算数・数学

問題

Q/P=1-1/2+1/3-1/4+・・・・・-1/1318+1/1319

において、答えを約分したとき、分子Ｑは素数である1979で割り切れることを証明しなさい。

解答

A=1+1/2+1/3+1/4+・・・・・+1/1318+1/1319

B=1+1/2+1/3+1/4+・・・・・+1/659

とおきます。

Q/P=A-2(1/2+1/4+1/6+・・・・・+1/1318)

=A-(1+1/2+1/3+・・・・・+1/659)

=A-B

=1/660+1/661+1/662+・・・・・+1/1318+1/1319

加える順番を変えて、

Q/P=(1/660+1/1319)+(1/661+1/1318)+・・・・・+(1/989+1/990)

=(1979/660・1319)+(1979/661・1318)+・・・・・+(1979/989・990)

=1979(1/660・1319+1/661・1318+・・・・・+1/989・990)

ここで、カッコの中はある分数になるが、分母の素因数(約数である素数)はたかだか1319以下の数である。

一方、1979 は素数であるので、1319 以下のいかなる素数の約数を持たず、カッコの中の計算結果の

分数の分母によって、約分されることはない。

よって、Q/P の分子 Q は1979 で割り切れる。

【問】６キロ走ってタイムが１８分だったとき、ある１キロの区間をちょうど３分で走っていたことを示せ

【解】スタートを０分とし、ｘ分からｘ+３分までの３分間で走った距離をｆ（ｘ）とする（０≦ｘ≦１５）。ｆ（ｘ）＝１となるｘがあることを示せばいいので、以下はそれを考える。

