TERCER CICLO

Unidad 3: Trigonometría

Teorema de Pitágoras

Ejercicios de aplicación del Teorema de Pitágoras

Trigonometría

Relaciones trigonométricas entre los lados de un triángulo rectángulo

Tabla de relaciones trigonométricas de un triángulo rectángulo

Razones trigonométricas de ángulos complementarios

Uso de la calculadora

Ejercicios utilizando la calculadora

Resolución de triángulos rectángulos

Identidad Pitagórica, relación trigonométrica del seno y el coseno de un ángulo

Relaciones entre los lados y ángulos en cualquier triángulo

Teorema del seno

Teorema del coseno

Resolución de triángulos oblicuángulos

Ejercicios con triángulos oblicuángulos

TERCER CICLO

Unidad 3: Trigonometría

Teorema de Pitágoras

En un triángulo rectángulo, el mayor de los lados recibe el nombre de hipotenusa y los otros dos lados se llaman catetos. La hipotenusa es lado opuesto al ángulo recto.

Sabido esto, enunciamos el Teorema de Pitágoras:

Ejercicios de aplicación del Teorema de Pitágoras

1. Calcula la altura de un rectángulo cuya diagonal mide 6,8 cm y la base 6 cm.
2. Una escalera de 65 dm de longitud está apoyada sobre la pared. El pie de la escalera dista 25 dm de la pared.

1.  ¿A qué altura se apoya la parte superior de la escalera en la pared?
2.  ¿A qué distancia de la pared habrá que colocar el pie de esta misma escalera para que la parte superior se apoye en la pared a una altura de 52 dm?

3. Queremos subir a una terraza situada a 4 metro de altura utilizando una escalera que tiene 5,8 m de longitud. ¿Cuál será la distancia máxima desde la pared a la que podremos situar la base de la escalera?.
4. La longitud reglamentaria de una mesa de ping-pong es de 2,74m.  se sabe que la diagonal es, aproximadamente, de 3,14m., determine el ancho reglamentario de una mesa de ping-pong.
5. Para fijar una antena de una emisora de radio se une el extremo de la misma, mediante cables de acero tirantes, con tres soportes situados sobre el terreno. Si cada soporte está a 12 m de la base de la antena y la altura de ésta es 16 m, ¿cuántos metros de cable de acero serán necesarios?
6. Hallar el área del triángulo equilátero:
   

7. Hallar la diagonal del cuadrado:
   
8. Hallar el perímetro del trapecio rectángulo:
   

Trigonometría

La trigonometría es una rama de la matemática cuyo significado etimológico es "la medición de los triángulos".

La trigonometría es el estudio de las razones trigonométricas: seno, coseno; tangente, cotangente; secante y cosecante. Interviene directa o indirectamente en las demás ramas de la matemática y se aplica en todos aquellos ámbitos donde se requieren medidas de precisión.

Relaciones trigonométricas entre los lados de un triángulo rectángulo

A partir del gráfico observamos:

al ángulo  se le opone el lado c y tiene como adyacente al cateto b

al ángulo  se le opone el lado b y tiene como adyacente al cateto c

al ángulo de 90°^[1] se opone la hipotenusa, lado a

Definimos para un triángulo rectángulo las siguientes relaciones en sus ángulos agudos:

seno  de un ángulo es la razón entre su cateto opuesto y la hipotenusa.

 como ayuda recurrimos al acrónimo SOH^[2]

coseno  de un ángulo es la razón entre su cateto adyacente y la hipotenusa.

 como ayuda recurrimos al acrónimo CAH^[3]

tangente  de un ángulo es la razón entre su cateto opuesto y su cateto adyacente.

 como ayuda recurrimos al acrónimo TOA^[4]

cotangente  de un ángulo es la razón entre su cateto adyacente y su cateto opuesto.

 recíproca de la tangente

secante   de un ángulo es la razón entre la hipotenusa y su cateto adyacente.

 recíproca del coseno

cosecante  de un ángulo es la razón entre la hipotenusa y su cateto opuesto.

 recíproca del seno

En el gráfico que encabeza la sección encontramos todas las relaciones trigonométricas de sus ángulos agudos

Tabla de relaciones trigonométricas de un triángulo rectángulo

Recuerda que puedes ayudarte usando los acrónimos SOH - CAH - TOA para recordar los nombres de las relaciones y la razón entre sus lados. Igualmente recuerda que la cotangente, la secante y la cosecante son relaciones recíprocas de la tangente, coseno y seno respectivamente

Razones trigonométricas de ángulos complementarios

Llamamos funciones al seno, tangente y secante, siendo la cosecante, cotangente y cosecante sus respectivas cofunciones.

