Curso de posgrado

Programa de Doctorado en Investigación Matemática

Ecuaciones integro-diferenciales

Juan Carlos Felipe Navarro

(Universidad Complutense de Madrid)

FECHAS: 24-30/04/25

HORARIO: 15:00-17:00

LUGAR:  Aula 117

RESUMEN

El objetivo del curso es introducir las ecuaciones no locales de tipo integro-diferencial a través de modelos de difusión con interacciones de largo alcance, dando los resultados principales de existencia, unicidad y regularidad de soluciones.

1) Introducción. Modelos de difusión locales y no locales.

Interpretación probabilística del Laplaciano a través del paseo aleatorio. Motivación de modelos no locales (con saltos). Procesos de Lévy.

2) El Laplaciano fraccionario.

Diferentes representaciones del operador (integro-diferencial, Fourier, problema de extensión…). Propiedades básicas. Solución fundamental. Comparación con el Laplaciano clásico.

3) Existencia y unicidad de soluciones débiles.

El problema de Dirichlet para operadores integro-diferenciales. Estructura variacional del problema. Espacios de Sobolev fraccionarios. El problema de Neumann no local.

4) Principio de máximo y regularidad interior.

Núcleo de Poisson fraccionario en la bola. Regularidad interior de funciones s-armónicas. Desigualdad de Harnack. Principio del máximo y comparación para soluciones débiles. Acotación y regularidad Hölder de soluciones débiles.

5) Regularidad en el borde para el problema de Dirichlet.

Construcción de barreras explícitas. Crecimiento de soluciones débiles en el borde. Regularidad Hölder óptima hasta la frontera. Lema de Hopf fraccionario. Comportamiento más fino en la frontera.

6) Regularidad en el borde para el problema de Neumann.

Reinterpretación del problema con operador de tipo regional. Acotación de soluciones débiles. Regularidad Hölder de soluciones. Teorema de tipo Liouville en el semiplano. Regularidad de orden superior hasta el borde.

BIBLIOGRAFÍA

Abatangelo, N. and Valdinoci, E. Getting Acquainted with the Fractional Laplacian, In: S.Dipierro (eds), Contemporary Research in Elliptic PDEs and Related Topics, Springer INdAM Series, vol 33 (2019)

Bucur, C. and Valdinoci, E. Nonlocal Diffusion and Applications, Lecture Notes of the Unione Matematica Italiana 20, Springer International Publishing (2016).

Di Nezza, E., Palatucci, G., and Valdinoci, E. Hitchhikerʼs guide to the fractional Sobolev spaces, Bull. Sci. Math., 136 (2012), 521-573

Fernández-Real, X. and Ros-Oton, X. Integro-Differential Elliptic Equations, Progress in Mathematics 350, Birkhauser (2024)