すべてのｘについて常にｆ（ｘ）＞１だと仮定すると、

６㎞＝ｆ（０）＋ｆ（３）＋ｆ（６）＋ｆ（９）＋ｆ（１２）＋ｆ（１５）＞１＋１＋１＋１＋１＋１＝６㎞

となり矛盾する。よって、ｆ（ａ）≦１となるようなａがある。

すべてのｘについて常にｆ（ｘ）＜１だと仮定しても、同様に矛盾するから、ｆ（ｂ）≧１となるようなｂがある。

問題

与えられた正方形と面積の等しい正三角形を作図しなさい。

解答

（１）与えられた正方形をＡＢＣＤとします。

（２）ＣＤの中点をＭとし、ＢＭとＡＤの交点をＥとすると、△ＡＢＥは正方形ＡＢＣＤと等積です。

（３）点ＯをＡＯ＝ＥＯ、∠ＥＯＡ＝１２０°となるように取り、Ｏを中心、半径ＯＡの円と、

Ｂを通り、ＡＥに平行な直線との交点をＦとすると、△ＡＦＥは正方形ＡＢＣＤと等積であり、

∠ＥＦＡ＝６０°です。（円周角の定理より）

（４）辺ＦＥ上にＦＧ＝ＦＡとなる点Ｇを取ります。

２点Ｅ，Ｇを通る円（半径は任意）を描き、Ｆからその円に接線ＦＨを引きます。

（ＦＰを直径とする円を引くことで、接点Ｈを作図しています。ただしＰは円の中心）

このときＦＨが求める正三角形の１辺になります。

これは、方べきの定理により、ＦＥ・ＦＡ＝ＦＨ2が言えるためです。

（５）ＦＥ，ＦＡ上にＦＨ＝ＦＩ＝ＦＪとなる点Ｉ，Ｊを取って、出来上がりです

問題

図において、AC⊥BD です。

このとき、∠ＡＤＢを求めよ。

※図の数値の単位は°です。

解答

ＡＣに対して点Ｂと対称な点をＥとします。

各部の角度が上のように決まります。

ＥＡとＢＣの交点をＦとします。

各部の角度が上のように決まります。

△ＦＢＥ≡△ＤＥＣ

を考慮すると、

ＦＢ＝ＢＡ＝ＡＥ＝ＥＤ

よって、△ＡＤＥは二等辺三角形となり、∠ＡＤＥ＝10°となります。

問題

縦、横、高さがそれぞれ９cm、９cm、６cmである直方体Ｖがあります。

この直方体の対角線の１本をｍとして、直線ｍを軸としてＶを１８０度回転させてできる直方体をＷとします。

さて、ＶとＷの共通部分の立体の体積は何cm3でしょうか。

解答

図のように、対角線の中点を通り、対角線に垂直な平面で、切断することを考えます。

図において、ＡＢＣＤ（ＤはＢと重なっている）が、9×9の正方形で、ＡＥ，ＢＦ，ＣＧなどが、6cmの辺です。

対角線ＡＧの中点をＭ。Ｃ、Ｂから、ＡＧに下ろした垂線の足を、Ｎ、Ｐとします。

△ＡＣＧ，△ＡＮＣ，△ＣＮＧは相似な直角三角形なので、

ＡＣ／ＣＧ＝ＡＮ／ＮＣ＝ＮＣ／ＮＧ

より、

(ＡＮ／ＮＣ)(ＮＣ／ＮＧ)＝(ＡＣ／ＣＧ)(ＡＣ／ＣＧ)

ＡＮ／ＮＧ＝ＡＣ2／ＣＧ2

の関係があります。

ＡＣ2＝２×□ＡＢＣＤ＝9×9×2＝162

ＣＧ2＝6×6＝36

より、

ＡＮ：ＮＧ＝162：36＝９：２＝１８：４

ＰはＡＮの中点なので、

ＡＰ：ＰＮ：ＮＧ＝９：９：４

ＭはＡＧの中点なので、

ＡＰ：ＰＭ：ＭＮ：ＮＧ＝９：２：７：４

以上より、ＢＱ：ＱＣ＝ＰＭ：ＭＮ＝２：７となり、ＢＱ＝2cm、ＱＣ＝7cm となります。

また、Ｍは、ＢＦの中点でもあり、ＢＭ＝ＭＦ＝3cm です。

よって、求める立体は、図のように、

9×9×6＝486(cm<SUP>3</SUP>)

の直方体から、直角をはさむ3辺が、

7×7×6 の三角すい（Ｃ，Ｅを含むもの：体積49）を２つ

3×2×9の三角すい（Ｂ，Ｄ，Ｆ，Ｈを含むもの：体積９）を４つ

を取り去ったもので、体積は、

486－49×2－9×4＝352(cm3)