Por otra parte recordamos que la suma de los ángulos interiores de todo triángulo es igual a 180° esto es 2R (dos rectos), como en el triángulo rectángulo uno de sus ángulos mide 90° (1R) significa que la suma de los ángulos agudos debe ser obligatoriamente 90° (1R). Refiriéndonos a la figura inicial.

°

Dado que la suma de los ángulos agudos del triángulo rectángulo es igual a 1R, esto los hace ángulos complementarios, luego  son complementarios.

Si recurrimos a la tabla de relaciones trigonométricas podremos observar las siguientes equivalencias

En la tabla citada estas relaciones de equivalencia han sido destacadas con idénticos colores, si te es posible visualizarlo. Estas relaciones se resumen en el siguiente enunciado.

Aplicación práctica

Uso de la calculadora

Estamos utilizando para la medición de ángulos el sistema sexagesimal, donde al ángulo recto se lo divide en 90 partes iguales a las cuales llamamos grado y cuyo símbolo es °, a su vez cada grado se subdivide en 60 partes iguales llamadas minutos, en la calculadora ’. Finalmente cada minuto se subdivide en 60 partes iguales denominadas segundos, en la calculadora ”. Las calculadoras traen una única tecla para grados, minutos y segundos y esta normalmente lleva el rótulo ° ’ ” y ella debemos emplear para cálculos con ángulos a ese nivel de precisión.

El nombre de sistema sexagesimal proviene justamente de la prevalencia de la división de las unidades en 60 partes.

De esta manera podremos expresar ángulos con una precisión a nivel de segundos, de tal modo podremos encontrarnos con ángulos de 30°50’23’’, 25°18’’ o 37°16’ para anotarlos en la calculadora debemos presionar la unidad en grados seguido de la tecla ° ’ ” , la unidad en minutos seguido de la tecla ° ’ ”  y luego la unidad en segundos seguida de la tecla ° ’ ” 

Por otra parte las calculadoras por regla general solo traen las funciones seno sin, coseno cos y tangente tan por dicha razón para calcular cotangente debemos recurrir a la recíproca de la tangente, para calcular la secante usar la recíproca del coseno y para calcular la cosecante usar la recíproca del seno, esto se puede realizar rápidamente utilizando la tecla de recíproca  

En síntesis

para calcular                calcular        luego pulsar

Ejemplo 1: Calcular la cosecante de un ángulo de 35°25’32’’

En el ejemplo usamos la calculadora del sistema operativo Linux, esta calculadora no trae la tecla de grados, minutos y segundos por lo tanto haremos una conversión inmediata a decimales del ángulo tal como se observa en la figura.

El cálculo del seno del ángulo considerado es

Luego como necesitamos calcular la cosecante, recurrimos a la tecla de recíproca

Finalmente el valor de la cosecante es el arrojado en el visor de la calculadora

Ejemplo 2: Sabiendo que la cotangente de un ángulo es 1,79254 calcular la medida del ángulo en grados minutos y segundos.

Como en este caso conocemos la cotangente del ángulo y tal función no aparece en la calculadora aplicamos la recíproca  para calcular el valor de la tangente del mismo ángulo, como se observa en la imagen ingresamos el valor del ángulo y presionamos    seguido aparece el valor de la tangente del ángulo.

a continuación presionamos la tecla Shift que activa el menú superior de cada tecla, aquellas con idéntico color a la tecla Shift seguida de la tecla tan.

Como se observa en la figura la tecla  actúa como la tecla   como resultado de haber presionado Shift

a continuación presionamos la tecla = obteniendo como resultado el valor del ángulo buscado

Pero como dicho valor está expresado en decimales de grados, para convertir a grados, minutos y segundos solo falta presionar la tecla ° ’ ” con la cual finalmente obtenemos el valor del ángulo tal como solicita el ejercicio.

