تناک

. k+1 لجأ نم ةحیحص يھ اذا ، ةحیحص Définition : Une propriété est dite héréditaire à partir du rang n

0

si lorsque pour un entier k ≥ n

0

, la propriété est vraie, alors elle est vraie pour l'entier k+1.

. كلذک طقست (k+1) اھل ةیلاتلا ةرجحلا ناف (k) ونیمودلا ةرجح نأ انضرف ول ،قباسلا لاثملا يف Principe du raisonnement par récurrence : Si la propriété P est : - vraie au rang n

0

(Initialisation), - héréditaire à partir du rang n

0

(Hérédité), alors la propriété P est vraie pour tout entier n ≥ n

0

.

:

عجارتلاب ناھربلا أدبم : خ ةیصاخلا تناک اذإ (،

ءادتبإ ) n

0 ةبترلا يف ةحیحص - (،

ةثارو ) n

0 ةبترلا نم اقلاطنا ةیثارو • . entier n ≥ n 0 لک لجأ نم ةحیحص خ ةیصاخلا نوکت اذإ . n

0

= 1 انھ . ( ءادتبا ) یلولأا ونیمودلا ةرجح طقست ،روکذملا لاثملا يف ( هلاعأ رظنأ ) ةثارولا نم دکأتلا مت دق . طقست راجحلأا لک نأ جتنتسن ." يکیسلاک " ناھرب يأ مادختسا انیلع بعصی امدنع sur les entiers عجارتلاب ناھربلا مادختسا یلإ أجلن : ةظحلام : يضایر لاثم . بجوم يقیقح ددع a نکیل . 1 + a n ≥ 1 + na انیدل ، n يعیبط entier لک لجأ نم ھنأ نھربنل . يلونراب ةحجارتم مسا ةیصاخلا هذھل یطعی (.

ءادتبا ) n=0 لجا نم ةحیحص ةیصاخلا •

تایلاتتملا 1(

ءزجلا ) عجارتلاب ناھربلا I. ةیمستلا امأ ،

( 1932 ، 1858 ) ونیب باسیغ يلاطیلإا تایضایرلا ملاع یلإ عجارتلاب ناھربلا أدبم ىزعی (. 1854،1912 ) يراکناوب يرنھ وھ اھبحاص نأ لامتحلإل برقلأاف : أدبملا اذا ھنا لوقت ةدعاقلا . ةیداحتم ةفصب ةعوضوم ونیمودلا راجحأ نم ةیھتنم ریغ ةعومجمربتعنل نمض ةرجحلا ةیعضو تناک امھم اذھو طوقسلا یلا راجحلأا يقاب عفدتس ةرجح تطقس

. راجحلأا لک طوقس ينعی ةرجح لوأ طوقس نأ نودکأتم نحن اذإ . ةعومجملا : فیرعت entier k ≥ n

0

لجأ نم امدنع : يلاتلا طرشلا ققحت اذإ n

0

ةبترلا نم ءادتبا ةیثارو اھنأ ةیصاخ نع لوقن

نلأ . یلولأا ونیمودلا ةرجح طقست ← 1 + a 0 = 1

و 1+0 ∗ a=1 : ةحیحص ةیصاخلا نوکت ثیحب k entier دوجو ضرفنل - . طقست k ةبترلا تاذ ةرجحلا نأ ضرفن ← . ( عجارتلا ةیضرف ) 1 + a k ≥ 1 + ka ؟

k+1 ةبترلا تاذ ةرجحلا طقست لھ ← ؟

k+1 ةبترلا لجأ نم ةیصاخلا حصت لھ (.

ةثارو ) 1 + a k+1 ≥ 1+(k + 1)a : نأ اذإ نھربنل : انیدل 1 + a k+1 = (1 + a) 1 + a k ≥ (1 + a)(1 + ka) عجارتلا ةیضرفل اقبط كلذو

: اذإ . ka2 ≥ 0 نلأ 1 + a k+1 ≥ 1 + ka + a + ka2 ≥ 1 + ka + a :

ھنم و . k+1 ةبترلا تاذ ةرجحلا طقست ← 1 + a k+1 ≥ 1+(k + 1)a

.