線分の３等分

線分ABの３等分点を、定規とコンパスで作図する方法を、たくさん見つける。

垂線を引く、中点を取る、垂直二等分線を引く、角の二等分線を引く、平行線を引く

30°を含む直角三角形を描く、またそれを利用して、１：２：√3 の比を作る

は、既知のものとして、その作図方法は省略し、補助線も描いていません。

方法１ＡＢを１辺とする正方形を３つ図のように描きＡから対角線ＡＣを引き、ＡＢを含む正方形との交点をＤとし、ＤからＡＢに下ろした垂線の足Ｅが３等分点のひとつとなります。
方法２ＡＢを１辺とする正方形を６つ図のように描きＡから対角線ＡＣを引き、ＡＢを含む正方形との交点をＤとし、ＤからＡＢに下ろした垂線の足Ｅが３等分点のひとつとなります。
方法３ＡＢを１辺とする正方形を３つ図のように描き対角線ＣＤと、ＡＢの交点Ｅが３等分点のひとつになります。
方法４ＡＢを１辺とする正方形を図のように４つ描き、長さＢＣをＢＤの延長上に取り、ＡＥを結びます。ＡＢ＝ＡＦとなる点ＦをＡＥ上にとり、点ＦからＡＢに下ろした垂線の足Ｇが３等分点のひとつになります。（説明）ＡＢを１とすると、ＢＣは２√２となります。 △ＡＢＥにおける三平方の定理より、ＡＥ＝３となります。この上に長さ１のＡＦを取ることにより、1/3 の長さを作っています。
方法５ＡＢを１辺とする正方形を図のように３つ描き、長さＣＤをＣＥに取り、ＡＥを結びます。ＡＢ＝ＡＦとなる点ＦをＡＥ上にとり、点ＦからＡＢに下ろした垂線の足Ｇが３等分点のひとつになります。（説明）ＡＢを１とすると、ＣＤは√５となります。 △ＡＣＥにおける三平方の定理より、ＡＥ＝３となります。この上に長さ１のＡＦを取ることにより、2/3 の長さを作っています。
方法６ＡＢをＢ方向に２倍伸ばした点Ｄを取ります。中心Ａ、半径ＡＤの円と、ＢからＡＢに垂直に延ばした直線との交点をＥとし、ＡＥを結びます。ＡＢ＝ＡＦとなる点ＦをＡＥ上にとり、点ＦからＡＢに下ろした垂線の足Ｇが３等分点のひとつになります。方法４の辺の取り方の変更です。
方法７ＡＢのＢの方向に点Ｃ点ＤをＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤとなるように取ります。中心Ａ、半径ＡＤの円と、ＣからＡＢに垂直に延ばした直線との交点をＥとし、ＡＥを結びます。ＡＢ＝ＡＦとなる点ＦをＡＥ上にとり、点ＦからＡＢに下ろした垂線の足Ｇが３等分点のひとつになります。方法４の辺の取り方の変更です。
方法８ＡＢの両端が、30°、90°の直角三角形ＡＢＣを描くと、∠ＡＣＢの二等分線とＡＢの交点Ｄが、３等分点のひとつになります。（説明） △ＡＢＣ、△ＣＢＤはともに、30°を含む直角三角形です。ＤＢ＝１とすると、ＢＣ＝√3、ＡＢ＝３となり、点Ｄは、ＡＢの３等分点になっています。
方法９ＡＢの両端が、30°、90°の直角三角形ＡＢＣを描くと、斜辺ＡＣの垂直二等分線と、ＡＢの交点Ｅが、３等分点のひとつになります。（説明） △ＡＢＣ、△ＡＤＥはともに、30°を含む直角三角形です。ＢＣ＝１とすると、ＡＢ＝√３。一方、ＡＣ＝２よりＡＤ＝１であり、ＡＥ＝２／√３＝２√３／３よって、ＡＥ＝（２／３）ＡＢとなり、点ＥはＡＢの３等分点になっています。
方法１０ＡＢ：ＡＣ＝√３：１の長さの線分ＡＣを取り、ＡＢと適当な角度で配置します。点Ｃから引いたＡＣの垂線と、ＣＢの垂直二等分線の交点をＥとし、中心Ｅ、半径ＣＥの円と、ＡＢの交点ＦがＡＢの３等分点のひとつになります。（説明）ＡＢ＝３とすると、ＡＣ＝√３方べきの定理より、ＡＣ2＝ＡＦ・ＡＢ √32＝３ＡＦよって、ＡＦ＝１となり、点Ｆは、ＡＢの３等分点になっています。