Por último la medida del ángulo buscado es de 29°9’20,64’’

Ejercicios utilizando la calculadora

9. Calcular con calculadora los siguientes valores de ángulos

10. Calcular la medida de los siguientes ángulos a partir de su función trigonométrica.

Resolución de triángulos rectángulos

Hasta el momento hemos venido realizando una familiarización con las relaciones trigonométricas y cálculos sencillos de funciones de ciertos ángulos o conocida su razón trigonométrica calcular el valor del ángulo. Resolver un triángulo rectángulo significa encontrar la medida de sus tres lados en unidades de medida de longitud y la de sus tres ángulos en medidas sexagesimales.

Lógicamente que para resolver deberemos contar con algunos datos iniciales que hagan posible el cálculo, para ello deberemos recurrir al Teorema de Pitágoras y a las relaciones trigonométricas de sus lados.

En la realidad, la utilidad de la trigonometría viene dada cuando se solucionan situaciones concretas, intentaremos aproximarnos a esto con los próximos ejercicios.

11. Resuelve los siguientes triángulos rectángulos                                                                                                                                                                                                

12. Halla la superficie y los ángulos del triángulo isósceles cuyos lados iguales miden 8 cm y su base mide 5 cm
13. Observa la figura y halla las medidas de A, B y
    
14. Halla la altura de un poste sabiendo que la cuerda que lo sostiene al piso mide 15 m y que forma un ángulo de 25  con éste.
15. Una escalera de 4 m se apoya sobre una pared, alcanzando una altura de 3 m sobre ella.

1. ¿Qué ángulo forma la escalera con el piso?
2. ¿Cuál es la distancia de la base de la escalera hasta la pared?

16. Para calcular la altura de un edificio, Carolina se ubica a una distancia de 40 m de éste. La línea de la visual del punto más alto del edificio y la horizontal forma un ángulo de 35°. Calcula la altura del edificio sabiendo que los ojos de Carolina están a 1,60 m del piso.
17. Se quiere trasladar una carga mediante una cinta transportadora, a una altura de 10 m. ¿Cuál debe ser el ángulo de inclinación de la cinta si ésta mide 30 m?.
18. Desde lo alto de un árbol se tensan dos cables y se atan al piso, como se ve en la figura. El más alejado queda a 40 m de la base del árbol. Calcula:

1. la altura del árbol.
2. la longitud de ambos cables.
3. la distancia, a nivel del piso, entre ambos cables.

19. Una torre de alta tensión está sujeta al piso, con un cable que tiene un extremo fijo al suelo. Se sabe que la longitud del cable es de 13 m y que el ángulo que forma éste con la horizontal es de 50 . ¿Cuál es la altura de la torre? ¿A qué distancia del pie de la misma está sujeto el cable.
20. ¿Qué ángulo forman los rayos del sol con la horizontal en el momento que una persona de de 1,82m de altura proyecta una sombra de 1,65 metros?
21. Las diagonales de un rombo miden 16 cm y 10 cm .¿Cuánto miden sus ángulos y el perímetro?
22. Un dirigible que está volando a 800 m de altura, distingue un pueblo con un ángulo de depresión de 12 . ¿A qué distancia del pueblo se halla?
23. En un triángulo isósceles, los ángulos congruentes miden 50 , y el lado distinto, 12 cm. ¿Cuál es el perímetro y el área del triángulo?
24. Si en un triángulo rectángulo un cateto es la cuarta parte de la hipotenusa, ¿cuánto miden los ángulos?
25. Se debe escribir una letra N con cinta sobre los bordes de un rectángulo de 15 cm de ancho por 20 cm de alto. Realiza un gráfica de la situación y calcula cuántos metros de cinta se necesitan.
26. Calcula la altura de un triángulo equilátero de lado 14 cm.
27. Una escalera de 65 dm se encuentra apoyada a una pared. La distancia a la pared desde la base es de 25 dm. Calcula la altura de la pared.
28. Se necesita apoyar una escalera de 4,5 m de altura contra una pared. El ángulo de la escalera con la pared no puede ser menor a 30°. ¿A qué distancia de la pared debe apoyarse la escalera?

 Identidad Pitagórica, relación trigonométrica del seno y el coseno de un ángulo

Vamos a analizar la relación que se establece entre el seno y el coseno de un ángulo en un triángulo rectángulo, para ello observemos la siguiente figura y recordemos el Teorema de Pitágoras.

