* GEOMETRIES PROJECTIVE ET CONSTRUCTIVE * * DU POINT DE VUE AVANCE * * DES PROPORTIONS ARITHMETIQUE, HARMONIQUE * * ET GEOMETRIQUE *

par' Yves Messer'

Introduction

Or' de tous les liens, le meilleur' est celui qui de lui-même et des choses qu'il unit, forme une unité aussi parfaite que possible, et cette unité, C'est la proportion...]] Timée

Le but de oe rapport se confond avec son itinéraire.

Il est en effet ne’ de l'intérêt porté sur un aspect particulier de la géométrie projective, à savoir la science et l'art de la perspective, pour découvrir la Proportion comme principe constructif en géométrie.

Eh effet, pour maîtriser la perspective comme science, tout comme l'ensemble des problèmes posés par la géométrie projectìve, ilm'apparut

indispensable de Comprendre le príncipe de la géométrie Constructive en

deux dimensions (plane) sur' laquelle s'appuie l'ensemble de la géométrie projective. Bien plus, l'on en arrive rapidement à découvrir' que ces geometries, constructive et projective, ne sont en faitivles deux aspects d' une seule et même méthode géométrique dont son fondateur, du moins en France, s'appelle le très grand Gérard Desargues, suivi par d'autres géants oomrne Blaise Pascal, Leibniz, Brianohon, Ponoelet, Carnot, Monge ou Steiner.

Le principe sous-tendant cette science peut facilement se résumer', plus difficilement se Comprendre. La Proportion, qui est oe principe, est une notion qui enferme par' définition toute Construction possible.

Que signifie alors oe terme, Certes Connu, mais apparemment bien vague pour pouvoir définir ainsi la nature des géométries Constructive et projective ? Et bien, si oe n'est suffisamment Clair; regardons la chose d'un point de vue inversé. Considérons que toute être géométrique est, de par sa nature, proportionné, comme le sont tous les objets de la Création Mais "proportionnés" au sens défini par le Tímée, oi-dessus. Au sens de l' "harmonie préétablie" de Leibniz.

Come nous le démontrerons plus loin; l' introduction de cette "caractéristique géométrique" qu'est la Proportion dans un espace, déterminera tout ce qui est possiblement constructible dans ce même espace. Cette caractéristique, critère-même d'existenoe dans l'univers physique, détermine ce qu'on appelle un "potentiel". Les différents modes de Proportion (arithmétique, harmonique, géométrique) seront autant de modes d'aotion dans l'univers physique comme les travaux de Kepler et Gauss sur l'orbite des planètes, le démontrèrent.

Ce rapport déterre en quelque sorte oe qui est l' ABC de toute science géométrique, comme le général Ponoelet lorsqu'il fit redécouvrir a Polytechnique les travaux de Desargues. Cet ABC est la méthode géométrique, une méthode qui nous fait découvrir plus qu'on ne Cherche.

Paris, le 25 novembre, 1986

Géométrie de la géométrie Constructive page?.

Chapitre I

Notions préliminaires sur les grandeurs et leurs mesures: ou, Comment mesure-t-on ?

Nous Considérons ici par "grandeur" toute "quantité" de n'importe quelle nature comme les longueurs, surfaces, volumes, poids ou temps... L'étude elle-même portera seulement sur le premier de Ces types de grandeurs, servant ainsi de point de Comparaison pour les autres.

Or considérer que toute grandeur existe en soi Conduit nécessairement l'absurdité qu'elles ne sont en rien comparables, oe qui mettrait en doute leur propre existence, ainsi que oelle de tout individu soutenant cette hypothèse.

Toute grandeur étant donc Comparable; il faut ici rapidement introduire la notion de lœsure, et d'unité de mesure.

Nous isolerons trois types essentiels de mesure entre deux grandeurs au minimum:

la différence (opération de soustraction)

2) le rapport (opération de division)

5) la racine carrée

La différence entre ces trois types de mesure réside dans l'ordre de multiplicité différencient plusieurs opérations entre grandeurs (Cantor); opérations d'addition, de multiplication et de puissance. Leurs sont attachées respectivement les opérations de soustraction, de division et de racine come l'est le minimum au maximum (Cuse). Ainsi toute action dans l'univers réel (ou opération en mathématiques) aura sa forme délimitée par` un minimum et un maximum. Le minimum est parI définition, l 'unite' (le minimum) ou quantum (minimum) d'aotion; o'est-à-dire la mesure de cette action. Le maximum étant la limite vers laquelle tend l'aotion.

En 'liant' entre elles différentes grandeurs obtenues, en les 'oonneotant', on tend vers l'unité globale. Cette "connexion" est la "proportion". Il n'y a dono 'proportion' apparente que là où il y a manque d'unité, là où il y a 'inégalité'. Dans le oas contraire; là où il y a 'égalité', il n'y a pas de proportion visible. Cette 'inégalité' est donc une singularité. En effet, l'existenoe-même d'une inégalité entre deux grandeurs fait nécessairement apparaitre trois Caractéristiques:

un maximum, C'est-à-díre l'ensemble des grandeurs créées dans leur unité globale.