方法１１点ＡからＡＢの方向以外に半直線を引き、ＡＣ＝ＣＤ＝ＤＥとなる点Ｃ，Ｄ，Ｅをこの順に取ります。点Ｃを通って、ＢＥに平行な直線とＡＢとの交点Ｆが、３等分点のひとつになります。
方法１２方法１１と同じように、点Ｃ、Ｄ、Ｅを取り、ＢＥを結びます。ＢＥの中点と点Ａを結んだ線と、ＢＣの交点をＦとします。ＥＦの延長と、ＡＢの交点Ｇが、３等分点のひとつとなります。（説明）チェバの定理を使っています。
方法１３ＡＢと同方向でない、適当な線分ＡＣをとり、ＡＣの中点ＤとＢを結びます。ＢＤの中点をＥとし、ＣＥとＡＢの交点Ｆが、３等分点のひとつとなります。（説明）メネラウスの定理を使っています。
方法１４Ａを通り、ＡＢと同方向でない直線を引き、この直線上にＡＣ＝ＡＤとなる２点Ｃ、Ｄを、点Ａをはさんで両側に取ります。ＣＢの中点をＥとし、ＤＥとＡＢの交点Ｆが、ＡＢの３等分点のひとつになります。（説明）メネラウスの定理を使っています。
方法１５ＡＢとは同一直線上にない点Ｃをとり、Ｃから出る半直線ＣＡ，ＣＢを引きます。ＣＡ上のある点ＤからＡＢに平行に線分ＤＥを引きます。Ｄから、その直線上に等間隔に３つ点を取り、３つめを点Ｅとします。点ＥからＣＡに平行に引いた直線と、ＣＢの交点をＦとし、点Ｆを通って、ＡＢに平行な直線とＣＡとの交点をＧとすると、ＦＧはＤＥと同じ長さになります。ＦＧの三等分点のひとつと点Ｃを結び、ＡＢとの交点Ｈが、三等分点のひとつとなります。
方法１６方法１５で、半直線ＣＡ，ＣＢをＡおよびＢから出した場合です。
方法１７ＡＣ＝３ＡＢとなる点Ｃを、直線ＡＢ上のＢ側に取ります。ＡＢ＝ＡＤとなる線分ＡＤを、ＡＢとは違う方向に取ります。点ＤからＡＤに垂直に引いた直線と、ＣＤの垂直二等分線との交点をＦとし、中心Ｆ、半径ＦＤの円と、ＡＢとの交点Ｇが、三等分点のひとつになります。（説明）ＡＢ＝ＡＤ＝３とおくと、ＡＣ＝９方べきの定理より、ＡＤ2＝ＡＧ・ＡＣ９＝９ＡＧＡＧ＝１となり、ＧはＡＢの三等分点のひとつとなります。
方法１８ＡＢを１辺に持つ、適当な三角形ＡＢＣを作り、ＢＣの中点をＤ、ＡＣの中点をＥとし、ＡＤとＢＥの交点をＦとします。（Ｆは△ＡＢＣの重心です）点Ｆから、ＡＣに平行に引いた直線とＡＢとの交点Ｇが、ＡＢの三等分点のひとつになります。
方法１９Ａを中心に適当な半径の円を描き、Ｂを中心にその２倍の半径の円を描き、交点をＥとします。 ∠ＡＥＢの二等分線とＡＢとの交点Ｆが、ＡＢの三等分点のひとつになります。（説明）角の二等分線の定理より、ＡＦ：ＦＢ＝ＡＥ：ＥＢ＝１：２となります。
方法２０ＡＢ＝ＢＣとなる点ＣをＡＢのＢ側の延長上に取ります。点Ａ中心、半径ＡＢの円と、点Ｂ中心、半径ＡＢの半分の円との交点をＤとします。（ＡＤ：ＤＢ＝２：１になれば、どんな長さでも良いです）ＣＤの垂直二等分線と、ＢＣの交点をＦとし、点Ｆ中心、半径ＦＣの円とＡＢの交点をＧとすると、点ＧはＡＢの三等分点のひとつになります。（説明）アポロニウスの定理（アポロニウスの定理 2つの定点 A 、B からの距離の比 m : n (≠ 1) が一定であるような点 Pは、線分 AB を m : n に内分する点 C と外分する点 D を直径の両端とする定円周上にある。）より、ＡＧ：ＧＢ＝ＡＣ：ＣＢ＝２：１になります。
方法２１ＡＢ：ＢＣ＝√３：１となる線分ＢＣを引きます。点Ｂ中心、半径ＢＣの円と、ＡＢを直径とする円との交点をＤとし、ＤからＡＢに下ろした視線の足Ｅが、ＡＢの三等分点のひとつになります。（説明） △ＡＢＤは∠ＡＤＢ＝90°の直角三角形になります。ＡＢ＝√3 とすると、ＢＤ＝１。 △ＡＢＤにおける三平方の定理より、ＡＤ＝√2 △ＤＢＥ，△ＡＤＥは△ＡＢＤと相似な三角形なので、ＢＥ：ＥＤ＝ＥＤ：ＡＥ＝１：√2 よって、ＢＥ：ＡＥ＝１：２となります。

