HIMPUNAN

Definisi :

Himpunan adalah kumpulan dari objek-objek, yang disebut elemen atau anggota himpunan, dan terdefinisi dengan jelas. Maksud dari terdefinisi dengan jelas adalah bahwa anggota-anggota himpunan dapat ditentukan secara jelas.

Suatu himpunan dapat ditulis dengan lambang kurung kurawal pembuka ({ ) dan diakhiri dengan kurung kurawal penutup( } ). Himpunan selalu di beri nama dengan huruf kapital (huruf besar). Unsur-unsur yang termasuk dalam objek himpunan ditulis diantara tanda kurung kurawal.

Anggota suatu himpunan ditulis dengan menggunakan simbol “∈”. Sedangkan yang bukan dilambangkan dengan ∉.

• Cara menyatakan suatu himpunan :

1. dengan kalimat

contoh : A = { semua bilangan genap positif }

2. dengan cara mendaftar

contoh : A = { 2,4,6,8,10,..... }

3. dengan notasi pembentuk himpunan.

Contoh : A = { x|x ∈ semua bilangan genap positif }

1. Himpunan kosong adalah suatu himpunan yang tidak memiliki anggota sama sekali. Himpunan kosong dilambangkan dengan tanda {} atau ∅.

Contohnya :

B = {bilangan genap antara 2 dan 4}. ditulis B={} atau B=∅

2. Himpunan equal/himpunan sama adalah himpunan yang anggotanya sama.

Contohnya :

A= {b,c,d}

B={d,c,b}

A=B

3. Himpunan ekuivalen adalah himpunan-himpunan yang jumlah anggotanya sama untuk himpunan berhingga atau berkorespondensi satu-satu untuk himpunan tak berhingga. Dilambangkan tanda “∞”.

Contohnya :

A= {b,c,d}

B={d,c,b}

A∞B

4. Himpunan semesta adalah himpunan dari semua unsur yang sedang dibicarakan. Himpunan semesta juga disebut himpunan uiversal dan ditulisCiri-ciri himpunan :

1. Adanya benda yang merupakan suatu anggota himpunan
2. Adanya sejumlah unsur pembentuk himpunan
3. Adanya unsur yang bukan termasuk anggota himpunan.

• JENIS-JENIS HIMPUNAN

1. himpunan berhingga adalah suatu himpunan yang jumlah anggotanya dapat dihitung.

Contohnya:

D = {bilangan genap kurang dari 10}

A = {2,4,6,8}.

Himpunan D jumlah angotanya dapat dihitung yaitu sebanyak 4 buah.

2. Himpunan tak hingga adalah suatu himpunan yang jumlah anggotanya tidak terbatas atau tak hingga. Contohnya:

A = {bilangan genap},

B = {bilangan ganjil}

A = { 2, 4, 6, 8,....... }

B = { 1, 3, 5, 7,....... }

5.  dengan huruf S.

Contohnya:

A = {1,3,5,7,9}

himpunan semestanya berupa:

S = {bilangan asli}

S = {bilangan cacah}

S = {bilangan ganjil kurang dari 10}

6. Himpunan bagian adalah apabila setiap unsur dalam himpunan B termasuk juga anggota A, maka B merupakan bagian dari himpunan A, dilambangkan dengan tanda “⊂” ( subset ) kebalikannya adalah “⊃” ( superset )

Contohnya :

B = {a,c,e}

A = {a,b,c,d,e}

Jadi, B ⊂ A atau A ⊃ B

7. Himpunan lepas adalah suatu himpunan yang tidak mempunyai anggota persekutuan dengan himpunan lain.

Contohnya :

A = {d,e,f}

B = {g,h,i}

maka A // B

• OPERASI  PADA  HIMPUNAN

1. Irisan

Irisan adalah dua himpunan yang bagian-bagiannya menjadi anggota dari keduanya, dilambangkan dengan tanda ”∩”

Contohnya: Irisan himpunan A dan B

A ∩ B = { x | x A dan B }

Jika A = { 2, 7, 9, 11 }

Jika B = { 1, 5, 9, 10}

Maka A ∩ B = 9

2. Gabungan

Gabungan adalah dua himpunan yang anggotanya hanya bilangan itu saja misalnya anggota bilangan A saja, anggota bilangan B saja dan anggota A, B keduanya, dilambangkan dengan tanda “∪”

Contohnya: A ∪ B = {x| x ∈A, atau x ∈B}

Jika A = { 5, 7, 9, 11 )

Jika B = { 6, 7, 8, 9, 10 }

A ∪ B = { 5, 6, 7, 8, 9 10, 11 }

3. Komplemen ( complement )

Komplemen himpunan A adalah himpunan semua elemen yang menjadi anggota U dan tidak menjadi anggota A. Komplemen dari suatu himpunan A dilambangkan dengan A´ dibaca bukan A atau komplemen A, jika dituliskan dengan notasi pembentukan himpunan maka A´ = { x|x ∈ U dan x ∉ A }

Contohnya :

U = { 1, 2, 3, ..., 9 }

A = { 1, 3, 7, 9 }

Maka A´ = { 2, 4, 5, 6, 8 }

4. Selisih

Selisih antar dua himpunan A dan B dilambangkan dengan A – B adalah himpunan semua anggota yang menjadi anggota A dan tidak menjadi anggota B. Jika dinyatakan dengan notasi pembentuk himpunan maka :

A – B = { x | x ∈ A dan x ∉ B }

Contohnya :

A = { 1, 3, 7, 9 }

B = { 1, 3, 4 }

Maka A – B = { 7, 9 }

• SIFAT-SIFAT OPERASI HIMPUNAN

Komutatif

Irisan

Berlaku   : A ∩ B = B ∩ A

Gabungan

Berlaku : A ∪ B = B ∪ A

Asosiatif

Irisan tiga himpunan

A ∩ B) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C)

Gabungan tiga himpunan

A ∪ B) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C)

Distributif

Irisan

A ∩ ( B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

Gabungan,

A ∪ ( B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)