บทที่ 2                                                                                                                               ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

2.1 ฟังก์ชันไซน์และโคไซน์

เราจะศึกษาฟังก์ชันตรีโกณมิติโดยใช้ วงกลมหนึ่งหน่วย (The unit circle) ซึ่งวงกลมนี้เป็นกราฟของความสัมพันธ์  และมีลักษณะดังนี้

กำหนดให้  แทนระยะทางที่เริ่มต้นวัดจากจุด (1,0) ไปตามส่วนโค้งของวงกลมหนึ่งหน่วย ถึงยังจุด  ใด ๆ ที่อยู่บนส่วนโค้งของวงกลมหนึ่งหน่วยนั้น โดยที่มีข้อตกลงว่า

        ➢        ถ้า                 จะวัดในทิศทางทวนเข็มนาฬิกา

        ➢        ถ้า                 จะวัดในทิศทางตามเข็มนาฬิกา

        ➢        ถ้า                 จุดปลายส่วนโค้งคือ (1,0)

เราจะพบว่ามี  และ  ซึ่งสำหรับจำนวนจริง  ใด ๆ จะได้

                         และ                     …………        (1)

ข้อตกลง

        1)        เรียก ฟังก์ชัน  ว่า        ฟังก์ชันโคไซน์ (Cosine)

        2)        เรียก ฟังก์ชัน  ว่า        ฟังก์ชันไซน์ (Sine)

ดังนั้น จาก (1) ทำให้เราได้ว่า

เนื่องจาก  ดังนั้นเราจึงได้ว่า

                

        หมายเหตุ                 =   =  

2.2 ค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์

2.2.1  ค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ของจำนวนจริงบางจำนวน

        เนื่องจากความยาวเส้นรอบวงของวงกลม 1 หน่วย มีค่า  ดังนั้นเราได้

        1)        ถ้า    หน่วย         แล้วจุดปลายของส่วนโค้ง คือ         ……………………

        2)        ถ้า    หน่วย         แล้วจุดปลายของส่วนโค้ง คือ         ……………………

        3)        ถ้า    หน่วย         แล้วจุดปลายของส่วนโค้ง คือ         ……………………

        4)        ถ้า    หน่วย         แล้วจุดปลายของส่วนโค้ง คือ         ……………………

        5)        ถ้า    หน่วย         แล้วจุดปลายของส่วนโค้ง คือ         ……………………

        6)        ถ้า             หน่วย         แล้วจุดปลายของส่วนโค้ง คือ         ……………………

        7)        ถ้า             หน่วย         แล้วจุดปลายของส่วนโค้ง คือ         ……………………

        8)        ถ้า              หน่วย         แล้วจุดปลายของส่วนโค้ง คือ         ……………………

        9)        ถ้า            หน่วย         แล้วจุดปลายของส่วนโค้ง คือ         ……………………

        10)        ถ้า            หน่วย         แล้วจุดปลายของส่วนโค้ง คือ         ……………………

        เนื่องจาก  และ  ดังนั้น จึงได้ว่า

                

                1)                        =        …………….                                2)                        =        …………….

                3)                        =        …………….                                4)                        =        …………….

                5)                  =        …………….                                6)                        =        …………….

                7)                  =        …………….                                8)                        =        …………….

                9)                =        …………….                                10)                 =        …………….

                11)                =        …………….                                12)                 =        …………….

                13)         =        …………….                                14)          =        …………….

                15)         =        …………….                                16)          =        …………….

ในลำดับต่อไปเราจะหาจุดปลายของส่วนโค้ง  เมื่อกำหนด  เป็น ,  และ  รวมทั้ง  อื่น ๆ ที่สัมพันธ์กัน แต่อยู่ต่างจตุภาคกัน ดังนี้

  1. จุดปลายของส่วนโค้ง  เมื่อ  และ  ที่สัมพันธ์กับ  

1)        กำหนดให้

                        A          คือ         จุดปลายของส่วนโค้งซึ่งยาว                   หน่วย

                        B          คือ         จุดปลายของส่วนโค้งซึ่งยาว                    หน่วย

                        C         คือ         จุดปลายของส่วนโค้งซึ่งยาว                    หน่วย

                        D          คือ         จุดปลายของส่วนโค้งซึ่งยาว                    หน่วย

                ดังรูป

วงกลม 1 หน่วย

  1. จากรูปจะได้ว่า ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส และ ABD เป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

มุมฉาก  ดังนั้นโดยทฤษฎีบทพีทาโกรัสเราได้ว่า

                        AB2 + AD2        =        BD2                                        และ        

        3)        ผลจากข้อ 2) ทำให้เราสามารถสรุปได้ว่า

                (1)        ถ้า     หน่วย         แล้วจุดปลายของส่วนโค้ง คือ ……………………

                (2)        ถ้า   หน่วย         แล้วจุดปลายของส่วนโค้ง คือ ……………………

                (3)        ถ้า   หน่วย         แล้วจุดปลายของส่วนโค้ง คือ ……………………

                (4)        ถ้า   หน่วย         แล้วจุดปลายของส่วนโค้ง คือ ……………………

        4)        ผลจากข้อ 3) ทำให้เราสามารถสรุปได้ว่า

                (1)                        =        …………………..        (2)                =        …………………..        