自然数の２乗和

を、図形的に証明します。

２乗和－１

上の図のように、１辺が１の立方体を、12個, 22個, 32個, 42個・・・と積んでいき、ｎ段までの個数（体積）

を計算します。

この立体を、下の図のように

・この立体を内包するｎ×ｎ×ｎの立方体の３頂点を通る平面

・その平面に平行で、辺１つ分ずらした平面

で、切ります。

２乗和－２

この切断により、各段の立体がどのように分けられるかを見ます。

２乗和－３

オレンジ色の部分は、すべての段を集めると、

ｎ×ｎ×ｎの立方体から切り出した、三角錐になります。

その体積は、ｎ3/６

青い部分は、オレンジ色の部分と同じものなので、体積はｎ3/６

黄色の部分は、１×１×１の立方体から、三角錐を２つ取り除いた立体（体積2/3）

で、上からｎ段目にはｎ個存在する。

緑の部分は、１×１×１の立方体から切り出される三角錐（体積 1/6）で、

上からｎ段目には２（ｎ－１）個存在する。

以上より、この立体の体積は、

ｎ3/６＋ｎ3/６＋2/3 × n(n+1)/2 ＋1/6 × n(n-1)＝(2n3+3n2+n)/6=n(n+1)(2n+1)/6

立方体から切り出した三角錐とは、

立方体の１つの頂点と隣り合う３つの頂点を通る平面で、

立方体を切るときに出来る、３つの直角二等辺三角形と、

１つの正三角形から出来る三角錐で、体積は、立方体の 1/6 となる。

ナポレオンの三角形

図のように△ＡＢＣの３辺の外側に正三角形ＡＢＤ、ＢＣＥ、ＡＣＦを作り、それぞれの正三角形の重心をＧ，Ｈ，Ｉとするとき、△ＧＨＩは正三角形となる。

ナポレオンの三角形（外側）

＜証明＞

△ＡＤＣと△ＡＧＩにおいて、

∠ＤＡＣ＝∠ＢＡＣ＋∠ＤＡＢ＝∠ＢＡＣ＋６０°

∠ＧＡＩ＝∠ＢＡＣ＋∠ＧＡＢ＋∠ＣＡＩ＝∠ＢＡＣ＋３０°＋３０°＝∠ＢＡＣ＋６０°

より、

∠ＤＡＣ＝∠ＧＡＩ・・・(1)

また、

ＡＧ＝ＡＤ／√３・・・(2)

ＡＩ＝ＡＣ／√３・・・(3)

(1)(2)(3) より、２辺の比とその挟む角が等しいので、

△ＡＤＣと△ＡＧＩは相似。

また、

∠ＤＡＧ＝３０°

より、ＧＩはＤＣを時計回りに３０°回転した位置にある。

△ＢＤＣと△ＢＧＨにおいて、

∠ＤＢＣ＝∠ＡＢＣ＋∠ＤＢＡ＝∠ＡＢＣ＋６０°

∠ＧＢＨ＝∠ＡＢＣ＋∠ＧＢＡ＋∠ＣＢＨ＝∠ＡＢＣ＋３０°＋３０°＝∠ＡＢＣ＋６０°

より、

∠ＤＢＣ＝∠ＧＢＨ・・・(4)

また、

ＢＧ＝ＢＤ／√３・・・(5)

ＢＨ＝ＢＣ／√３・・・(6)

(4)(5)(6) より、２辺の比とその挟む角が等しいので、

△ＢＤＣと△ＢＧＨは相似。

また、

∠ＤＢＧ＝３０°

より、ＧＨはＤＣを反時計回りに３０°回転した位置にある。

以上より、

ＧＩ＝ＧＨ

∠ＩＧＨ＝６０°

より、△ＧＨＩは正三角形である。

証明終

平方根の筆算

(a+b+c+d+・・・)2＝a2+2ab+b2+2(a+b)c+c2+2(a+b+c)d+d2+・・・・・・

を元にして、各位の数を決めていきます。

例として、３の平方根を計算します。

	一の位 1 を立て、12=1 を引きます。 1 をそのまま左に書きます。 1 の下に同じ数 1 を書き、足し算します。これが 2a にあたります。

	余りの 2 に 00 を付けます。左の 2 に対して (20+b)×b が 200 以下になる最大の b として 7 を立て、27×7=189 を 200 から引きます。次に、左の 2 の右に 7 を書いて、27 とし、これにさらに 7 を足します。（これが 2(a+b) にあたります）

	余りの 11 に 00 を付けます。小数第二位 3 を立て、343×3=1029 を 1100 から引きます。次に、左の 34 の右に 3 を書いて 343 とし、さらに 3 を足します。（これが 2(a+b+c) にあたります）

	余りの 71 に 00 を付けます。小数第三位 2 を立て、3462×2=6924 を 7100 から引きます。次に、左の 346 の右に 2 を書いて 3462 とし、さらに 2 を足します。以下、これのくり返しで、計算していきます。

立方根の筆算

を元にして、各位の数を決めていきます。

例として、３の立方根を計算します。

	一の位 1 を立て、13=1 を引きます。 3×12=3 を左に、3×1=3 を右に書きます。

	余りの 2 に 000、左の 3 に 00、右の 3 に 0 を付けます。 300×a と 30×a2 と a3 が 2000 以下になる最大の a として 4 を立て、300×4=1200、30×42=480、43=64 を 2000 から引きます。次に、右の 30 に (4×2=) 8 を掛けた 240（これが上式の 6ab にあたります）と 3×42=48 を左の 300 に足します。また、3×4=12 を右の 30 に足します。 ※このような足し算をせずに、3×142=588 3×14=42 をその都度計算しても良いでしょう。

