SEGUNDO CICLO

Unidad 5: Funciones polinómicas, función cuadrática

Capítulo 2: Expresiones algebraicas y factoreo

Expresiones algebraicas

Monomios

Operaciones con monomios

Suma de Monomios

Producto de un número por un monomio

Cociente de un monomio por un número.

Producto de monomios

Cociente de monomios

Polinomios

Expresión general de un polinomio de una variable.

Grado de un polinomio

Polinomio completo

Polinomio ordenado

Completar y ordenar polinomios

Polinomios iguales

Valor numérico de un polinomio

Operaciones con polinomios

Suma de polinomios

Multiplicación de polinomios

Producto de un número por un polinomio

Producto de un monomio por un polinomio

Producto de polinomios

División de polinomios

Regla de Ruffini

Teorema del resto

Consideraciones sobre el Teorema del Resto y la Regla de Ruffini

Identidades algebraicas notables

Cuadrado de un binomio

Producto de la suma por la diferencia de un binomio.

Cubo de un Binomio

Factorización de un polinomio

Métodos para factorizar un polinomio

Primer caso: Factor común

Segundo caso: Factor común en grupos

Tercer Caso: Trinomio cuadrado perfecto

Cuarto Caso: Cuatrinomio Cubo Perfecto

Quinto Caso: Diferencia de cuadrados

Sexto Caso: Suma o Diferencia de potencias de igual grado

Otros casos de factorización particulares

Trinomio de segundo grado

Teorema del factor

Polinomios de grado superior a dos. Método de Gauss.

SEGUNDO CICLO

Unidad 5: Funciones polinómicas, función cuadrática

Capítulo 2: Expresiones algebraicas y factoreo

Expresiones algebraicas

Trabajar en álgebra consiste en manejar relaciones numéricas en las que una o más cantidades son desconocidas. Estas cantidades se llaman variables, incógnitas o indeterminadas y se representan por letras.

Una expresión algebraica es una combinación de letras y números ligadas por los signos de las operaciones: adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación.

Las expresiones algebraicas nos permiten, por ejemplo, hallar áreas, volúmenes, trayectorias, tiempos entre otras aplicaciones.

Monomios

Un monomio es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que aparecen entre las variables son el producto y la potencia de exponente natural. Ejemplos:

3ab

½ab2c3

-2xy2

El coeficiente del monomio es el número que aparece multiplicando a las variables. En los ejemplos están dados por

3

½

-2

La parte literal está constituida por las letras y sus exponentes. En los ejemplos:

ab

ab2c3

xy2

El grado de un monomio es la suma de todos los exponentes de las letras o variables. En los ejemplos el grado de cada monomio es

Segundo (2°) grado

Sexto (6°) grado

Tercer (3er) grado

Monomios semejantes

Dos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal.  Ejemplos

5b y -3b

3ab y ½ ab

- 5/4 a2b5 y ⅓ a2b5

Operaciones con monomios

Suma de Monomios

Sólo podemos sumar monomios semejantes.
La suma de los monomios es otro monomio que tiene la misma parte literal y cuyo coeficiente es la suma de los coeficientes. Ejemplos

3x+5x = 8x

3x4+2x4 = 5x4

-5a2b + 3a2b = - 2a2b

Producto de un número por un monomio

El producto de un número por un monomio es otro monomio semejante cuyo coeficiente es el producto del coeficiente del monomio por el número.

3.5x = 15x

-3.2x4= -6x4

⅓.(-6x3y3) = -2x3y3

-¾ .(-5x2) = 15/4 x2

Cociente de un monomio por un número.

El cociente de un monomio por un número es otro monomio semejante cuyo coeficiente es el cociente del coeficiente del monomio por el número.

5x:3 = 5/3 x

2x4:(-2)= -x4

(-6x3y3): 1/3 = -18x3y3

(-5x2):-¾  = 20/3 x2

Producto de monomios

El producto de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el producto de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene como producto de potencias de igual base.

3x . 5x = 15x2

-3ab2 . 2x4= -6ab2x4

1/6 x2y . (-6x3y3) = - x5y4

-¾xy2 .(- 1/5 x2) = 3/20 x3y2

Revisión:

Producto de potencias de igual base: Es otra potencia en la misma base con exponente igual a la suma de los exponentes de los factores

a2.a3 = a2+3 = a5

Cociente de potencias de igual base: Es otra potencia en la misma base con exponente igual a la diferencia entre el exponente del dividendo y del divisor

a3:a = a3-1 = a2

Cociente de monomios

El cociente de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el cociente entre el coeficiente del dividendo y del divisor y cuya parte literal se obtiene por cociente de potencias de igual base.

3x : 5x = 3/5

-3a5b2 : 2a3bx4= -6a2bx-4

 1/6 x2y:(-6x3y3)=-36 x-1y-2

-¾ xy2 : (- 1/5 x) = 15/4 y2

Polinomios

Llamamos así a las expresiones algebraicas que son sumas algebraicas de monomios.

Nota: En caso que hubiesen términos semejantes estos debieran sumarse previamente.

3x2y+2xy2

-5x5y-3x4y2+x3y3-⅓ x2y4+6xy5+2

-½ x2-5x+1

¾ x5-2x3+x2-3

En el caso que el polinomio solo hubiese una única variable (letra) se dice que el polinomio es de una variable.

Expresión general de un polinomio de una variable.

P(x) = anxn+an-1xn-1+an-2xn-2+ … +a1x+a0 

P(x) es la expresión que designa a P como un polinomio en una sola variable y esta es x

Siendo an , an - 1 ... a1 , ao números, llamados coeficientes.
n es un número natural.

n-1 , n-2 , ... como potencias de x expresan potencias decrecientes de la variable.

n-1 , n-2 , ... como subíndices de a expresan coeficientes de cada término.
x es la variable o indeterminada.
a1 es el coeficiente del término lineal o de primer grado.

ao es el término independiente.