                (3)                =        …………………..        (4)                =        …………………..        

                (5)                =        …………………..        (6)                =        …………………..        

                (7)                =        …………………..        (8)                =        …………………..        

                (9)                        =        ………………        (10)                =        ………………        

                (11)                =        ………………        (12)        =        ………………        

                (13)                =        ………………        (14)        =        ………………        

                (15)                =        ………………        (16)        =        ………………        

2.        จุดปลายของส่วนโค้ง  เมื่อ  และ  ที่สัมพันธ์กับ

1)        กำหนดให้

                        A          คือ         จุดปลายของส่วนโค้งซึ่งยาว                   หน่วย

                        B          คือ         จุดปลายของส่วนโค้งซึ่งยาว                    หน่วย

                        C         คือ         จุดปลายของส่วนโค้งซึ่งยาว                    หน่วย

                        D          คือ         จุดปลายของส่วนโค้งซึ่งยาว                    หน่วย

วงกลม 1 หน่วย

2)        เห็นชัดว่า AP = AD ดังนั้น เราจะได้ว่า

                

                        

                        

                        

                        

                        

                        

                        

                         และ                 [  อยู่ในจตุภาคที่ 1]                        

        3)        ผลจากข้อ 2) ทำให้เราสามารถสรุปได้ว่า

                (1)        ถ้า     หน่วย         แล้วจุดปลายของส่วนโค้ง คือ ……………………

                (2)        ถ้า   หน่วย         แล้วจุดปลายของส่วนโค้ง คือ ……………………

                (3)        ถ้า   หน่วย         แล้วจุดปลายของส่วนโค้ง คือ ……………………

                (4)        ถ้า   หน่วย         แล้วจุดปลายของส่วนโค้ง คือ ……………………

        4)        ผลจากข้อ 3) ทำให้เราสามารถสรุปได้ว่า

                (1)                                =                                                (2)                                =        

                (3)                        =                                                (4)                                =        

                (5)                        =                                                (6)                                =        

                (7)                        =                                                (8)                        =        

                (9)                        =                                                (10)                        =        

                (11)                =                                                (12)                =        

                (13)                =                                                (14)                =        

                (15)                =                                                (16)                =        

3.        จุดปลายของส่วนโค้ง  เมื่อ  และ  ที่สัมพันธ์กับ

1)        กำหนดให้

                        A          คือ         จุดปลายของส่วนโค้งซึ่งยาว                   หน่วย

                        B          คือ         จุดปลายของส่วนโค้งซึ่งยาว                    หน่วย

                        C         คือ         จุดปลายของส่วนโค้งซึ่งยาว                    หน่วย

                        D          คือ         จุดปลายของส่วนโค้งซึ่งยาว                    หน่วย

วงกลม 1 หน่วย

2)        เห็นชัดว่า AB = AP ดังนั้น เราจะได้ว่า

                

                        

                        

                        

                        

                        

                         และ                 [  อยู่ในจตุภาคที่ 1]        

        3)        ผลจากข้อ 2) ทำให้เราสามารถสรุปได้ว่า

                (1)        ถ้า     หน่วย         แล้วจุดปลายของส่วนโค้ง คือ ……………………

                (2)        ถ้า   หน่วย         แล้วจุดปลายของส่วนโค้ง คือ ……………………

                (3)        ถ้า   หน่วย         แล้วจุดปลายของส่วนโค้ง คือ ……………………

                (4)        ถ้า   หน่วย         แล้วจุดปลายของส่วนโค้ง คือ ……………………

        4)        ผลจากข้อ 3) ทำให้เราสามารถสรุปได้ว่า

                (1)                                =                                                (2)                                =        

                (3)                        =                                                (4)                                =        

                (5)                        =                                                (6)                                =        

                (7)                        =                                                (8)                                =        

                (9)                        =                                                (10)                        =        

                (11)                =                                                (12)                =        

                (13)                =                                                (14)                =        

                (15)                =                                                (16)                =        

แบบฝึกหัด

1. จงหาค่าของ  และ  เมื่อ  เป็นจำนวนจริงต่อไปนี้

ข้อ

กำหนดค่า

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

2. จงเขียนรูปวงกลมหนึ่งหน่วยและเขียนจุดปลายส่วนโค้งที่ยาว  หน่วย โดย  เป็น  และ  

ไว้ในรูปเดียวกัน พร้อมทั้งแสดงค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ของจำนวนเหล่านั้นไว้บนแกน Y และ

แกน X จากรูปที่ได้ จงหาค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ของจำนวนจริงต่อไปนี้

ข้อ

กำหนดค่า

1

2

3

4

5

6

7

8

3. จงบอกจำนวนจริงมา  มา 5 จำนวนที่ทำให้

        1)                                                                        2)        

……………………………………………………..                …………………………………………………...