	余りの 256 に 000、左の 588 に 00、右の42 に 0 を付けます。小数第二位 4 を立て、58800×4=235200、420×42=6720、43=64 を 256000 から引きます。次に、右の 420 に (4×2=) 8 を掛けた3360 と、3×42=48 を左の 58800 に足します。また、3×4=12 を右の 420 に足します。 ※上と同様に、3×1442=62208 3×144=432 を計算しても良いです。

	余りの 14016 に 000、62208 に 00、432 に 0 を付けます。小数第三位 2 を立て、6220800×2=12441600、4320×22=17280、 23=8 を 14016000 から引きます。次に、右の 4320 に (2×2=) 4 を掛けた17280 と、3×22=12 を左の 6220800 に足します。また、3×2=6 を右の 4320 に足します。 ※同様に、3×14422=6238092 3×1442=4326 を計算しても良いです。以下、これのくり返しで、計算していきます。

方法１ＡＢを１辺とする正方形を３つ図のように描きＡから対角線ＡＣを引き、ＡＢを含む正方形との交点をＤとし、ＤからＡＢに下ろした垂線の足Ｅが３等分点のひとつとなります。
方法２ＡＢを１辺とする正方形を６つ図のように描きＡから対角線ＡＣを引き、ＡＢを含む正方形との交点をＤとし、ＤからＡＢに下ろした垂線の足Ｅが３等分点のひとつとなります。
方法３ＡＢを１辺とする正方形を３つ図のように描き対角線ＣＤと、ＡＢの交点Ｅが３等分点のひとつになります。
方法４ＡＢを１辺とする正方形を図のように４つ描き、長さＢＣをＢＤの延長上に取り、ＡＥを結びます。ＡＢ＝ＡＦとなる点ＦをＡＥ上にとり、点ＦからＡＢに下ろした垂線の足Ｇが３等分点のひとつになります。（説明）ＡＢを１とすると、ＢＣは２√２となります。 △ＡＢＥにおける三平方の定理より、ＡＥ＝３となります。この上に長さ１のＡＦを取ることにより、1/3 の長さを作っています。
方法５ＡＢを１辺とする正方形を図のように３つ描き、長さＣＤをＣＥに取り、ＡＥを結びます。ＡＢ＝ＡＦとなる点ＦをＡＥ上にとり、点ＦからＡＢに下ろした垂線の足Ｇが３等分点のひとつになります。（説明）ＡＢを１とすると、ＣＤは√５となります。 △ＡＣＥにおける三平方の定理より、ＡＥ＝３となります。この上に長さ１のＡＦを取ることにより、2/3 の長さを作っています。
方法６ＡＢをＢ方向に２倍伸ばした点Ｄを取ります。中心Ａ、半径ＡＤの円と、ＢからＡＢに垂直に延ばした直線との交点をＥとし、ＡＥを結びます。ＡＢ＝ＡＦとなる点ＦをＡＥ上にとり、点ＦからＡＢに下ろした垂線の足Ｇが３等分点のひとつになります。方法４の辺の取り方の変更です。
方法７ＡＢのＢの方向に点Ｃ点ＤをＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤとなるように取ります。中心Ａ、半径ＡＤの円と、ＣからＡＢに垂直に延ばした直線との交点をＥとし、ＡＥを結びます。ＡＢ＝ＡＦとなる点ＦをＡＥ上にとり、点ＦからＡＢに下ろした垂線の足Ｇが３等分点のひとつになります。方法４の辺の取り方の変更です。
方法８ＡＢの両端が、30°、90°の直角三角形ＡＢＣを描くと、∠ＡＣＢの二等分線とＡＢの交点Ｄが、３等分点のひとつになります。（説明） △ＡＢＣ、△ＣＢＤはともに、30°を含む直角三角形です。ＤＢ＝１とすると、ＢＣ＝√3、ＡＢ＝３となり、点Ｄは、ＡＢの３等分点になっています。
方法９ＡＢの両端が、30°、90°の直角三角形ＡＢＣを描くと、斜辺ＡＣの垂直二等分線と、ＡＢの交点Ｅが、３等分点のひとつになります。（説明） △ＡＢＣ、△ＡＤＥはともに、30°を含む直角三角形です。ＢＣ＝１とすると、ＡＢ＝√３。一方、ＡＣ＝２よりＡＤ＝１であり、ＡＥ＝２／√３＝２√３／３よって、ＡＥ＝（２／３）ＡＢとなり、点ＥはＡＢの３等分点になっています。
