Published using Google Docs
кола Ейлера
Updated automatically every 5 minutes

Тема:
«Розв'язування  логічних задач методом кіл Эйлера»

Історія

Дещо з історії був одним з перших, які використовуються для виконання завдань у колах, німецький математик і філософ Готфрід Вільгельм Лейбніц (1646-1716). У чорновий начерк малюнки були виявлені з кіл. Цей метод потім ретельно розроблена швейцарський математик Леонард Ейлер (1707 — 1783).  Леонард Ейлер, найбільший математик 18-го століття, народився в Швейцарії. В 1727 році. на запрошення Петербурзької Академії наук він прибув в Росії. Ейлер зловили в колі видатних математиків, є великі можливості для створення та публікації своїх робіт. Він працював з пристрастю і незабаром стало одностайне визнання сучасників, перший математик світу.

Методи рішення

а)Нехай задана деяка множина і вказана властивість А.Очевидно, елементи даної множини можуть  володіти або не олодіють цією властивістю. Таким чином, задана множина  ділиться на дві частини, які можна позначити за допомогою А і А *. На малюнку можна зобразити його двома способами.   

b) нехай на є набір і містить дві властивості: і, через це безліч може мати або не має кожна з цих властивостей, є можливі чотири випадки: АВ, АВ*, А*В, А* В*. Як наслідок, множина розпадається на 4 підмножини. Це можна зобразити двома способами: у вигляді кола або діаграми.

  

в) Нехай задано деяку множину і вказані три властивості: А, В, С. У цьому випадку задана множина розпадається на вісім частин. Це можна зобразити двома способами.  

Завдання, які розв'язуються за допомогою кіл Ейлера

 Завдання № 1. Скільки натуральних числа від першого десятка не діляться ні на 2 або 3?

Розв'язання. Для вирішення завдання зручно скористатися колами Ейлера. У нашому випадку три кола. Нехай безліч чисел, кратних 2- це безліч А, а безліч чисел, кратних 3 - безліч В. Міркуємо. На 2 ділиться кожне друге число. Значить, таких чисел буде 10: 2 = 5. На 3 ділиться 3 числа (10: 3). На 2 і 3 діляться ті числа, які діляться на 6. Таке число тільки одне. Тому безліч А складається з 5-1 = 4 чисел, безліч В - 3-1 = 2 чисел. Звідси випливає, що в першому десятку міститься 10- (4 + 1 + 2) = 3 числа..

  

Завдання №2. За допомогою кіл Ейлера можна відповісти на безліч питань, поставлених до одного умові задачі.

Нехай коло А зображує всіх учнів, що говорять по-англійськи, коло Н - говорять німецькою мовою, Коло Ф - говорять по-французьки. Скільки учнів каже: а) на всіх трьох мовах? б) по-англійськи і по-німецьки? в) по-французьки? Скільки всього учнів, які говорять іноземною мовою? Скільки з них не говорить по-французьки? Скільки з них не говорить німецькою? Скільки з них не говорить іноземною мовою?

  Відповідь: а) На всіх трьох мовах говорять 3 учня; б) По-англійськи і по-німецьки - 15 осіб; в) тільки по-французьки - 8 учнів. Всього 100 (40 + 7 + 3 + 15 + 5 + 22 + 8) хлопців, що говорять на іноземних мовах. По-французьки не говорять 77учащіхся (100- (8 + 5 + 7 + 3) 

Завдання для самостійного виконання.

    У класі вчаться 40 чоловік. З них з російської мови мають «трійки» 19 осіб, з математики - 17 осіб і з історії - 22 людини. Тільки по одному предмету мають «трійки»: з російської мови - 4 людини, з математики - 4 людини, з історії - 11 чоловік. Сім учнів мають «трійки» і з математики та з історії, а 5 учнів - «трійки» з усіх предметів. Скільки людина вчиться без «трійок»? Скільки людей мають «трійки» по двох з трьох предметів?

Розв'язання. Малюємо кола Ейлера. Усередині великого кола, що зображує всіх учнів класу, помістимо три менші кола М, Р, І, що означають відповідно математика, російська мова та історія.Подальші розрахунки не представляють великої праці. Так як число хлопців, що мають «трійки» з математики та історії, дорівнює 7, то число учнів, що мають тільки дві «трійки» - з математики та з історії, одно 7-5 = 2. Тоді 17-4-5-2 = 6 учнів мають дві «трійки» - з математики та з російської мови, а 22-5-2-11 = 4 учня тільки дві «трійки» - з історії та з російської мови. У цьому випадку без «трійки» вчиться 40-22-4-6-4 = 4 учня. А мають «трійки» з двох предметів з трьох 6 + 2 + 4 = 12 чоловік.

  

Завдання: Скласти алгоритм для вирішення завдань за допомогою кіл Ейлера.