2) un minimum, qui Correspond à l'ínégalité entre grandeurs prise come leur unité de mesure.

5) la connexion entre ce minimum et ce maximum; c'est-à-dire la Proportion qui confère à cette unite' devenue trine la qualité d' unite' naxinnm.

La Connexion entre deux nombres est appelée en grec "Logos".

C'est dono en oe sens qu'il faut comprendre oe passage oi-avant Cité du Timée de Platon: Or de tous les liens, le meilleur est Celui qui de lui-même et des choses qu'il unit, forme une unité aussi parfaite que possible, et cette unité, C'est la Proportion (Logos)...]]

Géométrie de la géométrie constructive page s

Définition des "Proportions":

Alors que le principe de "mesure" connecte deux grandeurs entre elles, celui de "proportion" lie au minimum trois grandeurs entre elles, chacune reliées aux autres par deux mesures, C'est-à-dire, trois au total à l'image du triangle dont les angles sont liés deux à deux par trois Côtés. La proportion, comme nous le verrons, est la mesure de l'espaoe à deux dimensiorrSdont l'unité (minimum) est le triangle.

Le principe de "proportion" est aussi a la "mesure" entre grandeurs ce que cette dernière est aux grandeurs. C'est aussi le "type" de relation entre oes mesures, C'est-è-dire la différenoe de nature des "inégalités", qui différenciera un type de proportion d'un autre.

Penons les trois longueurs de segment A, B et C et leurs quatre pointslimites a, b, C et C', avec C'a, et (Fig. 1).

Suivant la nature de l'ínégalité entre les A et B; trouver C proportionné.

Le principe est que oette inégalité, minimum, est une œsure constante. ll s'agit dono de trouver la relation Constante de proportion entre tous les A, B et C.

Soit le segment ab, l'inégalité entre A et B, fixe et les points c et C' variables:

§2.1 Proportion Aritmétique (P.A.): D'un point de vue d' addition de grandeurs, l'inégalité entre A et B sera leur différence prise Corrme valeur constante.

<5) pour toutes valeurs de A, B et C

Géométrie de la géométrie constructive page'h

§2.2 La Proportícn Har'monique (P.H.):

Du point de vue de la multiplication; les rapports ca/cb = seront égaux et constants.

Ainsi C, 'moyenne harmonique' (MJ-I.) de A et B s'esprímera comme suit:

Du point de vue des puissances de A et B, puisqu’à A x B correspond une addition de leurs exposants (cfr. théorie des logarithmes), on considerara que la différence de leurs exposants sera constante.

On l'exprime come suit:

log A log B = este. Ce qui nous ramène dans une situation similaire au 2.1, mais avec des exposants au lieu de longueurs de Segments. On peut donc directement exprimer que:

logC=logA+logB//2

Ainsi C, 'moyenne géométrique' (M.G.) de A et B, s'exprimera comme suit:

§2.4 Camexicn mathématique entre les P.A., P.H. et P.G.:

De (8) et (9) on tire immédiatement que:

M.G. V X M.H. (10)

De cette relation, plusieurs Conclusions peuvent déjà être tirées d'un point de vue mathématique:

1 ) M.G. est la moyenne géométrique des moyennes arithmétique et harmonique.

Géométrie de la Géométrie construd'we page 5

Donc les M.A., M.H. et M.G. forment un ensemble de trois grandeurs dont M.G. est la connexion.

2) M.A. et M.H. sont complémentaires, comme le sont un objet et son image inversée. Ceci est visible par (8).

En effet, si nous prenons l'exemple le plus simple. Soient A = 2, B = 1, on obtiendra pour les M.A. successives les valeurs:

(2,1); <4/2,5/2,2/2>; <8/4,7/4,6/4,5/4,4/4>; <16/8«,`15/8,14/8,15/8,12/8, 11/8,10/8,9/8,8/8), etc.

On obtiendra pour les M.H. successives les valeurs:

(2,1); (4/2,4/5,4/4); (8/4,8/5,8/6,8/7,8/8); (16/8,16/9,16/1O,16/11,16/12, 16/15,16/14,16/15,16/16); etc. Ainsi si l'on compare ces différentes valeurs de NLA. et M.H., on peut constater qu'elles 'couvrent' en haut en bas de la barre de fraction, l'ensemble des nombres entiers. Les M.A. et M.H., ensemble, couvrent l'ensemble des nombres rationnels.

5) M.A. et M.H. sont Complémentaires dans la mesure où M.A. est la limite inférieure de M.H., celle-ci étant sa límite supérieure.

En effet, si A et B sont au maximum de longueur infinie, le rapport A/B tendra vers un. Dono à 1'ínfíní, = 1 = ca/cb. Donc ca = ob, lorsque tend vers un.

Ainsi le maximum en P.A. correspond au minimum (A/B=1) en P.H.