方法１０ＡＢ：ＡＣ＝√３：１の長さの線分ＡＣを取り、ＡＢと適当な角度で配置します。点Ｃから引いたＡＣの垂線と、ＣＢの垂直二等分線の交点をＥとし、中心Ｅ、半径ＣＥの円と、ＡＢの交点ＦがＡＢの３等分点のひとつになります。（説明）ＡＢ＝３とすると、ＡＣ＝√３方べきの定理より、ＡＣ2＝ＡＦ・ＡＢ √32＝３ＡＦよって、ＡＦ＝１となり、点Ｆは、ＡＢの３等分点になっています。
方法１１点ＡからＡＢの方向以外に半直線を引き、ＡＣ＝ＣＤ＝ＤＥとなる点Ｃ，Ｄ，Ｅをこの順に取ります。点Ｃを通って、ＢＥに平行な直線とＡＢとの交点Ｆが、３等分点のひとつになります。
方法１２方法１１と同じように、点Ｃ、Ｄ、Ｅを取り、ＢＥを結びます。ＢＥの中点と点Ａを結んだ線と、ＢＣの交点をＦとします。ＥＦの延長と、ＡＢの交点Ｇが、３等分点のひとつとなります。（説明）チェバの定理を使っています。
方法１３ＡＢと同方向でない、適当な線分ＡＣをとり、ＡＣの中点ＤとＢを結びます。ＢＤの中点をＥとし、ＣＥとＡＢの交点Ｆが、３等分点のひとつとなります。（説明）メネラウスの定理を使っています。
方法１４Ａを通り、ＡＢと同方向でない直線を引き、この直線上にＡＣ＝ＡＤとなる２点Ｃ、Ｄを、点Ａをはさんで両側に取ります。ＣＢの中点をＥとし、ＤＥとＡＢの交点Ｆが、ＡＢの３等分点のひとつになります。（説明）メネラウスの定理を使っています。
方法１５ＡＢとは同一直線上にない点Ｃをとり、Ｃから出る半直線ＣＡ，ＣＢを引きます。ＣＡ上のある点ＤからＡＢに平行に線分ＤＥを引きます。Ｄから、その直線上に等間隔に３つ点を取り、３つめを点Ｅとします。点ＥからＣＡに平行に引いた直線と、ＣＢの交点をＦとし、点Ｆを通って、ＡＢに平行な直線とＣＡとの交点をＧとすると、ＦＧはＤＥと同じ長さになります。ＦＧの三等分点のひとつと点Ｃを結び、ＡＢとの交点Ｈが、三等分点のひとつとなります。
方法１６方法１５で、半直線ＣＡ，ＣＢをＡおよびＢから出した場合です。
方法１７ＡＣ＝３ＡＢとなる点Ｃを、直線ＡＢ上のＢ側に取ります。ＡＢ＝ＡＤとなる線分ＡＤを、ＡＢとは違う方向に取ります。点ＤからＡＤに垂直に引いた直線と、ＣＤの垂直二等分線との交点をＦとし、中心Ｆ、半径ＦＤの円と、ＡＢとの交点Ｇが、三等分点のひとつになります。（説明）ＡＢ＝ＡＤ＝３とおくと、ＡＣ＝９方べきの定理より、ＡＤ2＝ＡＧ・ＡＣ９＝９ＡＧＡＧ＝１となり、ＧはＡＢの三等分点のひとつとなります。
方法１８ＡＢを１辺に持つ、適当な三角形ＡＢＣを作り、ＢＣの中点をＤ、ＡＣの中点をＥとし、ＡＤとＢＥの交点をＦとします。（Ｆは△ＡＢＣの重心です）点Ｆから、ＡＣに平行に引いた直線とＡＢとの交点Ｇが、ＡＢの三等分点のひとつになります。
方法１９Ａを中心に適当な半径の円を描き、Ｂを中心にその２倍の半径の円を描き、交点をＥとします。 ∠ＡＥＢの二等分線とＡＢとの交点Ｆが、ＡＢの三等分点のひとつになります。（説明）角の二等分線の定理より、ＡＦ：ＦＢ＝ＡＥ：ＥＢ＝１：２となります。
方法２０ＡＢ＝ＢＣとなる点ＣをＡＢのＢ側の延長上に取ります。点Ａ中心、半径ＡＢの円と、点Ｂ中心、半径ＡＢの半分の円との交点をＤとします。（ＡＤ：ＤＢ＝２：１になれば、どんな長さでも良いです）ＣＤの垂直二等分線と、ＢＣの交点をＦとし、点Ｆ中心、半径ＦＣの円とＡＢの交点をＧとすると、点ＧはＡＢの三等分点のひとつになります。（説明）アポロニウスの定理（アポロニウスの定理 2つの定点 A 、B からの距離の比 m : n (≠ 1) が一定であるような点 Pは、線分 AB を m : n に内分する点 C と外分する点 D を直径の両端とする定円周上にある。）より、ＡＧ：ＧＢ＝ＡＣ：ＣＢ＝２：１になります。
方法２１ＡＢ：ＢＣ＝√３：１となる線分ＢＣを引きます。点Ｂ中心、半径ＢＣの円と、ＡＢを直径とする円との交点をＤとし、ＤからＡＢに下ろした視線の足Ｅが、ＡＢの三等分点のひとつになります。（説明） △ＡＢＤは∠ＡＤＢ＝90°の直角三角形になります。ＡＢ＝√3 とすると、ＢＤ＝１。 △ＡＢＤにおける三平方の定理より、ＡＤ＝√2 △ＤＢＥ，△ＡＤＥは△ＡＢＤと相似な三角形なので、ＢＥ：ＥＤ＝ＥＤ：ＡＥ＝１：√2 よって、ＢＥ：ＡＥ＝１：２となります。