ونیمودلا راجحأ لک طقست ← .

n يعیبط entier لک لجأ نم ةحیحص ةیصاخلا نوکت كلذب و : ةظحلام . ءادتبلاا نع ادبأ ینغ لا ؟فیک 3(. یلع ةمسقلل ةلباق 2n ) ةیصاخلا نأ یلع لاثم نھربنل (. عجارتلا ةیضرفل اقبط ) un entier وھ p ثیح 2K+1 = 2K ∗ 2=3p ∗ 2 : انیدل = 6p . اقلاطإ ةحیحص تسیل ةیصاخلا نأ مغرلاب ةثارولا یلع انھرب دق كلذب نوکنو . 3 یلع ةمسقلل ةلباق 2K+1 نإف ھنمو . عجارتلا ب ناھربلا ب مایقلا : ةیجھنم : ـــب يعيبط entier لک لجأ نم ةفرعملا (U

n ) ةیلاتتملا ربتعنل .

u

n u

0 = = n 1

+ و 1 u

n+1 2 = : نأ u

n عجارتلاب + 2n + نهرب 3 : ءادتبا • 0+1 2 = 1 و n=0

لجأ نم ةحيحص ةيصاخلا لعفلاب u

0 هنأ = ىرن 1 : ةثارو • : عجارتلا ةيضرف .

u

k

= k + 1 2 .

u

k+2 = : هلجأ نم ةحيحص k + 2 2 : يأ ةيصاخلا نوكت ثيحب un entier k دوجو ضرفنل k+1 ةبترلا لجأ نم ةحيحص ةيصاخلا : نأ نهربنل . ةيلاتتملا فيرعت نم كلذو .

عجارتلا ةيضرفل اقبط u

k+1

= = u

k k + + 1 2k 2 + 3 انيدل + 2k + 3 = k2 + 2k +1+2k + 3 = k2 + 4k + 4 = k + 2 2

• : ةجيتن entier

لك لجأ نم ةحيحص يه ،عجارتلا أدبمل اقبط . ةبترلا هذه نم ءادتبا ةيثاروو n=0 لجأ نم ةحيحص ةيصاخلا .

u

n = n + 1 2 : نأ ينعي ام n يعيبط . عجارتلا قیرط نع ةباترلا یلع ناھربلا : ةیجھنم : ــب n يعيبط entier لك لجأ نم ةفرعملا u

0 = . ةديازتم (u

n

) 2

ةيلاتتملا و u

(u

n+1 نأ n ) عجارتلاب ةيلاتتملا = 1 3

u

n ربتعنل + 2 نهرب : ءادتبا • u u

0

< u

1

نذإ : ةثارو • : عجارتلا ةيضرف .

u

k

< .

u

u k+1

k+1

: هلجأ نم ةحيحص < u

k+2 : يأ ةيصاخلا نوكت ثيحب un entier k دوجو ضرفنل k+1 ةبترلا لجأ نم ةحيحص ةيصاخلا : نأ نهربنل 1 3

u

k

+2<

1 3

u

k+1

+ 2

هنم و

1 3

u

k

<

1 3

u u

k+1 k+1

< :

نذإ u

k انيدل u

k+2

< u

k+1 : نأ ينعي ام : ةجيتن • entier

لك لجأ نم ةحيحص يه ،عجارتلا أدبمل اقبط . ةبترلا هذه نم ءادتبا ةيثاروو n=0 لجأ نم ةحيحص ةيصاخلا .

ةديازتم (u

n

) ةيلاتتملاف يلاتلاب و u

n

< u

n+1

: نأ ينعي ام n يعيبط