……………………………………………………..                …………………………………………………...

        3)                                                                        4)        

……………………………………………………..                …………………………………………………...

……………………………………………………..                …………………………………………………...

        5)                                                                        6)        

……………………………………………………..                …………………………………………………...

……………………………………………………..                …………………………………………………...

        7)                                                                        8)        

……………………………………………………..                …………………………………………………...

……………………………………………………..                …………………………………………………...

4. จงหาค่าของ  และ  เมื่อ  เป็นจำนวนจริงต่อไปนี้

ข้อ

กำหนดค่า

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

5. มีจำนวนจริง  ใดหรือไม่ที่ทำให้  จงให้เหตุผล

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

 

2.2.2  ค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ของจำนวนจริงใด ๆ

        กำหนดให้จุด  เป็นจุดปลายของส่วนโค้งที่ยาว  หน่วย ดังนั้นจุด เป็นจุดปลายของส่วนโค้งที่ยาว  หน่วย ดังรูป

                                                                                                        จากรูป จะได้ว่า

                                                                                                                1)        

                                                                                                                2)        

                                                                                                                3)        

                                                                                                                4)        

        ดังนั้นเราสามารถสรุปเป็นกฎเกณฑ์ได้ดังนี้

ตัวอย่างที่ 1        จงหาค่าของ  และ

วิธีทำ        1)                        =        

                                                        =        

                2)                        =        

                                                        =                                                        ตอบ

ในกรณีที่  เราสามารถเขียน  เมื่อ  และ  เราได้กฎเกณฑ์ ดังนี้

ตัวอย่างที่ 2        จงหาค่าของ  และ

วิธีทำ        1)                        =        

                                                        =        

                                                        =        

                2)                =        

                                                        =        

                                                        =        

                                                        =                        =                =                        ตอบ

ในกรณีที่จุดปลายของส่วนโค้งที่ยาว  หน่วย ไม่ได้อยู่ในจตุภาคที่ 1 และ ถ้าเรากำหนดให้

ส่วนโค้ง PA มีความยาว  หน่วย โดยที่  ดังนั้นเราจะได้ต่อไปว่า

        ➢        ส่วนโค้ง PB มีความยาว  หน่วย

        ➢        ส่วนโค้ง PC มีความยาว  หน่วย

        ➢        ส่วนโค้ง PD มีความยาว  หน่วย

และเราจะได้กฎเกณฑ์ ดังนี้

ตัวอย่างที่ 3        ถ้า  และ  จงหาค่าของ  และ

วิธีทำ        1)                =        

                                                =        

                                                =        

                2)                =        

                                                =        

                                                =                                                        ตอบ

ตัวอย่างที่ 4        ถ้า  และ  จงหาค่าของ  และ

วิธีทำ        1)                =        

                                                =        

                                                =        

                2)                =        

                                                =        

                                                =                                                        ตอบ

ตัวอย่างที่ 5        จงหาค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ของ

วิธีทำ        1)                =                        =                =        

                2)                =                        =                        =                                ตอบ

แบบฝึกหัด

1. ถ้า  จงหาว่าจุดปลายส่วนโค้งที่ยาว  หน่วย จะอยู่ในควอดรันต์ใดได้บ้าง

        ตอบ        ……………………………………………………………………………………………

2. ถ้า  จงหาว่าจุดปลายส่วนโค้งที่ยาว  หน่วย จะอยู่ในควอดรันต์ใดได้บ้าง

        ตอบ        ……………………………………………………………………………………………

3. ถ้า  จงหาค่า  เมื่อ

        ตอบ        ……………………………………………………………………………………………

4. จงเขียนค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ของจำนวนจริงต่อไปนี้ให้อยู่ในรูปค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ของจำนวนจริงที่มีค่าตั้งแต่ 0 ถึง

        1)                        =                                                        =        

                                                =                                                                                =        

        2)                        =                                                                                =

                                                =                                                                                                =

        3)                        =                                                                                =

                                                =                                                                                                =

        4)                        =                                                                                =

                                                =                                                                                                =

        5)                        =                                                                                =

                                                =                                                                                                =

        6)                =                                                                        =

                                                =                                                                                                =

5. กำหนดให้  และ  จงหาค่าของ

        1)                                                          2)                =        

                                                                                                  =        

                                          

                                          

                                          

                                                

        3)                  =                                                                        4)                =        

        

                                                

        5)          =                                                                        6)        =        

        

