DEPARTAMENT DE MATEMÀTIQUES

Miscel·lània matemàtica

EL CONJUNT DE MANDELBROT

<iframe src="https://docs.google.com/a/xtec.cat/file/d/0B1d-JQWr9zxoUXBUOFJqNEN1ZVE/preview" width="800" height="900"></iframe>

El conjunt de Mandelbrot és, molt probablement (és qüestió d’opinions), el conjunt més “bonic” de les matemàtiques.

 

Curiosament, es pot explicar fàcilment com saber si un punt del pla pertany, o no, a aquest conjunt.

 

Per saber si un punt C pertany a aquest conjunt, fem el següent:

 

Z0 = 0

Z1 = (Z0)2 + C

Z2 = (Z1)2 + C

Z3 = (Z2)2 + C

Z4 = (Z3)2 + C  ... i així successivament infinites vegades.

 

Pot ser que el resultat de fer aquesta iteració infinites vegades, sigui infinit o no.

 

Docs bé, el conjunt de Mandelbrot és el conjunt del pla que al fer la iteració anterior infinites vegades, el resultat NO és infinit.

 

En el video següent, es pot veure de color negre el conjunt de Mandelbrot; però si a la resta de punts –que no pertanyen a aquest conjunt– li associem un color depenent de la velocitat que la successió de càlculs anteriors s’apropi a l’infinit, obtenim aquestes meravelloses imatges.

 

El video comença en un escala “normal”; l’eix horitzontal mesura, aproximadament, vuit unitats i seguidament comença a fer un zoom sobre un punt del pla fins arribar als 232 decimals!

 

S’aconsella aturar, molt sovint, el video per apreciar en tota la seva plenitud les imatges.

Mireu el vídeo

LA QUARTA DIMENSIÓ

A la imatge següent podeu veure “ l’ombra” (la projecció) d’un “cub” de quatre dimensions (tesseractis o hipercub) que gira sobre si mateix.

El tesseractis està format per 16 vèrtexs, 32 arestes, 24 quadrats i 8 cubs. 

                                                             

Dibuix pla que representa un cub de quatre dimensions.