SEGUNDO CICLO

Unidad 1: Funciones lineales, ecuaciones e inecuaciones

Capítulo 2: Función Lineal o de Primer grado

Recomendaciones

Revisa la Unidad N° 6 del material para el primer ciclo para ver los conceptos básicos de la función lineal y su representación gráfica mediante tabla de valores. Durante este ciclo nos concentramos en los conceptos de ordenada al origen, pendiente, paralelismo y perpendicularidad, como hallar la pendiente de una recta dados dos puntos y encontrar la raíz o cero de una función lineal.

Forma General o Polinómica y = ax + b o f(x) = ax + b

Repasemos, el concepto de función lineal proviene de la representación gráfica que resulta una línea recta. Es de primer grado porque el exponente de la variable independiente es uno. En dicha forma y es La variable dependiente, x la variable independiente, b recibe el nombre de término independiente, a es el coeficiente del término lineal o de primer grado. La única restricción es que a debe ser distinto de cero, caso contrario anula el término lineal o de primer grado.

Concepto de ordenada al origen

En la representación gráfica anterior se han dibujado dos funciones lineales cualquiera de la forma f(x) = ax + b se ha destacado el punto de intersección de cada una con el eje de ordenadas y. Esto no es casual toda función lineal intersecta al eje de las ordenadas en el punto de coordenadas (0 ; b), esto es así porque la coordenada x=0 es justamente la coordenada horizontal del eje de las ordenadas y.

Por otra parte en la forma general asignar el valor cero a x implica anular el término lineal, en otros términos f(0)=b. En efecto f(0)=0+b, luego observamos que en ambos casos el valor de b es la distancia al origen del sistema de coordenadas, de allí deviene para b el concepto de ordenada al origen.

En consecuencia conocido el valor de b que no es otra cosa que el término independiente, conocemos un punto de la recta y este es justamente el valor de la ordenada al origen del sistema.

En síntesis, b que lo conocemos como término independiente es también el valor de la ordenada al origen de la función. A continuación cuatro ejemplos.

Concepto de pendiente

Analicemos el gráfico, hemos dibujado dos funciones lineales de la forma f(x)=ax+b.

Sobre la recta dibujada con trazo azul al pasar del punto b al punto p ambos sobre la misma recta se produce un desplazamiento horizontal paralelo al eje de las abscisas x al cual denotamos como ∆x hasta llegar a la coordenada horizontal de p. A partir de este punto se produce un desplazamiento vertical paralelo al eje de las ordenadas y al cual denotamos como ∆y.

Puede observarse que pasar de b a p constituye un salto positivo horizontal y un salto positivo vertical luego el cociente ∆y / ∆x es positivo. Si por el contrario consideramos pasar del punto p al b ocurre un salto negativo vertical y un salto negativo horizontal, luego el cociente ∆y /∆x también es positivo, esta situación se da siempre que la función f(x)=ax+b es creciente, el valor de la pendiente es positivo.

Sobre la recta dibujada con trazo rojo al pasar del punto b’ al punto q observamos desplazamientos similares, aunque en este caso el desplazamiento es negativo horizontal y positivo vertical luego el cociente ∆y / ∆x será negativo. Si analizamos el cociente pasando de q a b’ se da un desplazamiento negativo vertical y positivo horizontal, nuevamente el cociente ∆y / ∆x es negativo. esta situación se verifica siempre que la función f(x)=ax+b’ es decreciente el valor de la pendiente es negativo.

En general, desplazarse de un punto a otro en una recta produce un cociente ∆y / ∆x que sean cuales sean dichos puntos siempre será el mismo valor, es decir es una constante, además ese cociente es igual al valor de a en la función por tal razón se denomina pendiente de la recta al valor de a.

siempre ∆y / ∆x = a

Por otra parte, si el valor de a es positivo (a>0) se dice que la pendiente es positiva y la función creciente. Si en cambio el valor de a es negativo (a<0) se dice que la pendiente es negativa y la función será decreciente.

Puede considerarse pasar del punto b al punto p que a medida que los valores de x crecen (van hacia la derecha) y también crece (va hacia arriba), ambas variables crecen la función es creciente y la pendiente positiva. En el caso de b’ a q se observa que a medida que x decrece (va hacia la izquierda) y crece (va hacia arriba), una variable crece la otra decrece, la función es decreciente y la pendiente negativa.

Gráfica de funciones lineales a partir de la ordenada al origen y la pendiente

Durante el primer ciclo aprendimos a representar gráficamente funciones lineales mediante tabla de valores. Conociendo los conceptos de ordenada al origen y pendiente veremos que no es necesario recurrir a tablas.

En efecto, sabemos que la ordenada al origen es el punto de intersección de la función con el eje de las ordenadas, de manera que sabiendo cual es la ordenada al origen de una función, que es el término independiente, conocemos un punto de la gráfica de la función.

Por ejemplo en la función y = 3x + 2 el término independiente es 2 luego este es el valor de la ordenada al origen en consecuencia la función cortará al eje vertical en 2.