6. กำหนดให้  จงหาค่าของ

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

7. จงพิจารณาแต่ละข้อต่อไปนี้ว่าเป็นจริงหรือเท็จ

        1)                        เมื่อ                

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

        2)                        เมื่อ        

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

3)                        เมื่อ  หรือ

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

2.3 ฟังก์ชันตรีโกณมิติอื่น ๆ

นอกจากฟังก์ชันไซน์และฟังก์ชันโคไซน์ดังกล่าวแล้วยังมีฟังก์ชันตรีโกณมิติอื่น ๆ อีก ดังนี้

        ➢        ฟังก์ชันแทนเจนต์ (Tangent)                เขียนแทนด้วย                 tan

        ➢        ฟังก์ชันซีแคนต์ (Secant)                         เขียนแทนด้วย                 sec

        ➢        ฟังก์ชันโคซีแคนต์ (Cosecant)        เขียนแทนด้วย                 cosec        หรือ        csc

        ➢        ฟังก์ชันโคแทนเจนต์ (Cotangent)        เขียนแทนด้วย                 cot

เรานิยามค่าของฟังก์ชันข้างต้นนี้ โดยอาศัยค่าของฟังก์ชันไซน์และฟังก์ชันโคไซน์ ดังนี้

จากค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติข้างต้น อาจหาความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันตรีโกณมิติต่าง ๆ ดังนี้

        ความสัมพันธ์ข้างต้น แสดงการพิสูจน์ได้ดังนี้

1)         =                        [บทนิยาม]

        =        

        =                        เมื่อ

2)                                 

                                                        

                                                                                เมื่อ                

3)                         

                                                        

                                                                        เมื่อ                        

        ตัวอย่างที่ 1        จงหาค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติทุกฟังก์ชันของ

วิธีทำ        เพราะว่า   =          และ    =          ดังนั้นเราจึงได้ว่า

                        1)                        =                                

                                                        =                

                        2)                        =                                

                                                        =                2

                        3)                =                                

                                                        =                

                        4)                        =                                

                                                        =                                                        ตอบ

        ตัวอย่างที่ 2        จงหาค่าของ  และ  

วิธีทำ        1)                =        

                                        =        

                                        =        

                2)                =        

                                        =        

                                        =        

        ตัวอย่างที่ 3        จงหาค่าของ  และ  

วิธีทำ        เนื่องจาก          ดังนั้นจึงไม่นิยาม  และ 

                                                                                                                                                          ตอบ

        ตัวอย่างที่ 4        จงหาค่าของ  และ  

วิธีทำ        1)                =        

                                                =        

                                                =        

                                                =        

                                                =        

                2)                        =        

                                                =        

                                                =        

                                                =        

                                                =                                                                        ตอบ

        ตัวอย่างที่ 5        จงหาค่าของ  และ  

วิธีทำ        เนื่องจาก  ดังนั้นจึงไม่นิยาม  และ 

                                                                                                                                    ตอบ        

        ตัวอย่างที่ 6        จงหาค่าของ  

วิธีทำ                =        

                                                                                =        

                                                                                =        

                                                                                =        

                                                                                =        

                                                                                =                                                                ตอบ

แบบฝึกหัด

1. จงหาว่าจุดปลายส่วนโค้งที่ยาว  หน่วย จะอยู่ในควอดรันต์ใด เมื่อกำหนดให้

        1)         และ  เป็นจำนวนบวกทั้งคู่                                        ตอบ

        2)         เป็นจำนวนบวก และ  เป็นจำนวนลบ                        ตอบ

        3)         เป็นจำนวนบวก และ  เป็นจำนวนลบ                        ตอบ

        4)         และ  เป็นจำนวนลบทั้งคู่                                                ตอบ

2. จงหาค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติทุกฟังก์ชันของจำนวนต่อไปนี้

0

3. กำหนดให้  และ  จงหาค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติอื่น ๆ ของ

        1)                                                                2)                =        …………………………………

                                                                                                        ………………………………………………

                                                                                                        ………………………………………………

        3)                =        …………………………                4)                =        …………………………………

                ………………………………………                        ………………………………………………

                ………………………………………                        ………………………………………………

        5)          =  ………………………...                6)                =        …………………………………

                ………………………………………                        ………………………………………………

                ………………………………………                        ………………………………………………

4. กำหนดให้  และ  จงหาค่าของ

……………………………………………………………………………………………………………......

……………………………………………………………………………………………………………......

5. กำหนดให้  และ  จงหาค่าของ

……………………………………………………………………………………………………………......

……………………………………………………………………………………………………………......

……………………………………………………………………………………………………………......

6. จงหาค่าของ

        1)        

…………………………………………………                ………………………………………………………..

…………………………………………………                ………………………………………………………..

…………………………………………………                ………………………………………………………..

        2)        

…………………………………………………                ………………………………………………………..

…………………………………………………                ………………………………………………………..