A continuación algunos polinomios en una variable que ya conocemos por estudio de función.

Función

Forma general conocida

Forma Polinómica General

Lineal

f(x)=ax+b

f(x)=a1x+a0

Cuadrática

f(x)=ax2+bx+c        

f(x)=a2x2+a1x+a0

Cúbica

f(x)=ax3+bx2+cx+d

f(x)=a3x3+a2x2+ax+a0

Grado de un polinomio

El grado de un polinomio P(x) es el mayor exponente al que se encuentra elevada la variable x.

En la expresión general, el grado del polinomio estaría dado por n

Polinomio

Grado

P(x)=3x4+2x2-3x+1

Cuarto (4°)

Q(x)=2x6-2x3+ ⅓ x-2

Sexto (6°)

Polinomio completo

Es aquel que tiene todos los términos desde el término independiente hasta el término de mayor grado

Q(x) =  ⅓ x5+ 6x2 - 2x6 -2x3- ⅓ x - 2 + ½ x4 

Polinomio ordenado

Un polinomio está ordenado si los monomios que lo forman están escritos de mayor a menor grado.

Q(x) = - 2x6 + ⅓ x5+ ½ x4 -2x3+ 6x2- ⅓ x - 2

Completar y ordenar polinomios

Llamamos así a la acción de ordenar un polinomio en secuencia decreciente de su variable, completando con términos de coeficiente cero cuando el grado no se encuentra en el polinomio original. Ejemplo.

P(x) = x4-2x3-2x6 -2

P(x) = -2x6 +0x5+x4-2x3+0x2+0x-2

Polinomios iguales

Dos polinomios son iguales si se verifica que
Los dos polinomios tienen el mismo grado.
Los coeficientes de los términos del mismo grado son iguales.

Valor numérico de un polinomio

Es el resultado que obtenemos al sustituir la variable x por un número cualquiera. En otros términos el valor numérico de una expresión algebraica es el número que se obtiene al sustituir las variables por números determinados y efectuar las operaciones indicadas en la expresión. Ejemplos:

P(x)= - ½ x2 - 5x + 1

P(3)= -½ .(3)2 - 5.(3) + 1 = -½ .9 - 15 + 1 = - 9/2-15 + 1 = - 37/2

P(-3)= -½ .(-3)2 - 5.(-3) + 1 = -½ .9 + 15 + 1 = -9/2+15 + 1 = 21/2

P(2)= -½ .(2)2 - 5.(2) + 1 = -½ .4 - 10 + 1 = - 2 -10 + 1 = - 11

Q(x)=3x4+2x2-1

Q(1)=3.(1)4+2.(1)2-1 = 3.1 + 2.1 - 1 = 3 + 2 - 1= 4

Q(-1)=3.(-1)4+2.(-1)2-1 = 3.1 + 2.1 - 1 = 3 + 2 - 1 = 4

Q(2)=3.(2)4+2.(2)2-1 =  3.16 + 2.4 - 1 = 48 + 8 -1 = 55

Operaciones con polinomios

Suma de polinomios

Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del mismo grado.

P(x) = 3x4+2x2-15x5+x3- ⅕ x -5                Q(x)= 5x5-2x4+x3-2x2-3x+7

P(x)+Q(x) = -10x5+x4+2x3- 16/5 x + 2

S(x) = -5x5-2x4+x3-2x2-5x-5        T(x) = -2x5-4x4+6x3+3x2-2x-12

S(x) + T(x) = -7x5-6x4+7x3+x2-7x-17

Resta de polinomios

Para restar dos polinomios se suma al minuendo el opuesto del sustraendo.

para P(x) el opuesto es - [P(x)]

Dos polinomios son opuestos cuando su suma es igual a cero. En otras palabras, cuando cada término de uno tiene un semejante de distinto signo e igual coeficiente en el otro. Ejemplo 3x2+2x ; -3x2-2x

P(x) = 3x4+2x2-15x5+x3- 1/5 .x -5                Q(x)= 5x5-2x4+x3-2x2-3x+7

P(x) - Q(x) = P(x) + [-Q(x)] =

= 3x4+2x2-15x5+x3- 1/5 .x -5+[-(5x5-2x4+x3-2x2-3x+7)]

= 3x4+2x2-15x5+x3- 1/5 x -5-5x5+2x4-x3+2x2+3x-7

= -20x5+4x4+0x3+4x2+14/5 x-12

S(x) = -5x5-2x4+x3-2x2-5x-5        T(x) = -2x5-4x4+6x3-3x2-2x-12

S(x) - T(x) = S(x) + [-T(x)]

= -5x5-2x4+x3-2x2-5x-5 + [-(-2x5-4x4+6x3-3x2-2x-12)]

= -5x5-2x4+x3-2x2-5x-5 +2x5+4x4-6x3+3x2+2x+12

S(x) - T(x) = -3x5+2x4-5x3+x2-3x+7

Multiplicación de polinomios

Producto de un número por un polinomio

Es otro polinomio que tiene el mismo grado del polinomio original y como coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por el número.

P(x) = 3x4+2x2-15x5+x3- 1/5 .x -5

3.P(x) = 9x4+6x2-45x5+3x3- 3/5 x -15

Producto de un monomio por un polinomio

Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los términos que forman el polinomio.

P(x) = 3x4+2x2-15x5+x3- 1/5 x -5

2x.P(x) = 6x4+4x2-30x5+ 2x3- 2/5 x -10

Producto de polinomios

Por tratarse de dos factores con múltiples términos se utiliza la propiedad distributiva.
Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los términos del segundo polinomio.
Se suman los monomios del mismo grado.

