Ejemplos

1. Calcular el área de los círculos cuyo radio es de

1. 5 cm
2. 10 cm  
3. 25 cm de radio

2. Calcular cuál es el radio de los círculos cuya superficie son las que se indican

1. 500 cm2
2. 120 m2
3. 850 dm2

3. Calcular el radio y la superficie de los círculos a continuación de los cuales se conoce la medida de su diámetro.

1. 400 cm
2. 340 m
3. 750 mm

Soluciones:

1. En todos los casos utilizamos la formula de calculo del area del circulo A = π . r2 , luego

1. A = 3,1416 × (5 cm)2 = 3,1416 × 25 cm2 = 78,54 cm2
2. A = 3,1416 × (10 cm)2 = 3,1416 × 100 cm2 = 314,16 cm2
3. A = 3,1416 × (25 cm)2 = 3,1416 × 125 cm2 = 392,70 cm2

2. En estos casos, como el dato con que contamos es la superficie del círculo, debemos buscar de hallar una fórmula que a partir del dato con que contamos podamos hallar la medida del radio, en consecuencia,  recurrimos a r = √(A / π)  o

3. Recordar que el diámetro de una circunferencia como de un círculo es el doble de la medida de su radio. Usamos en consecuencia las formulas r=d/2  y  A = π . (d/2)2

1. r=400 cm/2= 200 cm          A=3,1416×(400 cm/2)2=125.664
2. r=340 m/2 = 170 m         A=3,1416×(340 m / 2)2=90.792,24
3. r=750mm/2=375,5mm         A=3,1416×(750cm/2)2=442.966,3854

Ejercicios

4. Calcular el área de los siguientes círculos cuyos radios son los que se indican a continuación.

1. 6 cm
2. 17 cm
3. 33 m
4. 52 m
5. 15 mm
6. 12,52 m
7. 3,14 mm

5. Calcular el radio de los siguientes círculos de los cuales se conoce su superficie.

1. 626 m2
2. 900 m2
3. 756,89 cm2
4. 226,68 cm2
5. 1024 dm2
6. 8046 dm2
7. 1021,57 mm2

6. Calcular el radio y la superficie de los círculos a continuación de los cuales se conoce la medida de su diámetro.

1. 342 cm
2. 23 cm
3. 56 mm
4. 234,68 mm
5. 123 m
6. 218 m
7. 32 dm

Polígonos inscriptos de n lados

El cálculo del área del círculo puede obtenerse por aproximación calculando la superficie de polígonos inscritos en el mismo. Puedo iniciar con un cuadrado, polígono de cuatro lados por ejemplo, y observamos que obtendremos una superficie por defecto, esto es un valor menor al real lo cual puedes ver claramente en la siguiente representación.

Si inscribo un pentágono que es un polígono de cinco lados podemos ver que nuevamente obtenemos una medida de la superficie por defecto, aunque en este caso el error es menor al calculado en el cuadrado.

Finalmente vamos inscribir un hexágono, polígono de seis lados, un octógono, ocho lados, y un decágono, diez lados, en todos los casos puede observarse que las superficies obtenidas siguen siendo menores a la del círculo, sin embargo se observa que cuanto mayor la cantidad de lados es menor el error de cálculo de la superficie.

Octógono y Decágono Inscritos

Podemos llegar a la conclusión que cuanto mayor sea la cantidad de lados del polígono inscripto, menor es el error en el cálculo del círculo buscado. Por tanto si definimos con n a la variable que establece el número de lados del polígono inscripto. Cuanto mayor sea n más próxima la superficie del polígono inscripto a la superficie del círculo. A medida que n tiende a infinito la superficie del polígono tiende a acercarse a la medida exacta de la superficie del círculo.

El número pi π

Para obtener tanto sea la longitud de la circunferencia como la superficie del círculo se emplea en ambas fórmulas el valor de 𝝅 pi. Como hemos visto antes el número pi es un número irracional de infinitas cifras decimales, pero como se deduce este número, o mejor dicho ¿de donde proviene este valor que permite calcular longitud y área de figuras circulares?

Para entender el fundamento del número pi tenemos que revisar en la historia los antecedentes de este número. Desde la antigüedad se observó que existía cierta relación entre la longitud de la circunferencia y la medida de su diámetro, aunque recién en el siglo XVII se le dió nombre a este dígito y fue llamado pi, este nombre fue tomado del término periphereia tal como los griegos denominaban al contorno de la circunferencia. Leonard Euler en una de sus obras reutilizo la letra griega pi que ya había sido utilizada por William Jones en 1706 para referir a este valor.

En consecuencia matemáticamente pi se define como la relación entre la medida de la longitud de la circunferencia y su diámetro, en símbolos sería

π = L / D

donde L representa la longitud de la circunferencia y D la medida de su diámetro. A lo largo de la historia se han ido obteniendo distintas versiones de este número. Aunque según pasan los años se va perfeccionando el valor, fundamentalmente, en cantidad de decimales .