…………………………………………………                ………………………………………………………..

        3)        

…………………………………………………                ………………………………………………………..

…………………………………………………                ………………………………………………………..

…………………………………………………                ………………………………………………………..

        4)        

…………………………………………………                ………………………………………………………..

…………………………………………………                ………………………………………………………..

…………………………………………………                ………………………………………………………..

        5)        

…………………………………………………                ………………………………………………………..

…………………………………………………                ………………………………………………………..

…………………………………………………                ………………………………………………………..

2.4 ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม

2.4.1 มุมและการวัดมุม

                                                                1)        เนื่องจาก วงกลมที่มีรัศมียาว  หน่วย จะมีเส้นรอบวงยาว

                                                                 หน่วย ดังนั้นมุมที่จุดศูนย์กลางของวงกลมซึ่งรองรับด้วย

                                                                ส่วนโค้งของวงกลมที่ยาว  หน่วย จึงมีขนาด  เรเดียน

                                                                2)        สำหรับมุมที่จุดศูนย์กลางของวงกลมที่มีรัศมียาว  หน่วย

                                                                ซึ่งรองรับด้วยส่วนโค้งของวงกลมที่ยาว  หน่วย จะมีขนาด

         เรเดียน และถ้าให้ขนาดของมุมดังกล่าวเป็น  เรเดียน เราก็จะได้ว่า

        หมายเหตุ        โดยทั่วไปการเขียนขนาดของมุมที่มีหน่วยเป็นเรเดียนมักจะไม่เขียนหน่วยกำกับไว้

ตัวอย่างที่ 1        จงเปลี่ยน  เรเดียน ให้เป็นองศา

วิธีทำ          เรเดียน                =        360        องศา                        1         เรเดียน                =                         องศา

                                                                                                         เรเดียน                =                 องศา

                                                                                                         เรเดียน                =                         องศา

                                                                                                         เรเดียน                        28.65                 องศา

                                                                                                         เรเดียน                                        

หมายเหตุ                =                และ                =        

ตัวอย่างที่ 2        จงเปลี่ยน  ให้เป็นเรเดียน

วิธีทำ         360 องศา        =         เรเดียน                                1         องศา        =                         เรเดียน

                                                                                                75         องศา        =                 เรเดียน

                                                                                                75         องศา        =                         เรเดียน

2.4.2 ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม

ตัวอย่างที่ 3        จงหาค่าของ

วิธีทำ                 =                          (  =  เรเดียน)

                                        =                          ตอบ

ตัวอย่างที่ 4        จงหาค่าของ

วิธีทำ                 =        

                                                =        

                                                =        

                                                =        

                                                =        

                                                =        

                                                =                                                ตอบ

2.4.3 ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

        ต่อไปนี้จะพิจารณาฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

        1)        กำหนดให้ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก โดยมีมุม C เป็นมุมฉาก ดังรูป

                        BC  ยาว                 หน่วย                

                        AC  ยาว                 หน่วย                

                        AB  ยาว                 หน่วย        

        

        2)        จากรูปจะได้ว่า

                        A        =        DE                และ        A        =        AE

        3)        เนื่องจาก ADE  ABC

                ดังนั้น                                

                                                                                

                                                                                                …………..        (i)

และ                                        

                                                                

                                                                                …………..        (ii)

จาก (i) และ (ii) ทำให้เราได้ว่า

                                        

                                                                                                …………..        (iii)

ตัวอย่างที่ 5        รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC มีมุม C เป็นมุมฉาก ด้าน AC ยาว 4 หน่วย และมุม A     มีขนาด 30 องศา จงหาความยาวของด้าน AB และ BC

วิธีทำ                                                                                1)                                         

                                                                                                                                                        

                                                                                        

                                                                                        2)                                        

                                                                                                                                                        

ตัวอย่างที่ 6        ถ้ามุม A เป็นมุมแหลม และ  จงหาค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม A

วิธีทำ                                                                                        โดย ทบ. พีทาโกรัส จะได้ AC =

                                                                                        ดังนั้น จะได้ว่า

                                                                                                1)        …………………………

                                                                                                2)        …………………………

                                                                                                3)        …………………………

                                                                                                4)        …………………………

                                                                                                5)        …………………………

ตัวอย่างที่ 7        ถ้ามุม A เป็นมุมแหลม และ  จงหาค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม

วิธีทำ                                                                                        โดย ทบ. พีทาโกรัส จะได้ AB =