P(x) = 3x4+2x2-5                Q(x)= -2x2-3x+7

P(x).Q(x) = (3x4+2x2-5).(-2x2-3x+7)

= -6x6-9x5+21x4-4x4-6x3+14x2+10x2+15x-35

= -6x6-9x5+17x4-6x3+24x2+15x-35

Cuando los factores contienen demasiados términos conviene disponerlos de manera práctica en forma similar a la que usamos cuando resolvemos una multiplicación de números con varias cifras con un factor en un renglón y el otro factor en el siguiente renglón. la analogía la vemos en que mientras cuando son números respetamos un ordenamiento de acuerdo a la ubicación decimal cuando operamos con polinomios respetamos un ordenamiento de acuerdo al grado de los términos. Por otra parte conviene poner en el primer renglón el polinomio de mayor grado, completo y ordenado y en el segundo el polinomio de menor grado. Resolvemos nuevamente con el arreglo practico

P(x) = 3x4+2x2-5                Q(x)= -2x2-3x+7

P(x).Q(x)

3457

x 247

-------

24199

13828-

6914 -

-------

853879

3x4+0x3+2x2+0x-5

-2x2-3x+7

------------

21x4+0x3+14x2+ 0x-35

-9x5+ 0x4-6x3+ 0x2+15x  -

-6x6+0x5- 4x4+0x3+10x2      -

-------------------------------

-6x6-9x5+17x4-6x3+24x2+15x-35

Nota: En aquellos productos donde uno de los factores tiene coeficiente cero, el resultado tendrá también coeficiente cero. Por su naturaleza cero carece de signo, y por lo tanto se prefiere asentar el término resultante con signo positivo, aunque esté multiplicando a un factor negativo.

División de polinomios

Dividir dos polinomios es hallar cociente y resto de la misma donde se debe cumplir que el producto entre el divisor y el cociente más el resto debe ser igual al dividendo. En términos de expresiones algebraicas

P(x) : Q(x) = C(x)   quedando un cierto resto  R(x)

se cumple que

P(x) = Q(x) . C(x) + R(x)


Del mismo modo que para la multiplicación estudiamos la similitud de la misma operación con números, en la división veremos que hay semejanzas entre dicha operación con números y polinomios. En las notaciones a continuación designamos de la siguiente manera

D=Dividendo, d=divisor, C=Cociente, R=Resto

Un ejemplo de la división con números naturales

Como puede verse en la primer división 13=3.4+1 en la segunda división 15=5.3+0 o simplemente 15=5.3 dado que en el caso el resto de la división es cero.

para resolver una división de polinomios los disponemos de la siguiente manera

  1. A la izquierda situamos el dividendo. Si es necesario completamos y ordenamos.
  2. A la derecha situamos el divisor ordenado, del mismo modo que si estuviéramos operando con números, no es necesario completar el divisor.
  3. Dividimos el primer monomio del dividendo por el primer monomio del divisor y este resultado lo anotamos debajo del divisor, este será el primer término del cociente.
  4. Multiplicamos el resultado anterior por cada término del polinomio divisor y asentamos este resultado debajo del polinomio dividendo encolumnados los monomios de igual grado, este resultado debemos restarlo del polinomio dividendo, por tanto conviene transformarlo en suma cambiando los signos de cada uno de sus términos.
  5. Con el resultado obtenido volvemos a dividir su primer monomio con el primer monomio del divisor, agregamos este resultado bajo el divisor siendo el siguiente término del cociente.
  6. Este último término del cociente lo multiplicamos por el divisor y operamos del mismo modo como se indica en el punto cuatro y cinco.
  7. Repetimos los puntos cuatro y cinco hasta que el grado del resto sea menor que el grado del divisor, y por tanto no se puede continuar dividiendo.
  8. Para comprobar si la operación es correcta, utilizamos la prueba de la división.

D(x) = d(x) . C(x) + R(x)

Resolvemos a continuación una división utilizando el método descrito anteriormente, dados los siguientes polinomios resolver

P(x) = x5 + 2x3 − x − 8         Q(x) = x2 − 2x + 1                 P(x) : Q(x)

A continuación aplicamos el procedimiento indicado en los puntos 1, 2 y 3

A continuación vemos el resultado de la aplicación del punto 4.

Vemos como se transforma en el opuesto y aplicamos los puntos 4 y 5

Ahora aplicamos los puntos 6 y 7 con lo cual obtenemos cociente y resto de la división.

Por último aplicamos la comprobación sugerida en el punto 8 para verificar cociente y resto obtenidos.

Cociente -------->>

x Divisor -------->>

+ Resto --------->>

=

Dividendo -------->>

x3 + 2x2 + 5x +  8

x2 - 2x +  1

-----------------

x3 +  2x2 +  5x +  8

- 2x4 - 4x3 - 10x2 - 16x    -

x5 + 2x4 + 5x3 +  8x2          -

---------------------------------

x5 + 0x4 + 2x3 +  0x2 - 11x +  8

10x - 16

---------------------------------

x5 + 0x4 + 2x3 +  0x2 -   x -  8

Regla de Ruffini

Si el divisor es un binomio de la forma x-a, entonces utilizamos un método más breve para hacer la división, llamado regla de Ruffini.

Procedimiento

  1. Si el polinomio no es completo, lo completamos añadiendo los términos que faltan con ceros.
  2. Colocamos solo los coeficientes del dividendo en un  renglón.
  3. Abajo a la izquierda colocamos el opuesto del término independiente del divisor.
  4. Realizamos un trazo como en la figura  y bajamos el primer coeficiente del dividendo.
  5. Multiplicamos ese coeficiente por el opuesto del término independiente del divisor y lo colocamos debajo del siguiente coeficiente.
  6. Sumamos los dos coeficientes.
  7. Repetimos los pasos 5 y 6 las veces que fueran necesarias.
  8. El último número obtenido es el resto de la división.
  9. El cociente es un polinomio inferior en un grado al dividendo y cuyos coeficientes son los obtenidos en la sucesión de los pasos 5 y 6.

Veamos el procedimiento solucionando el siguiente ejemplo.

