Ministerul Educaţiei Naţionale Centrul Naţional de Evaluare i Examinare Examenul de bacalaureat naţional 2015 Proba E. c) Matematică M_mate-info
Model Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Se consideră numărul complex z = 1 + i . Calculați ( z − 1 )2
. 5p 2. Arătați că 3 ( x 1 + x 2 )
− 4 x 1 x 2
= 3 , știind că
x 1
și
x 2
sunt soluțiile ecuației
x 2
− 5 x + 3 = 0 .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 4 x − 3 ⋅ 2 x
+ 2 = 0
. 5p 4. Calculaţi probabilitatea ca alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta
să fie divizibil cu 13. 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră dreapta d de ecuație y = 3 x + 4 și punctul A ( 1,0 ) .
Determinați ecuația paralelei duse prin punctul A la dreapta d .
5p 6. Calculaţi raza cercului circumscris triunghiului ABC , tiind că AB = 12 i
= π 6
.
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea ( )
Probă scrisă la matematică M_mate-info Model Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 1
C
1 A a = 0 2 1 1
a a
+
1 a + 2 a
+
3
, unde a este număr real.
5p a) Calculați det ( A ( a ) )
.
5p b) Determinați numărul natural n, știind că
2 A ( n 2
)
− A ( n ) = A ( 6 ) .
5p c) Arătaţi că există o infinitate de matrice X ∈ B 3,1
( R )
care verifică relaţia A ( 2015 )
⋅ X
=
0 0 0
.
2. Se consideră polinomul
f = X 3
+ mX − 3 , unde m este număr real. 5p a) Pentru m = 2 , arătaţi că f ( )1 = 0 . 5p b) Determinaţi numărul real m , tiind că polinomul f este divizibil cu X + 1 . 5p c) Arătaţi că, pentru orice număr real strict pozitiv m , polinomul f are două rădăcini de module egale. SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia f : R → R, f ( x
)
=
e x x
+
1 −
x
.
5p a) Calculați f ′ ( x ) , x∈R . 5p b) Determinaţi ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în punctul de abscisă
x 0
= 0 , situat pe graficul funcţiei f . 5p c) Calculaţi lim
x
→+∞
f ( − x
) .
2. Se consideră funcţia f : R → R, f ( x
)
=
1
x
2
+
4
.
5p a) Calculați
2 ∫ f 2
( x )
dx . 0 5p b) Arătaţi că orice primitivă a funcţiei f este funcție crescătoare pe R .
5p c) Pentru fiecare număr natural nenul n se consideră numărul
I n
=∫ 1
x n
f ( x )
dx . Arătaţi că 0 nI n = 5 − 4 ( n − 1
)
I
n
−
2
pentru orice număr natural n, n ≥ 3 .
Ministerul Educaţiei Naţionale Centrul Naţional de Evaluare i Examinare
Examenul de bacalaureat naţional 2015 Proba E. c) Matematică M_mate-info BAREM DE EVALUARE ğI DE NOTARE
Model Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( z − 1 )2 = i 2
= 2p = − 1 3p 2.
x 1 + x 2
= 5 2p x 1 ⋅ x 2 = 3 ⇒ 3 ( x 1 + x 2 )
− 4 xx 1 2
= 3 ⋅ 5 − 4 ⋅ 3 = 3 3p 3. ( 2 x − 1 )( 2 x − 2 )
= 0 ⇔ 2 x
= 1
sau 2 x
= 2
3p
x = 0 sau x = 1 2p 4. Sunt 7 numere de două cifre care sunt divizibile cu 13, deci sunt 7 cazuri favorabile 2p Sunt 90 de numere de două cifre, deci sunt 90 de cazuri posibile 1p p = nr. nr. cazuri cazuri favorabile posibile = 90 7
2p
5. Panta paralelei duse prin punctul A la dreapta d este m = 3 3p Ecuația paralelei duse prin punctul A la dreapta d este y = 3 x − 3 2p 6. sin
C = 1 2
2p
sin
AB
C
= 2 R ⇒ R
= 12
3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
1 1 1 det ( A ( a ) )
= 0 a a
+ 1
= 2 a + 2 a
+
3
Probă scrisă la matematică M_mate-info Model Barem de evaluare i de notare Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
2p
1 1 1 = 0 a a + 1 = 0
3p 2 2 2 b)
2 ( 2 )
− ( ) = 1 1 0 2 2 2 2 2 2 2
1
An An n − n 2 n − n
+ 1
n − n + 2 2 n − n
+
3
, A
( 6 )
=
1 0 2 1 6 8 1 7 9
3p
2 n 2
− n − 6 = 0
⇒ n = − 3 2
∉N , n = 2 ∈N 2p
Ministerul Educaţiei Naţionale Centrul Naţional de Evaluare i Examinare
c)
x 0 Pentru
X = A 2015 ⋅ X = Probă scrisă la matematică M_mate-info Model Barem de evaluare i de notare Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2 0 0 x + y z
0 y
⇔ 2015 y 2016 z
0 z
2 x 2017 y 2018 z
0
+ + = , avem ( )
+ = 2p
+ = Determinantul sistemului omogen există o infinitate de matrice X
este egal cu 0⇒ sistemul are o infinitate de soluţii, deci
3p
2.a) f = X 3
+ 2 X − 3 2p f ( )1 = 1 + 2 − 3 = 0 3p b) f = X 3
+ mX − 3 este divizibil cu X + 1 ⇔ f ( − 1 ) = 0 2p m = − 4 3p c) x 1 2 + x 2 2 + x 3 2
=− 2 m < 0 ⇒ f are cel puţin o rădăcină din C \ R 2p f ∈ R [ X ]
⇒ f are două rădăcini conjugate din C \ R, care au modulele egale 3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)
f ′ ( x
)
= e x − x − ( e ( x
x − + x 1 )2 )
( e
x
−
1
)
=
2p
=
( 1 e x
−
−
xe
x
x )2
, x∈R
3p
b) y − f ( 0 ) = f ' ( 0 )( x − 0 ) 2p f ( )0 = 1 , f ' ( 0 ) = 1 , deci ecuaţia tangentei este y = x + 1 3p c)
lim x →+∞ f ( − x
)
= x
→+∞ lim
− x e −
x
+ +
1 x
=
2p
lim 1 = x →+∞
−
1 −
e
−
x
= −
1
3p
2.a)
2 ∫ 0 f 2
( x )
dx = ∫ 2 0
x
2
1 +
4
dx
= 1
2 arctg
2 x
2 0
=
3p
= 1
2 ( arctg1 − arctg0
)
= π 8
2p
b) F este o primitivă a funcţiei f ′⇒ F ( x ) = f ( x ) 2p
F ′ ( x
)
= 1
x
2
+
4
>
0
pentru orice număr real x, deci F este crescătoare pe R
3p
c)
1 I n
= ∫ 0 x
n x 2 + 4 dx = x n − 1 x 2 + 4 1 0
− ( n − 1 ) ∫ 1 0 x n
−
2 x 2
+ 4 dx = 5 − ( n − 1
)
∫ 1 0
x n
−
2 ( x
2
+
x
2
+
4
4
)
dx
=
3p
= 5 − ( n − 1 ) I n − 4 ( n − 1 ) I n − 2 ⇒ nI n = 5 − 4 ( n − 1
)
I
n
−
2
pentru orice număr natural n, n ≥ 3 2p