Енергія коливального руху.

Вільні та вимушені коливання.

Мета.

Освітня. Ввести поняття математичного маятника, вивести рівняння руху коливальної системи для математичного маятника та його розв’язок. Вчитися розв’язувати задачі на визначення періоду коливань математичного маятника.

Розвиваюча. Розвивати логічне мислення, просторову уяву.

Виховна. Виховувати культуру запису розв’язків задач.

Тип уроку. Урок засвоєння нових знань.

Прилади та матеріали для роботи з учнями:

• Підручник.  Фізика: 11 кл.: підр. для загальноосвіт. навч. закл.: рівень стандарту/ Є. В. Коршак, О. І. Ляшенко, В. Ф. Савченко.- К.: Генеза, 2011.- 256 с.: іл.
• Демонстрація. Фізичний маятник (прилад по статиці, магнітні тримачі, магнітна дошка, лінійка з отвором)
• Демонстрація. Коливання математичного маятника (кулька на тонкій нерозтяжній нитці, штатив з двома муфтами та лапками, косинець з прямим кутом)
• Матеріал для повторення. Фізика 7 Урок 22. Коливальний рух. Амплітуда коливань. Період коливань.
• Флеш-анімація. Сили в маятнику
• Відео. Маятник Максвелла
• Відео. Маятник Максвелла на терезах
• Відео. Маятники різної довжини

План

1. Актуалізація опорних знань.
2. Математичний маятник.
3. Вчимося розв’язувати задачі.
4. Запитання до уроку.
5. Домашнє завдання.
6. Задачі та завдання для самостійного розв’язування.
7. Для допитливих.

Хід уроку

1. Актуалізація опорних знань.

Перевірка розв’язків домашніх задач за зразком:

Задача 25.6. Коливання вантажу на пружині описується рівнянням : . Визначити: амплітуду коливань; частоту коливань; колову частоту; період; початкову фазу.

Задача 25.7. Для визначення жорсткості пружини до неї підвісили тіло масою 2 кг і спостерігали малі вільні коливання цього тіла вгору-вниз. Якою виявилася жорсткість пружини, якщо за хвилину тіло зробило 40 коливань?

2. Математичний маятник.  

Енергія коливального руху. У механіці розрізняють кінетичну та потенціальну енергії тіл.

Кінетична енергія - енергія рухомого тіла: .

Потенціальна енергія - енергія взаємодії тіл. Потенціальна енергія тіла  в полі сил тяжіння: . Потенціальна енергія пружно деформованого тіла: .

Досі ми вважали, що в коливальних системах втрат механічної енергії немає, тому повна механічна енергія залишається сталою:

.

Мал. Перетворення енергії при коливаннях математичного маятника.

У разі максимального відхилення тіла від положення рівноваги повна механічна енергія системи дорівнюватиме максимальній потенціальній енергії пружно деформованої пружини:

.

Коливання виникають тоді, коли системі, здатній здійснювати коливальні рухи, надається енергія. Під час механічних коливань відбувається перетворення потенціальної енергії у кінетичну і навпаки. При цьому потенціальна і кінетична енергії змінюються з часом, а повна механічна енергія ідеальної коливальної системи у будь-який момент часу залишається незмінною.

Якщо створити ідеальну систему, в якій не діють сили тертя, то коливання в ній будуть незгасаючими.

У реальних коливальних системах виконується робота проти сил тертя, тому повна механічна енергія з часом зменшується і коливання затухають. 

Робота зовнішньої сили над системою забезпечує приплив енергії до системи ззовні. Приплив енергії не дає коливань згаснути, незважаючи на дію сил тертя.

Особливий інтерес представляють вимушені коливання в системі, здатної здійснювати майже вільні коливання. З цим випадком знайомі всі, кому доводилося розгойдувати дитину на гойдалках.