Fuente: http://ciencianet.com/pi.html

Recien durante el siglo XX con el advenimiento de los computadores y la ayuda de la programación es que se pudieron realizar algoritmos de cálculo que permitieron llegar a una cantidad considerable de cifras decimales, en Julio de 1997, Yasumasa Kanada y Daisuke Takahashi obtuvieron 51.539.600.000 cifras, utilizando un HITACHI SR2201 con 1024 procesadores.

Más datos sobre pi a lo largo de la historia puede encontrarse en Datos sobre Pi

(http://centros5.pntic.mec.es/ies.de.bullas/dp/matema/conocer/tabla_pi.htm)

Finalmente a título personal considero que el calcular las cifras decimales de pi resulta tan apasionante como inútil, en particular y a los fines de este ciclo de estudios no usaremos más allá de cuatro cifras decimales en los cálculos, no obstante, la magia que transmite este particular número seguirá siendo centro de nuevos desafíos, quién sabe, tal vez un día, podremos hallar la racionalidad para semejante irracional.

Cuerpos  poliedros

Se conoce como cuerpo poliedro a aquella formación tridimensional conformada por un número determinado de caras planas que encierra un volumen finito. El origen de la palabra poliedro deriva del griego poliedra “polys” muchas y “edra” caras, en síntesis, muchas caras. Cada cara del poliedro es un polígono. Si el cuerpo tiene todas sus caras iguales se denomina poliedro regular.

Los poliedros se conciben como cuerpos tridimensionales, pero hay semejantes topológicos del concepto en cualquier dimensión. Así, el punto o vértice es el semejante topológico del poliedro en cero dimensiones, una arista o segmento lo es en 1 dimensión, el polígono para 2 dimensiones; y el polícoro el de cuatro dimensiones. Todas estas formas son conocidas como politopos, por lo que podemos definir un poliedro como un polítopo tridimensional.

Criterios de clasificación de los poliedros

Los poliedros pueden ser clasificados en muchos grupos según la familia de donde provienen o de las características que los diferencian; según sus características, se distinguen:

Convexos, como el cubo, o el tetraedro, cuando cualquier par de puntos del espacio que estén dentro del cuerpo los une un segmento de recta también interno. En el caso de que dicho segmento se salga del cuerpo se dice que son poliedros cóncavos, como es el caso del toroide facetado y los sólidos de karim.

Poliedro de caras regulares, cuando todas las caras del poliedro son polígonos regulares.

Poliedro de caras uniformes, cuando todas las caras son iguales.

Se dice poliedro de vértices uniformes cuando en todos los vértices del poliedro convergen el mismo número de caras y en el mismo orden.

Se dice poliedro regular o regular y uniforme, como el tetraedro o el icosaedro, cuando es de caras regulares, de caras uniformes de vértices uniformes y de aristas uniformes.

Estos grupos no son excluyentes entre sí; es decir, un poliedro puede estar incluido en más de uno de ellos.

Sólidos platónicos

Los sólidos platónicos o sólidos de Platón son poliedros regulares y convexos. Sólo existen cinco de ellos: el tetraedro, el cubo, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro. El nombre del grupo proviene del hecho de que los griegos adjudicaban a cada uno de estos cuerpos uno de los "elementos fundamentales": tierra, agua, aire y fuego, y el restante, al dodecaedro, la divinidad. Los sólidos platónicos son el inicio del estudio de los poliedros; de estos se derivan los sólidos de Arquímedes y los de Kepler-Poinsot, que a su vez generan más familias.

Denominación de los poliedros: se llaman diferente según el número de caras que posean, entre otros poliedros tenemos

Prismas

El prisma es un poliedro que presenta dos caras opuestas, congruentes y paralelas llamadas bases y por tantos paralelogramos como lados tenga sus bases. A continuación algunos prismas a manera de ejemplo.

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Superficie y volumen de los prismas

Para el cálculo de superficie y volumen de estos cuerpos vamos a definir algunas bases previas y dado que las caras de estos objetos son polígonos, más de una vez deberemos recurrir a las fórmulas estudiadas de perimetro y area de aquellos objetos bidimensionales.

Pb = perímetro de la base; usar fórmula correspondiente de acuerdo al polígono base.

h = altura; distancia entre las bases.

Al = área lateral; superficie total de las caras laterales. Al = Pb * h

Ab = área de la base; usar la fórmula correspondiente según el polígono base.

At = área total; suma del área lateral y el área de las bases. At = Al + 2 Ab

V = Volumen. V = Ab * h

Cilindro

Es un sólido de los llamados cuádricos, en su interpretación más simple se puede considerar como el cuerpo formado por un rectángulo que gira alrededor de uno de sus ejes. El lado opuesto al considerado eje de giro se denomina generatriz g también considerada altura h del cilindro por ser la distancia entre las bases.

Con un poco más de rigurosidad matemática, el cilindro se considera al desplazamiento paralelo de una recta llamada generatriz g sobre una curva plana, la cual puede ser cerrada o abierta, denominada directriz del cilindro. Si la directriz es un círculo y la generatriz resulta perpendicular a él entonces la superficie obtenida, es llamada cilindro circular recto, será de revolución y tendrá por lo tanto todos sus puntos situados a una distancia fija de una línea recta, el eje del cilindro. El sólido encerrado por esta superficie y por dos planos perpendiculares al eje también es llamado cilindro.