(x4 − 3x2 + 2) : (x −3)

    |  1   0   -3    0   2

  3 |      3    9   18  54  

----------------------------

    |  1   3    6   18  56

Aplicando el procedimiento descrito hemos obtenido cociente y resto de la división, sólo debemos construirlos teniendo en cuenta que los primeros coeficientes obtenidos son los coeficientes del cociente y este es un grado menor que el dividendo, el último valor obtenido es el resto de la división, entonces.

C(x) = x3 + 3x2 + 6x + 18                R(x)=56

Teorema del resto

El resto de la división de un polinomio D(x), por un polinomio de la forma x - a es el valor numérico de dicho polinomio para el valor: x = a.

Usemos el mismo ejemplo usado en Regla de Ruffini para verificar el resto de la división

El dividendo es  D(x) = x4 − 3x2 + 2 el divisor es  (x −3) en consecuencia a = 3

D(a) = D(3) = 34 − 3.32 + 2 =  81 - 3.9 + 2 = 81 - 27 + 2 = 56

Como puede observarse D(a) =  56 = R(x)

Consideraciones sobre el Teorema del Resto y la Regla de Ruffini

Ambos son métodos prácticos que en el caso de Ruffini permite obtener cociente y resto de la división de polinomios y en el caso del Teorema del Resto, permite obtener el resto de la división rápidamente. Recordando que si el resto de la división es cero, el dividendo es múltiplo exacto del divisor, en consecuencia, el dividendo puede ser expresado como producto del cociente por el divisor. En términos algebraicos.

D(x) : d(x) = C(x)                si        R(x) = 0        D(x) = C(x) . d(x)

Identidades algebraicas notables

Cuadrado de un binomio

Demostración: Por definición de potencia

(a + b)2 =  (a + b) . (a + b)

Resolvemos el segundo miembro aplicando propiedad distributiva.

=  a2+ ab + ba + b2        

donde ab = ba  por propiedad conmutativa de la multiplicación, luego

=  a2+ ab + ab + b2

=  a2+ 2ab + b2

En el caso que se trate de un binomio donde el segundo término es negativo sería.

(a - b)2 =  (a - b) . (a - b)

Aplicamos propiedad distributiva en el segundo miembro.

=  a2- ab - ba + b2        

donde - ab =  - ba  por propiedad conmutativa de la multiplicación, luego

=  a2- ab - ab + b2

=  a2- 2ab + b2

Como puede verse en las demostraciones la única variación se da en el signo del segundo miembro, este va a depender de si se trata de una suma, en cuyo caso es positivo, o una diferencia, en cuyo caso es negativo. Veamos algunos ejemplos

(2a + b)2 = 4a2 + 4ab + b2

(x - 3y)2 = x2 - 6xy + 9y2

(xy2 + y3z)2 = x2y4 + 2xy5z + y6z2

Producto de la suma por la diferencia de un binomio.

Demostración: Aplicamos propiedad distributiva

(a + b) · (a − b) = a2 − ab + ba - b2

por ser términos opuestos podemos cancelar

(a + b) · (a − b) = a2 − ab + ba - b2

finalmente

(a + b) · (a − b) = a2 - b2

Qué es lo que queríamos demostrar.

Nota: A menudo esta propiedad se llama producto de binomios conjugados donde se encuentra el producto de dos binomios donde la única diferencia entre uno y otro está en el signo de uno de sus términos. Ejemplos.

(2x + y) . (2x - y) = 4x2 - y2

(3ab - c) . (3ab + c) = 9a2b2 - c2

(5x2 - y3) . (5x2 + y3) = 25x4 - y6

Cubo de un Binomio

Demostración: por definición de potencia

(a + b)3 =   (a + b) . (a + b)2 

El segundo factor del segundo miembro es el cuadrado de un binomio, por tanto

(a + b)3 =  (a + b) . (a2 + 2ab + b2)

aplicando propiedad distributiva en el segundo miembro

 = a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3

  ====   -----   ===   -----  

Sumamos los términos semejantes

 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

qué es lo que queríamos demostrar.

En caso que se trate de una diferencia

(a - b)3 =   (a - b) . (a - b)2 

El segundo factor del segundo miembro es el cuadrado de un binomio, por tanto

(a - b)3 =  (a - b) . (a2 - 2ab + b2)

aplicando propiedad distributiva en el segundo miembro

 = a3 - 2a2b + ab2 - a2b + 2ab2 - b3

  ====   -----   ===   -----  

Sumamos los términos semejantes

 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

Observar que segundo y cuarto término son negativos en el caso que se trate del cubo de una diferencia. Ejemplos

(x+2)3 = x3 + 6x2 + 12x + 8

(2x-3)3 = 8x3 - 36x2 + 54x - 27

(ab2+c)3 = a3b6 + 3 a2b4+ 3ab2c + c3

Factorización de un polinomio

Métodos para factorizar un polinomio

Primer caso: Factor común

Consiste en expresar como propiedad distributiva una expresión algebraica que tiene un divisor común en todos sus términos. En el ejemplo a continuación el divisor común a todos los términos es a, luego dicho valor de a se expresa como factor común de todos los términos.

a · b + a · c + a · d = a . (b + c + d)

Ejemplos

a2b + a = a (a + 1)

x4y3- x5y4+ x6y5 = x4y3(1 - xy + x2y2)

8ab2+12b3=4b2(2a+3b)

Segundo caso: Factor común en grupos

Es semejante al primer caso con la salvedad que se debe sacar común en grupos de igual número de términos, es aplicable cuando no hay un factor común en todos los términos, sino en algunos de ellos. Factorizamos por este método la siguiente expresión.

2ax + 2bx - ay + 5a - by + 5b

en primer lugar agrupamos aquellos términos que tienen divisores comunes. En el primer grupo el divisor común es a y en el segundo grupo el divisor común es b.