Гойдалка — це маятник, тобто коливальна система з певною власною частотою. Відхилити гойдалку на більший кут від положення рівноваги з допомогою постійної в часі невеликої сили неможливо. Не вдається розгойдати гойдалку і в тому випадку, якщо її безладно підштовхувати в різні сторони. Однак, якщо почати в правильному ритмі підштовхувати гойдалку вперед кожен раз, коли вони вирівняеться з нами, то можна і без великої напруги розкачати їх дуже сильно. Правда, для цього буде потрібно якийсь час. Кожен поштовх сам по собі може бути незначним. Після першого поштовху гойдалка буде здійснювати лише дуже малі коливання. Але якщо темп цих коливань і зовнішніх поштовхів один і той же, то другий поштовх буде своєчасним і підсилить дію першого. Третій посилить коливання ще більше і т. д. Відбудеться накопичення результатів дії окремих поштовхів, і амплітуда коливань гойдалок стане великою. Між тим якщо окремі поштовхи слідують один за одним невлад, то дія буде знищуватися дією наступного, і помітного ефекту не буде.

 Вільні й вимушені коливання. Резонанс. При вивченні коливальних процесів для спрощення розрахунків та вимірювань найчастіше коливання розглядають у випадку замкненої системи. За таких умов вони відбуваються лише внаслідок взаємодії між тілами, які входять у таку систему. Коливання, що відбуваються в замкнутій системі, називаються вільними. 

Як нам відомо, вільні коливання затухають за певний час. Тому більш важливе значення мають незатухаючі коливання, — ті, які можуть тривати необмежено довго. Найпростіший спосіб збудження незатухаючих коливань полягає в тому, що на систему впливають зовнішніми періодичними силами. Такі коливання називаються вимушеними.

Особливий інтерес представляє можливість значного збільшення амплітуди коливань системи, здатної здійснювати майже вільні коливання, при співпадінні частоти зовнішньої періодичної сили з власною частотою коливальної системи.

Розглянемо вимушені коливання в системі, що володіє власною частотою коливань. Частота коливань системи, в якій відсутні сили тертя, називається власною.

Найзручніше взяти кульку, прикріплену до двох пружин. Нехай кінець однієї з пружин буде прикріплений до нитки, перекинутої через блок, а нитка з’єднана зі стержнем на диску. Якщо обертати диск за допомогою електродвигуна, то на кульку почне діяти зовнішня періодична сила.

• Демонстрація.

Поступово кулька почне розгойдуватися. При цьому амплітуда коливань буде наростати. Через деякий час коливання набудуть сталий характер: їх амплітуда перестане змінюватися з часом. Причому можна виявити, що частота коливань кульки дорівнює частоті коливань кінця А пружини, тобто частоті зміни зовнішньої сили. (Ця частота дорівнює числу обертів диска в секунду.)

Частоту вимушених коливань будемо позначати буквою  (на відміну від частоти власних коливань системи ). При сталих вимушених коливаннях частота коливань завжди дорівнює частоті зовнішньої періодично діючої сили.

Користуючись установкою, зображеною на малюнку, з’ясуємо, як амплітуда сталих вимушених коливань залежить від частоти зовнішньої сили. Плавно збільшуючи частоту зовнішньої сили, ми помітимо, що амплітуда коливань поступово зростає. Вона досягає максимуму, коли зовнішня сила діє в такт з вільними коливаннями кульки.

При подальшому збільшенні частоти амплітуда сталих коливань зменшується. Залежність амплітуди коливань від частоти зображена на рисунку нижче. При дуже великих частотах зовнішньої сили амплітуда вимушених коливань прагне до нуля зі зростанням частоти, так як тіло, внаслідок своєї інертності, не встигає помітно зміщуватися за малі проміжки часу і «тремтить на місці».

Різке зростання амплітуди вимушених коливань при співпадінні частоти зміни зовнішньої сили, яка діє на систему, з частотою її вільних коливань  =, називається резонансом (від латинського слова resonans — дає відгомін).

Чому виникає резонанс? Пояснити це явище можна з енергетичних позицій. При резонансі амплітуда вимушених коливань максимальна через те, що створюються найбільш сприятливі умови для передачі енергії від зовнішнього джерела періодичної сили до системи. Зовнішня сила при резонансі діє в такт з вільними коливаннями. Протягом усього періоду її напрямок співпадає з напрямком швидкості коливного тіла. Тому протягом всього періоду ця сила робить тільки додатну роботу. При усталених коливаннях додатня робота зовнішньої сили дорівнює за модулем від’ємній роботі сили опору.