Superficie y volumen de los cilindros

Área lateral = perímetro de la base x altura téngase en cuenta que la base es un círculo.

Al = 2 π r . h

Si a la expresión anterior le sumamos el área de las dos regiones circulares basales, obtenemos el área total del cilindro. Para calcular su área total se emplea la siguiente fórmula

A total = A lateral + 2 A base

Concepto de volumen

Se llama así el espacio que ocupa un cuerpo.

El volumen es una magnitud escalar definida como la extensión en tres dimensiones de una región del espacio. Deriva de la longitud, ya que se halla multiplicando la longitud, la anchura y la altura. Desde un punto de vista físico, los cuerpos materiales ocupan un volumen por el hecho de ser extensos.

Unidades de medida de volumen

La unidad de medida de volumen en el Sistema Internacional de Unidades es el metro cúbico. Para medir la capacidad se utiliza el litro. Por razones históricas, existen unidades separadas para ambas, sin embargo están relacionadas por la equivalencia entre el litro y el decímetro cúbico: 1 dm3 = 1 litro = 0,001 m3 = 1.000 cm3.

Unidades de medida convencionales

Las unidades del SI Sistema Internacional de medidas son las consideradas como convencionales o de aplicación universal, sin embargo no han sido adoptadas en el mundo entero.

Tipos de unidades

1. Unidades de capacidad
2. Unidades de densidad
3. Unidades de energía
4. Unidades de fuerza
5. Unidades de longitud
6. Unidades de masa
7. Unidades de peso específico
8. Unidades de potencia
9. Unidades de superficie
10. Unidades de temperatura
11. Unidades de tiempo
12. Unidades de velocidad
13. Unidades de viscosidad
14. Unidades de volumen
15. Unidades eléctricas

Símbolos

muchas unidades tienen un símbolo asociado, normalmente formado por una o varias letras del alfabeto latino o griego (por ejemplo "m" simboliza "metro"). Este símbolo se ubica a la derecha de un factor que expresa cuántas veces dicha cantidad se encuentra representada (por ejemplo "5 m" quiere decir "cinco metros"). Es común referirse a un múltiplo o submúltiplo de una unidad, los cuales se indican ubicando un prefijo delante del símbolo que la identifica (por ejemplo "km", símbolo de "kilómetro", equivale a "1.000 metros"). Siguiendo otro ejemplo una medida concreta de la magnitud "tiempo" podría ser expresada por la unidad "segundo", junto a su submúltiplo "mili" y su número de unidades (12). De forma abreviada: t = 12 ms (los símbolos de magnitudes se suelen expresar en cursiva, mientras que los de unidades se suelen expresar en letra redonda).

Unidades de medida no convencionales

Los países anglosajones utilizan muchas unidades del SI, pero todavía emplean unidades propias de su cultura como el pie, la libra, la milla, etc. En la navegación todavía se usa la milla y legua náuticas. En las industrias del mundo todavía se utilizan unidades como: PSI del inglés pounds per square inch es una unidad de presión libra fuerza por pulgada cuadrada, BTU es la abreviatura de British Thermal Unit. Se usa principalmente en los Estados Unidos. Ocasionalmente también se puede encontrar en documentación o equipos antiguos de origen británico. En la mayor parte de los ámbitos de la técnica y la física ha sido sustituida por el julio que es la unidad correspondiente del sistema internacional, galones por minuto, granos por galón, barriles de petróleo, etc. Por eso todavía son necesarias las tablas de conversión, que convierte el valor de una unidad al valor de otra unidad de la misma magnitud. Ejemplo: Con una tabla de conversión se convierten 5 p a su valor correspondiente en metros, que sería de 1,524.

Errores de conversión

Al convertir unidades se cometen inexactitudes, porque el valor convertido no equivale exactamente a la unidad original, debido a que el valor del factor de conversión también es inexacto. Ejemplo: 5 lb son aproximadamente 2,268 kg, porque el factor de conversión indica que 1 lb vale aproximadamente 0,4536 kg., Pero 5 lb equivale a 2,26796185 kg porque el factor de conversión indica que 1 lb equivale a 0,45359237 Kilogramos. Sin embargo, la conversión de unidades es usada frecuentemente pues en general basta tener valores aproximados.

Relación capacidad volumen

La capacidad y el volumen son términos equivalentes, pero no iguales. Se define la capacidad de un recipiente como la "propiedad de una cosa de contener otras dentro de ciertos límites" . La capacidad se refiere al volumen de espacio vacío de alguna cosa que es suficiente para contener a otra u otras cosas.

Problemas de medición de volumen de objetos no regulares

Para solucionar este tipo de problemas se debe recurrir a descomponer el objeto según convenga de tal manera que para los nuevos cuerpos que hallemos, podamos utilizar alguna de las formulas de calculo conocidas para luego una vez hallados los volúmenes parciales podamos obtener el volumen o capacidad, según el problema, que nos permita hallar el total como suma individual de sus partes. A continuación veamos algunos ejemplos.