(2ax - ay + 5a) + (2bx - by + 5b)

Saco el factor común de cada grupo

a . ( 2x - y + 5 ) + b . (2x - y + 5 )

Nos han quedado dos términos, la expresión entre paréntesis está en ambos términos por lo que puedo expresarla como factor común quedando

(2x -y +5) (a + b)

Ejemplos

4a+4b+xa+xb=(a+b).(4+x)

x2+2+2x+x3= (1 + x)(x2 + 2)

18a3+12a2-15a-10 = (6a2-5)(3a+2)

Tercer Caso: Trinomio cuadrado perfecto

Un trinomio cuadrado perfecto es aquel que proviene del cuadrado de un binomio. Por tanto tendrá dos términos que son cuadrados perfectos y el restante es el doble producto de las bases de los mismos. En el caso los cuadrados perfectos son a2 y b2 y el doble producto es justamente 2ab. Finalmente podemos expresar el trinomio como cuadrado del binomio.

a2 ± 2 a b + b2 = (a ± b)2

Veamos un ejemplo sencillo.

x2+6x+9

x2 es cuadrado de x, (x)2=x2 y 9 es cuadrado de 3, (3)2=9

Las base son respectivamente x y 3, el doble producto entre ellas será

2.x.3 = 6x

luego

x2+6x+9 = (x+3)2

Ejemplos

x2+ 14x + 49 = (x+7)2

x2 - 10x + 25 = (x - 5)2

x2 − 6x + 9 = (x − 3)2

Cuarto Caso: Cuatrinomio Cubo Perfecto

Un cuatrinomio cubo perfecto es aquel que proviene del cubo de un binomio. Por tanto tendrá dos términos que son cubos perfectos y los dos restantes serán triples productos del cuadrado de uno de ellos por el otro. En el caso los cubos perfectos son a2 y b2 y los triples productos son justamente 3a2b y 3ab2. Finalmente podemos expresar el cuatrinomio como cubo del binomio.

a3 ± 3a2b+3ab2± b3 = (a ± b)3

Veamos un ejemplo.

x3+6x2+12x+8 = (x+2)3

x3 es cubo de x, (x)3=x3 y 8 es cubo de 2, (2)3=8

Las base son respectivamente x y 2, 

los triples productos del cuadrado de uno por el otro son respectivamente

3.x2.2=6x2   y 3.x.22 = 12x  

luego

x3+6x2+12x+8 = (x+2)3

Ejemplos

x3-9x2+27x-27=(x-3)3

x3+ 3/2x2+ 3/4 x+1/8=(x + 1/2)3

3/4x4y2-1/8x6y3+1-3/2x2y = (-1/2x2y+1)3

Quinto Caso: Diferencia de cuadrados

Una diferencia de cuadrados es igual al producto de la suma por la diferencia de sus bases.

a2 − b2 = (a + b) · (a − b)

Véase que los cuadrados son a2 y b2 sus bases son respectivamente a y b

Ejemplos

x2 - 9 = (x + 3).(x - 3)

36x2 - a6b4 = (6x + a3b2).(6x - a3b2)

x6 - 4 = (x3 + 2).(x3 - 2)

Sexto Caso: Suma o Diferencia de potencias de igual grado

Es un caso donde se pretende factorizar un binomio cuyos términos son potencias de igual grado. Es conveniente tener en cuenta que un binomio con términos de igual grado será divisible por la suma o por la diferencia de las base en algunas situaciones y no siempre será divisible, en tal situación no puede aplicarse este caso. Debiera estudiarse la divisibilidad previamente sin embargo quedará pendiente en este curso.

La ilustración anterior resume cuando una suma o diferencia de potencias de igual grado es divisible por la suma o diferencia de sus bases. Podría resumirse la ilustración diciendo:

  1. La suma de dos potencias de igual base es divisible con la suma de sus bases, sólo si el exponente es impar.
  2. La suma de dos potencias de igual base nunca es divisible con la diferencia de sus bases.
  3. La diferencia de dos potencias de igual base es divisible con la suma de sus bases, sólo si el exponente es par.
  4. La diferencia de dos potencias de igual base siempre es divisible con la diferencia de sus bases.

Quizá sea más sencillo recordar este pequeño cuadro que resume la anterior ilustración y su explicación.

En el, “D” representa al dividendo, “d” al divisor y “E” como debe ser el exponente

Memoriza el acrónimo INPS I de Impar N por Nunca P por par y S por siempre para recordar cuando una suma o diferencia de potencias de igual grado es o no divisible por la suma o diferencia de sus bases.

Veamos algunos ejemplos a continuación

P(x) = x5 + 32

Podemos expresarlo como suma de potencias de 5 del siguiente modo.

P(x) = x5 + 25 

Se trata de una suma de potencias de igual grado impar, es divisible por la suma de sus base, por tanto el divisor es

(x + 2)

Obtenemos el cociente de P(x) por (x+2) podemos usar Ruffini del siguiente modo

  | 1  0  0   0   0   32

  |

-2|   -2  4  -8  16  -32

    1 -2  4  -8  16  |0

Con lo que el cociente es

(x4 - 2x3 + 4x2 - 8x + 16)

Finalmente podemos expresar a P(x) como sigue

x5 + 32 = (x + 2).(x4 - 2x3 + 4x2 - 8x + 16)

Otro ejemplo, dado

P(x) = x3 - 8

Obtenemos el cociente de P(x) por (x-2) dado que es un diferencia de exponente impar por lo tanto divisible por la diferencia de las bases, usamos Ruffini

  | 1  0  0  -8

 2|    2  4   8  

  | 1  2  4  |0

Con lo que el cociente es

(x2 + 2x + 4)

Finalmente

x3 - 8 = (x - 2).(x2 + 2x + 4)

Otros ejemplos sin desarrollo.

b4 - 81 = (b - 3).(b3 + 3b2 + 9b + 27)

 ó (b + 3).(b3 - 3b2 + 9b - 27)

x4 + 16 = x4 + 16

Suma de potencias de igual grado par Nunca es divisible. Queda tal como está

x7 + 1 =

(x + 1).(x6 - x5 + x4 - x3 + x2 - x + 1)

x7 - y7 =

(x - y).(x6 + x5y + x4y2 + x3y3 + x2y4 + xy5 + y6)

En este caso para aplicar Ruffini tratamos la segunda variable como un número. Caso contrario usar la división convencional.