                                                                                        ดังนั้น จะได้ว่า

                                                                                                1)        …………………………

                                                                                                2)        …………………………

                                                                                                3)        …………………………

                                                                                                4)        …………………………

                                                                                                5)        …………………………

แบบฝึกหัด

1. จงหาว่ามุมที่วัดเป็นเรเดียนต่อไปนี้แต่ละมุมมีขนาดกี่องศา

        1)                    เรเดียน        เท่ากับ         ……………         องศา

        2)                 เรเดียน        เท่ากับ         ……………         องศา

        3)                   เรเดียน        เท่ากับ         ……………         องศา

        4)                    เรเดียน        เท่ากับ         ……………         องศา

        5)              3         เรเดียน        เท่ากับ         ……………         องศา

2. จงหาขนาดของมุมต่อไปนี้ในหน่วยเรเดียน

        1)                               เท่ากับ         ……………         องศา

        2)                  เท่ากับ         ……………         องศา

        3)                             เท่ากับ         ……………         องศา

        4)                               เท่ากับ         ……………         องศา

        5)                             เท่ากับ         ……………         องศา

3. รูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่งมีมุมสองมุมมีขนาด  และ  เรเดียน จงหาขนาดของมุมที่เหลือ

ในหน่วยเรเดียน

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

4. จงหาค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติทุกฟังก์ชันของมุมต่อไปนี้

5. จงหาค่าของ

        1)                                        2)        

……………………………………………………….        …………………………………………………...

……………………………………………………….        …………………………………………………...

……………………………………………………….        …………………………………………………...

……………………………………………………….        …………………………………………………...

……………………………………………………….        …………………………………………………...

6. รูปสามเหลี่ยม ABC มีมุม C เป็นมุมฉาก ลากส่วนของเส้นตรงจาก C มาตั้งฉากกับด้าน AB ที่จุด D      

     ด้าน AC และ BC ยาว 10 และ 12 หน่วย ตามลำดับ จงหาค่าของ

        1)                =        ………………………                2)                =        ………………………

        3)                =        ………………………                4)                =        ………………………

        5)                =        ………………………                6)                =        ………………………

        7)        CD                =        ………………………                8)        DB                 =        ………………………

7. ถ้ามุม A เป็นมุมแหลม และ  จงหาค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติอื่น ๆ ของมุม A

1)        …………………………                        2)        …………………………

3)        …………………………                        4)        …………………………

5)        …………………………

8. มีจำนวนจริง  ใดหรือไม่ที่ทำให้

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

9. มีจำนวนจริง  ใดหรือไม่ซึ่ง  และ

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

10. กำหนดให้  และ  จงหาค่าของ

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

11. กำหนดให้  และ  จงหาค่าของ

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

12. กำหนดให้  และ  แล้ว  เท่ากับเท่าไร

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

2.5 การใช้ตารางค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ตัวอย่างที่ 1        ถ้า  จงหาค่า  ที่ทำให้

วิธีทำ        จากตารางแสดงค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

                                                            =                      0.4488

                                                                    =                      0.4500

                                                            =                      0.4514

                  

เนื่องจาก  ดังนั้น  และ                                 ตอบ

แบบฝึกหัด

1. ถ้า  เป็นมุมที่อยู่ในตำแหน่งมาตรฐาน จงบอกว่าด้านสิ้นสุดของมุมขนาด  ในแต่ละข้ออยู่ใน            

    ควอดรันต์ใด

        1)                                                 อยู่ในควอดรันต์         …………                

        2)                                         อยู่ในควอดรันต์         …………                

        3)                                                 อยู่ในควอดรันต์         …………                

        4)                                                 อยู่ในควอดรันต์         …………                

        5)                                         อยู่ในควอดรันต์         …………                

2. ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก มีมุม C เป็นมุมฉาก มุม A มีขนาด  และมีด้านตรงข้ามมุมฉากยาว

    10 เซนติเมตร จงหาความยาวของด้าน AC และด้าน BC

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

3. ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมที่มุม A มีขนาด  มุม C มีขนาด  ด้าน AB ยาว 5 เซนติเมตร จาก B ลาก

    ส่วนของเส้นตรงลงมาตั้งฉากกับด้าน AC ที่จุด P จงหาความยาวของด้าน

                                                                                                        1)        BP        =        ……………………………….                                                                                                         2)        BC        =        ……………………………….

                                                                                                        3)        AP        =        ……………………………….

                                                                                                        4)        PC        =        ……………………………….

                                                                                                        5)        AC        =        ……………………………….

4. ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมที่มุม A และ C มีขนาด  และ  ตามลำดับ ด้าน AB ยาว 6 เซนติเมตร      

    จงหาความยาวของด้าน

                                                                                                        1)        BC        =        ……………………………….                                                                                                         2)        CA        =        ……………………………….