A partir de dicho punto, sabemos que la pendiente, valor del coeficiente del término de primer grado, o valor de a en la forma polinómica o general, estaremos en condiciones de graficar la pendiente. Continuemos con el ejemplo anterior para completar la gráfica de la función. A partir de la ordenada al origen podemos graficar la pendiente que en este caso es igual a 3, significa que ∆y/∆x=3/1=3 en otras palabras un desplazamiento vertical de 3 y un desplazamiento horizontal de 1. Veamos esto en la representación gráfica a continuación.

Paralelismo y Perpendicularidad

Dos rectas que tienen la misma pendiente resultan ser paralelas

Si la pendiente de una recta es a entonces cualquier recta de pendiente -1/a resulta perpendicular a esta. Se dice que tienen pendientes recíprocas y opuestas.

Ejemplos: Las rectas ; son paralelas. Igual resultan las rectas; el paralelismo se nota de la siguiente forma y∥ z se lee y es paralela a z.

Las rectas ; resultan perpendiculares. Igual resultan ; la perpendicularidad se nota de la siguiente forma y⊥z se lee y es perpendicular a z.

Debe tenerse en cuenta que para evaluar si una recta es paralela o perpendicular a otra sólo debe considerarse la relación de sus pendientes y que el valor de la ordenada al origen no cuenta para nada en esta relación.

Problemas ejemplo de paralelismo y perpendicularidad

Hallar la ecuación de la recta paralela a que pasa por el punto
Hallar la ecuación de la recta paralela a que pasa por el punto
Hallar la ecuación de la recta perpendicular a cuya ordenada al origen es 7.
Hallar la ecuación de la recta perpendicular a que pasa por el punto .

Soluciones a los problemas ejemplo de paralelismo y perpendicularidad

Llamemos z a la recta que buscamos, en todos los casos será de ecuación de la cual nos interesa averiguar los valores de a y de b

Por ser paralela a tiene la misma pendiente
en consecuencia dicha pendiente es de tal forma
además z pasa por el punto coordenadas es decir coordenada de la ordenada al origen que es el valor de b que nos falta.
En consecuencia
Por ser paralela a tiene la misma pendiente en consecuencia dicha pendiente es de tal forma , (i)
además z pasa por el punto coordenadas
Reemplazando en (i) las coordenadas del punto conocido resulta
, o bien ,
Depejando y finalmente
En consecuencia
Por ser perpendicular a la pendiente de z es inversa y de signo contrario por tanto
Además conocemos que la ordenada al origen es 7 en consecuencia

Por ser perpendicular a la pendiente es inversa y de signo contrario
por lo tanto (i)
Por otra parte z pasa por el punto coordenadas
Reemplazando en (i) las coordenadas del punto conocido nos queda
luego despejando
Finalmente y en consecuencia

Dominio, Imagen, raiz, positividad y negatividad

Tengamos en mente la forma polinómica o bien

Dominio

El dominio de una función es el conjunto de valores posibles que puede asumir la variable independiente x que permite obtener un valor de y. Hemos visto, cuando usamos tablas de valores, que cualquier valor que asignamos a x permite obtener un valor de y, es decir que cualquier número real en x permite obtener un valor de y por lo tanto el dominio de la función es todo el conjunto de los número reales. En símbolos

Las notaciones anteriores se leen Dominio de efe de equis es igual al conjunto de los número reales y en el segundo caso, Dominio de efe de equis es el conjunto de los elemento x que pertenecen al conjunto de los número reales tales que equis es mayor que menos infinito y menor que más infinito.

Imagen

El conjunto imagen de una función son todos los valores posibles que asume la variable dependiente y. Según vimos asignando cualquier valor real a obtenemos un valor de y este también es real por lo tanto el conjunto imagen de toda función lineal es el conjunto de los número reales es decir.

Raíz

La raíz o cero de función es el valor de x para el cual la función se hace igual a cero, es decir que cumple con la igualdad

No es más que una ecuación en la cual debemos obtener el valor de x, despejando obtenemos

Es la fórmula que permite obtener el valor de la raíz de una función lineal o de primer grado.

Para ejemplificar encontramos la raíz de la siguiente función lineal

Igualamos la ecuación a cero

pasamos el término -2 al primer miembro

pasamos el factor 3 como divisor al primer miembro y queda

este es la raíz o cero de la función lineal

Veamos otro ejemplo

Sea la función lineal

identifiquemos los valores de a y de b según la forma polinómica

de acuerdo a dicha forma la raíz resulta ser

reemplazamos los valores de a y b en dicha igualdad y nos queda

Interpretación gráfica de la raíz

Observemos las funciones

De acuerdo a lo que hemos visto, para la raíz es

En la otra función la raíz esta dada por

Si observamos ambas gráficas vemos que la primer función corta al eje horizontal de las abscisas en x=-1, mientras que la segunda corta a dicho eje en x=3, justamente el valor de las raíces. En síntesis vemos que la raíz es el valor de la abscisa que hace que la función sea nula (valga cero) y gráficamente es el valor donde la función corta al eje horizontal o de las abscisas.