Otros casos de factorización particulares

Trinomio de segundo grado

Un trinomio de segundo grado en una sola variable (x) que no es cuadrado perfecto puede ser expresado de la siguiente forma.

a x2 + bx + c = a · (x -x1) · (x -x2)

En la expresión anterior, el primer miembro corresponde a la forma polinómica de la ecuación cuadrática en la cual sus raíces reales son x1  y x2 el segundo miembro se corresponde con la forma factorizada de tal expresión, de allí que las mismas son expresiones equivalentes.

Para pasar de la forma polinómica a la factorizada debemos averiguar sus raíces por alguno de los siguientes métodosformula resolvente

Fórmula resolvente

x1,x2=

Propiedades de las raíces

x1 + x2 = -b/a

x1.x2 = c/a

Propiedades de las raíces
(Caso cuando a = 1)

x1 + x2 = -b

x1.x2 = c

Si no obtengo raíces reales no puedo aplicar este método, en tal caso el trinomio no puede ser factorizado. Esta situación se puede comprobar rápidamente si la expresión

b2-4ac

resulta negativa, no puedo factorizar el trinomio y por lo tanto no puedo usar este método. A la expresión se la conoce como discriminante de la fórmula resolvente.

Ejemplo 1

x2 + 3x + 2

Solución 1

en este caso

a=1; b=3; c=2

Usando la resolvente

Terminamos de calcular las raíces

Sumando 

Restando 

Finalmente

x1 = -1 ; x2 = -2

En consecuencia

x2 + 3x + 2 = (x + 1).(x + 2)

Solución 2

Aprovechando lo que sabemos de las propiedades de las raíces y en este caso que a=1

x1 + x2 = -b         x1 . x2 = c

Las mismas raíces están presentes en ambas igualdades, como conocemos a b y a c igualamos a los valores conocidos, en consecuencia

x1 + x2 = -3

x1 . x2 = 2

En estas igualdades deberíamos encontrar dos valores tales que sumados den como resultado -3 y multiplicados den como resultado 2. Para el caso resulta sencillo ya que los valores -1 y 2 cumplen con tales condiciones. Veamos verificando en las igualdades anteriores.

(-1) + (-2) = -3

(-1) . (-2)= 2

De donde deducimos que las raíces son justamente

x1 = -1 ; x2 = -2

Luego

x2 + 3x + 2 = (x + 1).(x + 2)

Ejemplo 2

x2 - 5x + 6

Solución

En este caso conviene usar la propiedad de las raíces dado que los valores de b=-5 y c=6 son bastantes sencillos de expresar como suma y producto de dos números, proponemos las igualdades a resolver

x1 + x2 = 5

x1 . x2 = 6

Sencillo en el caso

2 + 3 = 5

2  . 3 = 6

En consecuencia

x1 = 2

x2 = 3

Finalmente

x2 - 5x + 6 = (x + 2) . (x + 3)

Otros ejemplos sin desarrollo.

2x2 - 3x + 1 = 2.(x - 1).(x - ½ )

⅓ x2 - ⅓ x - 2 = ⅓ . (x - 3).(x + 2)

x2 - 6x + 10 = x2 - 6x + 10

Nota: El discriminante resulta negativo por tanto no hay raíces reales, finalmente no puede ser factorizado este ejemplo

x2-2x-15=(x+3)(x-5)

Teorema del factor

El polinomio P(x) es divisible por un polinomio de la forma x - a si y sólo si P(a) = 0.
Al valor
x = a se le llama raíz o cero de P(x). Como puede observarse se está utilizando el Teorema del resto en la verificación de que el binomio x-a sea un divisor de P(x).
Observaciones

  1. Los ceros o raíces son divisores del término independiente del polinomio.
  2. A cada raíz del tipo x = a le corresponde un binomio del tipo (x − a).
  3. Podemos expresar un polinomio en factores al escribirlo como producto de todos los binomios del tipo x - a, que se correspondan a las raíces x = a que se obtengan.
  4. La suma de los exponentes de los binomios ha de ser igual al grado del polinomio.
  5. Todo polinomio que no tenga término independiente admite como raíz x = 0, ó lo que es lo mismo, admite como factor x.
  6. Un polinomio se llama irreducible o primo cuando no puede descomponerse en factores.

Veamos un ejemplo: Sea el polinomio

P(x)=x3 + 7x2 + 8x + 2

Proponemos como raíz x=-1, entonces (x+1) es divisor P(x), debe cumplirse que P(-1)=0

Comprobamos el resto de la división utilizando la Regla de Ruffini, entonces

P(-1)=(-1)3 + 7.(-1)2 + 8.(-1) + 2 =-1+7-8+2=0

Con lo cual comprobamos que el polinomio P(x) tiene como divisor a (x+1)

Aplicamos Ruffini para obtener el cociente

(x3 + 7x2 + 8x + 2) : (x + 1)

     | 1   7    8    2

  -1 |    -1   -6   -2

   ---------------------

     | 1   6    2    0

De donde

C(x)=(x2 + 6x + 2)

Con lo cual podemos expresar a P(x) como producto de su divisor y su cociente

(x + 1) (x2 + 6x + 2)

Nota: El segundo del factor aún puede expresarse como producto de factores, usando la factorización del trinomio de segundo grado por resolvente obtenemos dos raíces irracionales luego

Polinomios de grado superior a dos. Método de Gauss.