5. จงหาความยาวของเส้นรอบรูปของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ซึ่งมีฐานยาว 40 นิ้ว และมุมที่ฐานมีขนาด

                                                                                ……………………………………………………………

                                                                                ……………………………………………………………

                                                                                ……………………………………………………………

                                                                                ……………………………………………………………

                                                                                ……………………………………………………………

                                                                                ……………………………………………………………

                                                                                ……………………………………………………………

6. ตึกสองหลังที่มีหลังคาเรียบตั้งอยู่ห่างกัน 60 ฟุต จากหลังคาของตึกที่เตี้ยกว่าซึ่งสูง 40 ฟุต มุมที่วัดจากหลังคาของตึกที่เตี้ยกว่าไปยังหลังคาของตึกที่สูงกว่ามีขนาด  ดังรูป จงหาความสูงของตึกที่สูงกว่า

                                                                                                …………………………………………………...

                                                                                                …………………………………………………...

                                                                                                …………………………………………………...

                                                                                                …………………………………………………...

                                                                                                …………………………………………………...

                                                                                                …………………………………………………...

                                                                                                …………………………………………………...

                                                                                                …………………………………………………...

                                                                                                …………………………………………………...

                                                                                                …………………………………………………...

7. แม่น้ำแห่งหนึ่งกว้าง 50 เมตร นักว่ายน้ำว่ายจากจุด A ของฝั่งหนึ่งไปยังจุด B ของอีกฝั่งหนึ่งตามเส้นทาง

    ดังรูป จงหาระยะทางที่นักว่ายน้ำว่ายข้ามฝั่ง

                                                                                                …………………………………………………...

                                                                                                …………………………………………………...

                                                                                                …………………………………………………...

                                                                                                …………………………………………………...

                                                                                                …………………………………………………...

                                                                                                …………………………………………………...

2.6 กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ตัวอย่างที่ 1        จงเขียนกราฟของ  และ  เมื่อ  ลงบนแกนเดียวกัน

วิธีทำ         

0

        จากกราฟ จะพบว่า

        1)        โดเมนของฟังก์ชันไซน์                คือ        …………………………………

        2)        เรนจ์ของฟังก์ชันไซน์                คือ        …………………………………

        3)        โดเมนของฟังก์ชันโคไซน์        คือ        …………………………………

        4)        เรนจ์ของฟังก์ชันโคไซน์                คือ        …………………………………

        5)        คาบของฟังก์ชันไซน์                เท่ากับ        …………………………………

        6)        คาบของฟังก์ชันโคไซน์        เท่ากับ        …………………………………

        7)        ฟังก์ชัน  มีแอมพลิจูด         เท่ากับ        ………………………..

        8)        ฟังก์ชัน  มีแอมพลิจูด         เท่ากับ        ………………………..

ตัวอย่างที่ 2        จงเขียนกราฟของฟังก์ชันต่อไปนี้ลงบนแกนเดียวกัน [GSP]

        (1)                                                        (2)        

(3)                                                         (4)        

ตัวอย่างที่ 3        จงเขียนกราฟของฟังก์ชันต่อไปนี้ลงบนแกนเดียวกัน [GSP]

        (1)                                                                (2)        

(3)                                                         (4)        

ตัวอย่างที่ 4        จงเขียนกราฟของฟังก์ชันต่อไปนี้ลงบนแกนเดียวกัน [GSP]

        (1)                                                        (2)        

(3)                                                         (4)        

ตัวอย่างที่ 5        จงเขียนกราฟของฟังก์ชันต่อไปนี้ลงบนแกนเดียวกัน [GSP]

        (1)                                                                (2)        

(3)                                                         (4)        

ตัวอย่างที่ 6        จงเขียนกราฟของ  เมื่อ  [GSP]

แบบฝึกหัด

1. จงหาแอมพลิจูดและคาบของฟังก์ชันตรีโกณมิติต่อไปนี้

ฟังก์ชันตรีโกณ

Plot Graph

Amplitude

Period

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

2. จงร่างกราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติต่อไปนี้

        

        1)                                                                        2)        

        3)                                                                4)        

        5)                                                                6)        

        7)                                                                8)        

2.7 ฟังก์ชันตรีโกณมิติของผลบวกและผลต่างของจำนวนจริงหรือมุม

ในหัวข้อนี้เราจะเริ่มจากการพิจารณาค่าของฟังก์ชันโคไซน์ของผลต่างของจำนวนจริงสองจำนวนหรือมุมสองมุม นั่นคือพิจารณาค่าของ  เมื่อ  เป็นจำนวนจริงหรือมุมใด ๆ

จากรูป กำหนดให้

1)        ส่วนโค้ง           มีความยาว                หน่วย

2)        ส่วนโค้ง           มีความยาว                หน่วย

        3)        ให้  เป็นจุดบนวงกลมหนึ่งหน่วยที่ทำให้ความยาวของส่วนโค้ง  เท่ากับ

                ดังนั้น  คือ จุดปลายของส่วนโค้งที่มีความยาว  หน่วย

        4)                                                

                                                                        

        ดังนั้นเราได้

                                                                                                                                        …………        (i)

ต่อไปพิจารณา        

        1)                =        

                                                =        

                                                =        

                                                                                                                                        …………        (ii)

        