	一の位 1 を立て、12=1 を引きます。 1 をそのまま左に書きます。 1 の下に同じ数 1 を書き、足し算します。これが 2a にあたります。

	余りの 2 に 00 を付けます。左の 2 に対して (20+b)×b が 200 以下になる最大の b として 7 を立て、27×7=189 を 200 から引きます。次に、左の 2 の右に 7 を書いて、27 とし、これにさらに 7 を足します。（これが 2(a+b) にあたります）

	余りの 11 に 00 を付けます。小数第二位 3 を立て、343×3=1029 を 1100 から引きます。次に、左の 34 の右に 3 を書いて 343 とし、さらに 3 を足します。（これが 2(a+b+c) にあたります）

	余りの 71 に 00 を付けます。小数第三位 2 を立て、3462×2=6924 を 7100 から引きます。次に、左の 346 の右に 2 を書いて 3462 とし、さらに 2 を足します。以下、これのくり返しで、計算していきます。

	一の位 1 を立て、13=1 を引きます。 3×12=3 を左に、3×1=3 を右に書きます。

	余りの 2 に 000、左の 3 に 00、右の 3 に 0 を付けます。 300×a と 30×a2 と a3 が 2000 以下になる最大の a として 4 を立て、300×4=1200、30×42=480、43=64 を 2000 から引きます。次に、右の 30 に (4×2=) 8 を掛けた 240（これが上式の 6ab にあたります）と 3×42=48 を左の 300 に足します。また、3×4=12 を右の 30 に足します。 ※このような足し算をせずに、3×142=588 3×14=42 をその都度計算しても良いでしょう。

	余りの 256 に 000、左の 588 に 00、右の42 に 0 を付けます。小数第二位 4 を立て、58800×4=235200、420×42=6720、43=64 を 256000 から引きます。次に、右の 420 に (4×2=) 8 を掛けた3360 と、3×42=48 を左の 58800 に足します。また、3×4=12 を右の 420 に足します。 ※上と同様に、3×1442=62208 3×144=432 を計算しても良いです。

	余りの 14016 に 000、62208 に 00、432 に 0 を付けます。小数第三位 2 を立て、6220800×2=12441600、4320×22=17280、 23=8 を 14016000 から引きます。次に、右の 4320 に (2×2=) 4 を掛けた17280 と、3×22=12 を左の 6220800 に足します。また、3×2=6 を右の 4320 に足します。 ※同様に、3×14422=6238092 3×1442=4326 を計算しても良いです。以下、これのくり返しで、計算していきます。