Якщо частота зовнішньої сили не дорівнює власній частоті  коливань системи, то зовнішня сила лише протягом частини періоду робить додатню роботу. Протягом іншої частини періоду напрям сили протилежно напрямку швидкості, і робота зовнішньої сили буде від’ємною. В цілому робота зовнішньої сили за період невелика і відповідно невелика і амплітуда сталих коливань. Істотний вплив на резонанс надає тертя в системі. При резонансі додатна робота зовнішньої сили цілком йде на покриття витрат енергії за рахунок від’ємної роботи сили опору. Тому чим менше коефіцієнт тертя, тим більше амплітуда сталих коливань.

Зміна амплітуди вимушених коливань в залежності від частоти при різних коефіцієнтах тертя та однієї і тієї ж амплітуди зовнішньої сили зображено на рисунку. Кривій 1 відповідає мінімальне тертя, а кривій 3 — максимальне. На цьому малюнку добре видно, що зростання амплітуди вимушених коливань при резонансі виражено тим виразніше, чим менше тертя в системі.

При малому терті резонанс «гострий», а при великому «тупий». Якщо частота коливань далека від резонансної, то амплітуда коливань мала і майже не залежить від сили опору в системі.

В системі з малим тертям амплітуда коливань при резонансі може бути дуже великою навіть у тому випадку, коли зовнішня сила мала. Але більша амплітуда встановлюється тільки через тривалий час після початку дії зовнішньої сили. В відповідності з законом збереження енергії викликати в системі коливання з великою амплітудою, а отже, надати системі велику енергію невеликою зовнішньою силою можна тільки за тривалий час. Якщо тертя велике, то амплітуда коливань буде невеликою, і для встановлення коливань не буде потрібно багато часу.

• Демонстрація. Резонанс (2 штативи, 2 кульки на тонких нерозтяжних нитках).
• Відео. Резонанс маятників (Час показу 2:40 хв)

З явищем резонансу ми зустрічаємось часто і в побуті, і в техніці. Дія цього явища може бути і корисною, і шкідливою.

Прикладами проявів руйнівної дії резонансу є руйнування підвісних мостів через річку Луару у Франції наприкінці XIX ст.,  на початку ХХ ст. через річку Фонтанка в Росії . У першому випадку солдати крокували по мосту в ногу, у другому — гарцювали кінні гренадери. Здобутком історії стала катастрофа Бруклінського мосту в Нью-Йорку.

Для послаблення шкідливої дії резонансу в техніці використовують демпфери, гумові та повстяні прокладки.

Але резонанс може бути не тільки шкідливим. Приклади корисних проявів резонансу: підсилення звуку музичними інструментами (корпус гітари, міхи баяна), настроювання радіоприймача на частоту потрібної радіостанції. Щоб виїхати з калюжі чи піску, водій періодично вмикає зчеплення, ніби розгойдуючи автомобіль. Збільшення амплітуди коливань автомобіля внаслідок резонансу сприяє його виїзду.

3. Вчимося розв’язувати задачі.

Задача 27.1. Максимальна кінетична енергія тіла на пружині, жорсткість якої 200 Н/м, дорівнює 10 мДж. Визначте амплітуду коливань.

Задача 27.2.В. Тягарець масою 500 г здійснює вертикальні коливання на пружині жорсткістю 200 Н/м. Визначте амплітуду коливань, якщо на відстані 4 см від положення рівноваги швидкість тягарця становить 0,6 см.

Задача 27.3.В. Повна енергія тіла, що здійснює гармонічні коливання, дорівнює 60 мкДж, а максимальна сила, що діє на нього, — 3 мН. Чому дорівнює період коливань тіла (у секундах), якщо його маса становить 3 г? Уважайте, що π=3,14. Результат округліть до сотих.