        2)                  =        

                                                =        

                                                                                                                                        …………        (iii)

        

        3)                   =        

                                        =        

                                        =        

                                                                                                                                        …………        (iii)

        

        4)                        =                                (จาก (ii))

                                                =        

                                                =        

                                                                                                                                        …………        (iv)

5)                        =        

                                        =        

                                        =        

                                                                                                                        …………        (v)

6)

Note:         การพิสูจน์ละไว้เป็นแบบฝึกหัดสำหรับนักเรียน

ตัวอย่างที่ 1        จงหาค่าของ

ตัวอย่างที่ 2        จงหาค่าของ 

ตัวอย่างที่ 3        จงหาค่าของ

        1)                                                                                2)        

ตัวอย่างที่ 4        จงหาค่าของ

ตัวอย่างที่ 5        จงแสดงว่า

ตัวอย่างที่ 6        กำหนด          เมื่อ  และ  เมื่อ

        จงหาค่าของ

                (1)                                                                        (2)        

                (3)                                                        (4)        

ตัวอย่างที่ 7        จงหาค่าของ

ตัวอย่างที่ 8        จงหาค่าของ

ต่อไปพิจารณาค่าของ

7)          =        

                        =        

                        =        

        ดังนั้น

8)                     =        

                              =        

                              =        

        เนื่องจาก   ดังนั้น เราจึงได้ต่อไปว่า

9)          =        

                         =        

                         =        

ตัวอย่างที่ 9        กำหนดให้  และ  จงหาค่าของ

        1)                                                2)                                                        3)        

ตัวอย่างที่ 10  จงแสดงว่า

ตัวอย่างที่ 11  จงเขียน  ในรูปของ

แบบฝึกหัด

1. จงใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติของผลบวกและผลต่างของจำนวนจริงหรือมุมหาค่าต่อไปนี้

        1)                                                                2)        

        3)                                                                        4)        

        5)                                                                        6)        

        7)                                                                                8)        

        9)                                                                        10)        

        11)                                                                        12)        

        13)                                                                        14)        

2. จงหาค่าของ

3. จงหาค่าของ

4. จงหาค่าต่อไปนี้

        1)                        2)        

        3)                                                4)        

        5)        

2.8 ตัวผกผันของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

เนื่องจากฟังก์ชันตรีโกณมิติไม่เป็นฟังก์ชัน 1-1 ดังนั้นตัวผกผันของฟังก์ชันตรีโกณมิติจึงไม่เป็นฟังก์ชัน แต่ถ้ากำหนดโดเมนของฟังก์ชันตรีโกณมิติให้เหมาะสมจะพบว่า ตัวผกผันของฟังก์ชันตรีโกณมิติจะเป็นฟังก์ชัน

ตัวผกผันของฟังก์ชันไซน์ คือ ฟังก์ชัน arcsine นิยามดังนี้

                                        

                                                                        

                                                                                เมื่อ  

        พิจารณา กราฟของฟังก์ชัน

                 และ

        จากกราฟ จะได้ว่า

                1)        โดเมนของฟังก์ชัน arcsine         คือ                [-1,1]

                2)        เรนจ์ของฟังก์ชัน arcsine                 คือ                

        การหาค่าของฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันตรีโกณมิติ ทำได้ดังนี้

ตัวอย่างที่ 1        จงหาค่าของ

วิธีทำ                                                        เมื่อ                

                                                                        

                                                                                        ตอบ

ตัวอย่างที่ 2        จงหาค่าของ

วิธีทำ                                         เมื่อ                

                                                                 

                                                                                                 ตอบ

ตัวอย่างที่ 3        จงหาค่าของ

วิธีทำ                                         เมื่อ                

                                                                         

                                                                                         ตอบ

◼        ตัวผกผันของฟังก์ชันโคไซน์

ตัวผกผันของฟังก์ชันโคไซน์ คือ ฟังก์ชัน arccosine นิยามดังนี้

                                                

                                                                        

                                                                                เมื่อ  

        พิจารณา กราฟของฟังก์ชัน

                 และ

        จากกราฟ จะได้ว่า

                1)        โดเมนของฟังก์ชัน arccos         คือ                [-1,1]

                2)        เรนจ์ของฟังก์ชัน arccos                 คือ                

        การหาค่าของฟังก์ชัน arccosine ทำได้ดังนี้

ตัวอย่างที่ 4        จงหาค่าของ

วิธีทำ                                         เมื่อ                

                                                                 

                                                                                                 ตอบ

ตัวอย่างที่ 5        จงหาค่าของ

วิธีทำ                                         เมื่อ                

                                                                 

                                                                                 ตอบ

◼        ตัวผกผันของฟังก์ชันแทนเจนต์

        ตัวผกผันของฟังก์ชันแทนเจนต์ คือ ฟังก์ชัน arctangent นิยามดังนี้