De acuerdo al Teorema de Pitágoras podemos plantear

Por otra parte

reemplazando en la primer igualdad pitagórica obtenemos que

luego

sacamos el factor común en el segundo miembro

luego ponemos divisor en ambos miembros

(se puede hacer ya que por ser hipotenusa del triángulo rectángulo)

Debe tenerse presente que esta igualdad es válida para cualquier ángulo agudo es decir

La igualdad del recuadro también puede ser referida como igualdad trigonométrica fundamental y resumirse en el siguiente enunciado.

La igualdad anterior nos permite establecer una serie de relaciones entre las funciones trigonométricas de un mismo ángulo que son fácilmente deducibles, rápidamente podemos deducir

Para poder hallar otras relaciones trigonométricas de un mismo ángulo, se requiere estudiar y deducir las relaciones que existen entre la secante y la tangente de un mismo ángulo y por otra parte la relación existente entre la cosecante y la cotangente. No demostramos las relaciones pero es similar a la manera en que se dedujo la relación entre seno y coseno. A continuación este par de relaciones.

Ayudándonos de estas relaciones más la identidad pitagórica, podremos completar la siguiente tabla trigonométrica de relaciones entre las funciones trigonométricas de un mismo ángulo.

Relaciones entre los lados y ángulos en cualquier triángulo

Extendemos el estudio de las relaciones entre lados y ángulos a cualquier tipo de triángulo.

Teorema del seno

Hemos dibujado la altura h correspondiente al lado c del triángulo, podemos descubrir lo siguiente

luego

=

de donde

 (1)

Ahora hemos trazado la altura ha correspondiente al lado a del triángulo, se da que

luego

=

de donde

 (2)

de (1) y (2) vemos que los segundos miembros son iguales por tanto

La última igualdad se conoce con el nombre Teorema del Seno y podría enunciarse como sigue a continuación

El anterior más el próximo enunciado nos ayudan a solucionar cualquier tipo de triángulo.

Teorema del coseno

Las tres igualdades anteriores pueden enunciarse de la siguiente manera.

Resolución de triángulos oblicuángulos

Para la obtención de las medidas de todos los elementos de un triángulo cualquiera debemos contar con tres datos, según los datos con que contemos elegiremos que nos conviene utilizar para la solución del problema. A continuación una guía.

Ejercicios con triángulos oblicuángulos

29. Calcula el valor de x en cada uno de las figuras.
    
30. De un triángulo sabemos que: A = 6 m, b = 45°, c = 105°. Calcula los restantes elementos.
31. De un triángulo sabemos que: A = 10 m, B = 7 m, c = 30°. Calcula los restantes elementos.
32. Tres pueblos X, W y Z, están unidos en forma de triángulo por carreteras rectas. La distancia entre X y W es de 6 km; a los pueblos W y Z los separan 9 km. El ángulo que forman las carreteras que une X con W y W con Z es de 120° . ¿Qué distancia hay entre X y Z?
33. En una plazoleta de forma triangular, los lados miden 60 m, 75 m y 50 m. ¿Qué ángulos se forman en las esquinas de la misma?
34. Calcula el valor de la diagonal ac del hexágono regular abcdef, si el perímetro del mismo es de 72 cm.
35. En un triángulo se conoce el valor de dos de sus ángulos interiores y uno de sus lados que es el correspondiente a los ángulos conocidos, los datos son . Determina la longitud de los lados.
36. Desde un faro de 80 m de altura se pueden observar dos veleros sobre una misma línea. Los ángulos de depresión respecto de cada uno de ellos es de 60° y 40°. Representa gráficamente y averigua la distancia que hay entre ambos veleros.
37. ¿Cuál es el ángulo de elevación del Sol, si una persona de 1,75 m de altura proyecta una sombra de 103 cm de longitud sobre el piso?
38. Sobre un lago en una de sus riberas se coloca un topógrafo con sus instrumentos en una posición a, sobre el margen opuesto se localizan dos puntos b y c cuyas distancias respecto del puesto de observación a son de 5.000 m y 7.000 m respectivamente. Determine el ancho máximo del lago sabiendo que el ángulo del vértice a es de 95°.
39. un barrilete en vuelo se sostiene por una piola de 50 m, si el ángulo de elevación es de 48° y estamos sosteniendo la cuerda a 1,30 m. ¿Cuál es la altura del barrilete?
40. ¿Cuál es el valor del ángulo que forma la diagonal con el lado de un cuadrado?