Задача 27.4. Залежність координати пружинного маятника, що здійснює коливання вздовж осі Ox, від часу має вигляд . Визначте кінетичну енергію маятника, якщо в момент часу t=2 с потенціальна енергія пружини дорівнює 10 мДж.

4. Запитання до уроку.

Запитання 27.1 Який маятник називається математичним? Чому коливається математичний маятник? Який напрямок має рівнодійна сил, що діють на маятник?

Запитання 27.2. Від яких фізичних величин залежить період коливань математичного маятника, а від яких ні?

Запитання 27.3. Яку початкову фазу мають коливання, якщо секундомір пущено в той момент, коли коливна точка перебувала: у положенні рівноваги; у крайньому правому положенні; у крайньому лівому положенні?  (В: 0;п/2; 3п/2)

Запитання 27.4. За якою формулою слід обчислювати період коливань матетматичного маятника, підвішеного до стелі ліфта: під час рівномірного руху; під час рівноприскореного піднімання; під час рівно сповільненого піднімання; під час рівноприскореного опускання; під час рівно сповільненого опускання ліфта?

Запитання 27.5. Космічний корабель під час умикання двигунів рухається з певним прискоренням. Яким чином, скориставшись математичним маятником, підвішеним у кабіні, можна визначити прискорення корабля?

Запитання 27.6. Як зміниться період коливання маятника, якщо його довжину подвоїти? потроїти?

Запитання 27.7. Як і чому зміниться період коливання залізної кульки, підвішеної на нитці, якщо під нею помістити магніт?

Запитання 27.8.  Венера - єдина планета Сонячної системи, власне обертання якої протилежне напрямку її обертання навколо Сонця. Її іноді називають однією із найтаємніших планет Сонячної системи: щільний хмарний покрив огортає поверхню. Підкажіть астронавтам спосіб визначення напрямку обертання планети навколо осі в таких складних умовах.

Запитання 27.9. Яка з кульок, зображених на малюнку, може здійснювати коливання?

5. Домашнє завдання.

Підручник: параграф 44.

Задача 27.5.

Задача 27.6. 

Усне опитування по запитаннях до уроку.

6. Перевір себе.

Тестові завдання:

Завдання 27.1.Т. Вільні коливання математичного маятника відбуваються під дією ...

А    ... зовнішньої періодичної сили

Б    ... рівнодійної сил тяжіння та натягу нитки

В    ... сили тертя

Г    ... виключно сили тяжіння

Завдання 27.2.Т. Під час коливань математичного маятника під дією зовнішньої періодичної сили, яка змінюється з певною частотою, резонанс не спостерігається. Для того щоб спостерігати резонанс, потрібно...

А    ... змінити силу тертя

Б    ... змінити масу маятника

В    ... змінити амплітуду коливань

Г    ... змінити довжину маятника

Запитання 27.3.Т. У яких випадках маятниковий годинник почне відставати?

                А. При підвищенні температури.

                Б. При піднятті на гору.

                В. При переміщенні з екватора Землі на полюс.

                Г. При вкороченні підвісу маятника.

Запитання 27.4.Т. Під час незатухаючих коливань математичного маятника в момент проходження ним положення рівноваги мінімальною є

А. потенціальна енергія маятника.

Б. частота коливань маятника.

В. кінетична енергія маятника.

Г. вага маятника.

Запитання 27.5.Т. Г

Запитання 27.6.Т.Г. На рисунку показано положення та напрямок руху математичного маятника в певний момент. Визначте, як змінюються потенціальна енергія маятника Wp та його кінетична енергія Wk.

7. Для допитливих.

Задачі та завдання підвищеної складності

Задача О.26.1. При нерухомому маятнику терези зрівноважено (на одній шальці – маятник Максвелла, на іншій вантаж, який зрівноважує нерухомий маятник). Чи порушиться рівновага, якщо маятник привести в рух? Чому? (Відео. Маятник Максвелла на терезах)

Задача О.27.2. У сферичній чашці радіус якої 110 см і маса 1 кг, ковзає без тертя кулька радіусом 10 см. і масою 10 г. До чашки приклали спрямовану вгору силу 98 Н, під дією якої чашка прискорено піднімається. Визначити період коливань кульки.