Para expresar como factores un polinomio de cualquier grado, un recurso es obtener sus raíces. Obtener las raíces implica resolver la ecuación P(x)=0, lo cual puede resultar complicado dado que no es cuestión de despejar. Se usa un recurso desarrollado por Karl Gauss conocido como Método de Gauss que permite obtener las raíces racionales de un polinomio con coeficiente enteros.

Para facilitar el aprendizaje veremos el Método de Gauss con un ejemplo. Sea

P(x)=x3 + 7x2 + 14x + 8

  1. Se buscan los divisores del término independiente, en este caso 8, cuyos divisores son 1, -1, 2, -2, 4, -4, 8 y -8.
  2. Luego se buscan los divisores del coeficiente principal, en este caso 1, cuyos divisores son 1 y -1.
  3. Se forman todos los cocientes posibles entre los divisores de 8 (término independiente) y los divisores de 1 (coeficiente principal). En dichos cocientes es probable que haya raíces racionales

1/1=1

-1/1=-1

2/1=2

-2/1=-2

4/1=4

-4/1=-4

8/1=8

-8/1=-8

1/-1=-1

-1/-1=1

2/-1=-2

-2/-1=2

4/-1=-4

-4/-1=4

8/-1=-8

-8/-1=8

  1. Eliminamos aquellos que se repiten y obtenemos las posibles raíces, que en este caso son 1, -1, 2, -2, 4, -4, 8 y -8.
  2. Utilizamos el teorema del resto para verificar las raíces obtenidas.

P(1)=13 + 7.12 + 14.1 + 8=30

x=1 No es raíz de P(x)

P(-1)=(-1)3 + 7.(-1)2 + 14.(-1) + 8=0

x=-1 es raíz de P(x)

P(2)=23 + 7.22 + 14.2 + 8=72

x=2 No es raíz de P(x)

P(-2)=(-2)3 + 7.(-2)2 + 14.(-2) + 8=0

x=-2 es raíz de P(x)

P(4)=43 + 7.42 + 14.4 + 8=240

x=4 No es raíz de P(x)

P(-4)=(-4)3 + 7.(-4)2 + 14.(-4) + 8=0

x=-4 es raíz de P(x)

P(8)=83 + 7.82 + 14.8 + 8=1080

x=8 No es raíz de P(x)

P(-8)=(-8)3 + 7.(-8)2 + 14.(-8) + 8=-168

x=-8 No es raíz de P(x)

  1. Como P(x) es de tercer grado y hemos encontrado tres raíces reales, podemos expresarla en función de las mismas, por lo que

P(x) = x3 + 7x2 + 14x + 8 = (x+1) (x+2) (x+4)

Ejemplo

P(x)=2x3 - 3x2 - 11x + 6

Divisores del término independiente: 1, -1, 2, -2, 3, -3, 6 y -6

Divisores del coeficiente principal: 1, -1, 2 y -2

Posibles raíces: 1, -1, ½, -½, 2, -2, 3, -3, 3/2, -3/2, 6 y -6

Verificamos las posibles raíces, en el el polinomio original

P(1) = 2.13 - 3 .12 - 11.1 + 6 = 2-3-11+6 = -6                (a)         x = 1         no es raíz

P(-2) = 2.(-2)3 - 3 .(-2)2 - 11.(-2) + 6 = -16-12+22+6 = 0                x = -2         es raíz

P(3) = 2.33 - 3 .32 - 11.3 + 6 = 54-27-33+6 = 0                        x = 3        es raíz

P(½)  = 2.(½)3 - 3 .(½)2 - 11.(½) + 6 = ¼ - ¾ -11/2 +6 = (1-3-22+24)/4=0        x = ½         es raíz

No hemos probado todas las raíces posibles, se busca entre las que son posibles candidatas y una vez que descubrimos tantas raíces como el grado del polinomio, detenemos la búsqueda. El polinomio es de grado 3 y tenemos 3 raíces podemos entonces expresar

P(x)=2x3 - 3x2 - 11x + 6 = a . (x+2) (x-3) (x - ½)

Solo nos queda determinar el coeficiente a para ello usamos x = 1 que no es raíz, según (a)

P(1) = -6

-6 = a . (1+2) (1-3) (1 - ½)

-6 = a . 3 . (-2) . ½

-6 = a . (-3)

a = -6 / -3

a = 2

Finalmente  

P(x)=2x3 - 3x2 - 11x + 6 = 2 . (x + 2) (x - 3) (x - ½)

Ejemplos

x4 - 15x2 + 10x + 24 = (x + 1).(x - 2).(x - 3).(x + 4)

4x3 + 4x2 - x -1 = 4 . (x + 1).(x + ½).(x - ½)

x3 - 19/3 x2 + 7x -5/3 =  (x - 1).(x - ⅓).(x - 5)

3x3 - 2x2 - 7x - 2 = 3.(x + 1).(x - 2).(x + ⅓)

Actividades y Ejercicios

  1. Complete el siguiente cuadro

P(x)

Grado de P(x)