Intervalos de positividad y negatividad en funciones lineales

Una función es negativa en un intervalo cuando para todos los valores de x en dicho intervalo la función f(x) resulta negativa, mientras que es positiva si para todos los valores del intervalo la función f(x) es positiva.

Por tratarse de una recta, la cual puede ser creciente o decreciente, el valor de la raíz que es el punto donde la función corta al eje de las abscisas, es el que determina los intervalos de positividad y negatividad.

Observa la ilustración de interpretación gráfica de la raíz anterior. Para la función que es creciente, la misma es negativa para todos los valores de y resulta positiva para todos los valores de por lo tanto, esta función tiene

de acuerdo a la notación de intervalos

En el caso de la función la cual es decreciente, la misma es positiva para todos los valores de x menores a 3 y resulta negativa para todos los valores de x mayores que 3 y por lo tanto, esta función tiene

de acuerdo a la notación de intervalos

Nota: La notación I+ e I- deben interpretarse como intervalo de positividad y negatividad respectivamente, aunque algunos autores prefieren la notación C+ y C-

Función lineal determinada por dos puntos

En este apartado vamos a ver como se obtiene la función lineal a partir de dos puntos conocidos. Para ello observemos la siguiente ilustración.

Se conocen el punto p de coordenadas (x1;y1) el punto q de coordenadas (x2;y2) y el punto r de coordenadas (x,y), podemos observar que la pendiente entre q y p es

la pendiente entre r y p es

dado que p, q y r pertenecen a la misma recta su pendiente es la misma, luego

Esta igualdad permite construir la ecuación de la recta a partir de dos puntos conocidos. despejando

luego nos queda (1)

Esta fórmula permite hallar la función en forma polinómica a partir de dos puntos conocidos de la misma.

Ahora recordemos que ∆y / ∆x = a entonces

Reemplazando obtenemos (2)

Esta fórmula permite hallar la función en forma polinómica conociendo su pendiente y un punto de la misma.

Ejemplos de ecuación de la recta dada por dos puntos

Encontrar la recta que pasa por los puntos (3;5) y (-2;2).
Encontrar la recta que pasa por los puntos (-5;-4) y (4;5).

Soluciones ejemplos de ecuación de la recta dada por dos puntos

1. Recurrimos a la fórmula

reemplazamos estos valores en la fórmula quedando

resolviendo

luego

finalmente

2. Igual que en el caso anterior recurrimos a

reemplazamos estos valores en la fórmula quedando

resolviendo

luego

Ejemplos de ecuación de la recta conocida su pendiente y un punto

Encontrar la recta de pendiente -⅖ que pasa por el punto (-3;4).
Encontrar la recta que pasa por el origen del sistema cuya pendiente es ¼
Encontrar la recta de ordenada al origen 6 cuya pendiente es -6.

Soluciones de ecuación de la recta conocida su pendiente y un punto

1. En este caso debemos recurrir a la fórmula

Reemplazamos los valores en la fórmula y nos queda

Resolviendo

finalmente

2. Volvemos a recurrir a la fórmula

en este caso dado que pasa por el origen

Reemplazando los valores queda

Finalmente

3. Seguimos usando la fórmula

en este caso la ordenada al origen da el punto conocido

Reemplazamos estos valores quedando

finalmente

Ejercicios Funciones lineales

En los ejemplos de ordenada al origen de la página 2 encuentra la pendiente y define la función en cada caso.
En los ejemplos de pendiente de la página 3 calcula el valor de la ordenada al origen y completa la función en cada caso.
Graficar los siguientes pares de rectas y compara.

Encontrar el valor de q para que los siguientes pares de rectas resulten paralelas.

Encontrar la forma polinómica de las rectas buscadas de acuerdo a las siguientes consignas.

Recta paralela a y=-5x+2 y ordenada al origen -3
Recta que pasa por (-2 ; 3) y es paralela a y=5x-8
Recta que pasa por (6 ; -5/3) y es perpendicular a y =-2x+4
Recta que tiene pendiente -4/7 y ordenada al origen en 9.
Recta que pasa por (0; 0) y es paralela a y = 6x – 2
Recta que pasa por (-1/3 ; 8 ) y el origen del sistema.
Perpendicular a la recta que pasa por (1;-2) y (3;0) y pasa por el punto (1/2;-2)
Hallar la ecuación de la recta que pasa por (-4;-3) y cuya ordenada al origen es -1/3
Hallar la ecuación de la recta que corta al eje x en –2 y al eje y en –6

Graficar las siguientes funciones lineales e indicar: Dominio, Imagen, raíz, ordenada al origen, pendiente, crecimiento, intervalos de positividad y negatividad.

Escribir la ecuación de la recta que pasa por dos puntos:

Recuerda la fórmula y la fórmula

e. Ordenada al origen y punto

f. Ordenada al origen y punto

g. Ordenada al origen -3 y raíz 3

h. Ordenada al origen 25 raiz 5

i. Raíz 2 y punto

Escribir la ecuación correspondiente a cada una de las siguientes rectas e indicar: Dominio, Imagen, Raíz, Ordenada al origen, Pendiente, intervalos de crecimiento y decrecimiento e Intervalos de positividad y negatividad