Cantidad de términos

Coeficiente principal

Término independiente

Completo y ordenado

x5-2x3+3

x5-2x7+3x-1

-2x5-3x6+3x2

½ x4-2x2+3x- ⅕

12+x3-2x2-3x

  1. Escriba los siguientes polinomios descritos a continuación
  1. Monomio de segundo grado y coeficiente principal -2.
  2. Trinomio de segundo grado, coeficiente principal ¼, término independiente -½ y coeficiente del término lineal -⅓.
  3. Binomio de quinto grado con coeficiente principal -7 y término independiente 8.
  4. Cuatrinomio de tercer grado con coeficientes iguales unitarios y término independiente -2.
  5. Trinomio de segundo grado, coeficiente principal -2, a1=2 y a0=-3.
  6. Polinomio de dos términos, grado 4, coeficiente principal 3 y coeficiente -⅓ del término de segundo grado.
  1. Dados los polinomios         P(x) = 4x2 − 1; Q(x) = x3 − 3x2 + 6x − 2;  R(x) = 6x2 + x + 1;  
    S(x) = 1/2x
    2 + 4; T(x) = 3/2x2 + 5 ;  U(x) = x2 + 2 resolver
  1. P(x) + Q (x) =
  2. P(x) − U (x) =
  3. P(x) + R (x) =
  4. 2 P(x) − R (x) =
  5. S(x) + T(x) + U(x) =
  6. S(x) − T(x) + U(x) =
  1. Dados los polinomios P(x) = x4 − 2x2 − 6x − 1 ;        Q(x) = x3 − 6x2 + 4 ;         
    R(x) = 2x
    4 − 2x − 2 Calcular:
  1. P(x) + Q(x) − R(x) =
  2. P(x) + 2 Q(x) − R(x) =
  3. Q(x) + R(x) − P(x) =
  1. Multiplicar
  1. (x4 − 2x2 + 2) · (x2 − 2x + 3) =
  2. (3x2 − 5x) · (2x3 + 4x2 − x + 2) =
  3.  (2x2 − 5x + 6) · (3x4 − 5x3 − 6x2 + 4x − 3) =
  1. Realiza las operaciones indicadas con los siguientes polinomios P(x)=3x3-2x2-3x+1, Q(x)=5x2-2, R(x)=-3+4x-2x2-2x5-3x4 y S(x)=2x4-3x2-x+5.

P(x) +  Q(x)

P(x) +  S(x)

P(x) -  Q(x)

P(x) +  Q(x) + S(x)

P(x) -  S(x)

Q(x) -  P(x)

P(x) -  S(x)

P(x) -  Q(x) + R(x)

P(x) . Q(x)

P(x) . S(x)

R(x) . Q(x)

[S(x) . Q(x)] - R(x)

-3 . P(x)

-¼ . [Q(x)]2

[Q(x)]3

-5 . S(x)

  1. Dividir los siguientes polinomios

(x4-2x3-11x2+30x-20) : (x2+3x-2)

(x6+5x4+3x2-2x) : (x2-x + 3)

(2x5+2x3-x-8) : (3x2-2x+1)

  1. Obten cociente y resto de la división usando Ruffini.

(x3 + 2x +70) : (x + 4)

(x5 - 32) : (x - 2)

(x4 - 3x2 +2) : (x - 3)

  1. Obten resto de las siguientes divisiones e indica cuales son exactas

(x5 + 2x2 -3) : (x - 1)

(2x4 -2x3+3x2+5x+10) : (x + 2)

(x3 - 2x2 +2) : (x - 3)

(x3 − 5x −1) : (x − 3)

(x6 − 1) : (x + 1)

(x4 − 2x3 + x2 + x − 1) : (x − 1)

(x10 − 1024) : (x + 2)

  1. Comprueba que los siguientes polinomios tienen como factores los que se indican:
  1. (x3 − 5x −1) tiene por factor (x − 3)
  2. (x6 − 1) tiene por factor (x + 1)
  3. (x4 − 2x3 + x2 + x − 1) tiene por factor (x − 1)
  4. (x10 − 1024) tiene por factor (x + 2)
  1. Hallar a y b para que el polinomio x5 ax + b sea divisible por x2 − 4.
  2. Determina los coeficientes de a y b para que el polinomio x3 + ax2 + bx + 5 sea divisible por x2 + x + 1.
  3. Encontrar el valor de k para que al dividir 2x2 − kx + 2 por (x − 2) dé de resto 4.
  4. Determinar el valor de m para que 3x2 + mx + 4 admita x = 1 como una de sus raíces.
  5. Hallar un polinomio de cuarto grado que sea divisible por x2 − 4 y se anule para x=3 y x=5.
  6. Calcular el valor de a para que el polinomio x3 − ax + 8 tenga la raíz x = −2, y calcular las otras raíces.
  7. Desarrolla los siguientes cuadrados de binomios.

(x + 5)2 =

(2x − 5)2 =

(3x − 2)2 =

(x2 - ½ x)2 =

  1. Desarrollar los cubos de los siguientes binomios

(2x − 3)3 =

(x + 2)3 =

(3x − 2)3 =

(2x + 5)3 =

  1. Desarrollar.

(3x − 2) · (3x + 2) =

(x + 5) · (x − 5) =

(3x − 2) · (3x + 2) =

(3x − 5) · (3x − 5) =

  1. Desarrollar las siguientes expresiones.

(x2 − x + 1)2 =

8x3 + 27 =

8x3 − 27 =

(x + 2) (x + 3) =

  1. Factorizar y calcular las raíces de los polinomios

x3 + x2

2x4 + 4x2

x2 − 4

x4 − 16

9 + 6x + x2

x2-x-6

x4 − 10x2 + 9

x4 − 2x2 + 3

2x4 + x3 − 8x2 − x + 6

2x3 − 7x2 + 8x − 3

x3 − x2 − 4

x3 + 3x2 − 4 x − 12

6x3 + 7x2 − 9x + 2

  1. Factorizar los polinomios

9x4 − 4x2 =

x5 + 20x3 + 100x =

x5 − 18x3 + 27x =

2x3 − 50x =

2x5 − 32x =

2x2 + x − 28 =

  1. Descomponer en factores los polinomios

2/5 x5- 6/5 x4 + 14/15 x2 =

xy − 2x − 3y + 6 =

25x2 − 1=

36x6 − 49 =

x2 − 2x + 1 =

x2 − 6x + 9 =

x2 − 20x + 100 =

x2 + 10x +25 =

x2 + 14x + 49 =

x3 − 4x2 + 4x =

3x7 − 27x =

x2 − 11x + 30

3x2 + 10x + 3=

2x2 − x − 1=