En effet, puisque M.G.= V A x B = V M.A. x M.H.; les couples (A,B) et (M.A.,M.H.) font partie d'une fonction continue dont la limite est M.G. En effet, si l'on exprime mathématiquement une série continue de couples (M.A. ,M.H.) successifs:

M.A.1 = A + B // 2 M.A.2 = M.A.1 + M.H.1 // 2

et donc: et M.H.1=2AxB//A+B (8)M.H.2=AxB//M.A.2

A l' infini (1); les M.A.í et doivent s'égaler, puisqu'íls tendent vers la même valeur. Donc: M.A.í A x B // M.A.í

A la limite, le couple (M.A.,M.H.) tend donc bien vers la M.G. de A et B. Ceci peut aussi constituer une méthode rapide, précise et pratique pour déterminer la valeur d'une M.G. C'est la même méthode utilisée par Gauss pour` calculer la surface des orbites elliptiques cles Planètes,

Premières omclusíons:

Les P.A., P.H. et P.G. forment une unite’ inter-connectée, une 'unite' trine' comme dirait Nicolas de Cuse. La première finit l`a où 1a seconde commence formant un Couple dissymétrique complet trouvant dans la troisième; la fois leurs connexion et limite. Las "fin et moyen" des

Géométrie de la Géométrie çansfvvdwf» page 6

deux premières. Elles forment pour ainsi dire la "trinité" de la géométrie en deux dimensions.

En fait, il y a entre le Couple M.H. et laM.G. un changement de géométrie; le premier opérant essentiellement dans l‘univers des nombres rationnels, le second exclusivement dans l ‘univers des nombres dits "irrationnels".

Musicalement, si l'on reprend l'exemple simple du §2.4 où 2 et 1; le rapport A/B = 2, c'est-à-dire l' octave musicale. La M.A.= 5/2 C'est-à-dire la note Fa si A et B sont Do. La M.H. 4/5 c'est-è-dire le Sol. Le couple M.H. détermine donc l'íntervalle d‘un Ton, entre fa et Sol.

La M.G. C'est-à-dire la note Fa à (ou Sol b). Elle détermine la valeur' du demi-ton, unité minimum de mesure ou quantum minimum d'action. L'ensemble Do-Fa-Faát-Sol-Do permet de construire l'ensemble du système bien-tempéré de 12 demi-tons et 24 clés, en partant du point de Vue de la P.G. et de la valeur` du demi-ton. L'octave, le demi-ton et la quinte sont dono respectivement le maximum, le minimum et la connexion du système bien tempéré. Nicolas de Cuse, dans son "Idiota: De Mente" démontre explicitement qu'il avait compris cette notion lorsqu'il expliqua que le "demi-ton par rapport au ton entier est oormle le côté du carré par rapport è sa diagonale".

En effet, ce rapport entre le côté du carré et sa diagonale est précisé

ment de: par (8): F3445 est bien la M.G. de Fa et Sol et vaut V-Z!

Cmpítre II: LE CDUPLE ILA.- DLH.

Préliminaìre sur 1a notion de rapport:

Puisqu'au vu de oe qui a été démontré, le couple M.H. est indissociable, il convient de considérer la P.A. du point de vue de sa limite supérieure. En d'autres termes, Considérons la P.A. comme une P.H. mais de rapport A/B = 1. (I, §2.4) Les M.A. se situerons donc toujours à mi-chemin entre deux valeurs prises comme limites.

D'un point de Vue plus général, il a été vu (I, §22) que la mesure entre deux valeurs quelconques dans le cas de la est le rapport A/B: K , avec K comme valeur` constante. Etant constante, à K correspondra une série non-finie de valeurs Ai et Bi telles que Ai/Bi dont voici l'illustration géométrique (Fig. 2): A et B sont représentés par deux segments de droite oolinéaires oa et ob, projettés d'un point o quelconque, formant les triangles (quelconques) oab, oao et obo:

Géométrie de la Géométrie consïfudfvc

pag.2

Fig.5

Ces triangles sont donc semblables.

En vertu du principe des triangles semblables; le rapport des segments K alors que le rapport des segments oai+1 obi sera aussi égal. Dono, tout rayon oo, issu du centre o, ooupera les droites (ab)i dans un même rapport.

Le rapport K4 est pour ainsi dire cormle une valeur constante "projetée" travers les différentes valeurs de Ai et Bi.

En conclusion (Fig. 3); tout segment divisé suivant un ou plusieurs rapports peut être projeté comme une valeur constante à partir d'un centre de projection. Les rayons issus de oe _ oentre diviseront toute droite parallèle au segment donné suivant oe ou ces mêmes rapports. Inversement, ces droites parallèles peuvent être considérées comme un faisceau de rayons de centre infiniment éloigné (hors-limites dirons nous). Inversement, ce faisceau de rayons parallèles divisera tous les rayons centrés, suivant le ou les rapports répartissant ces rayons parallèles, en vertu de la similitude des triangles. Si l'on a affaire à deux faisceaux de rayons parallèles, ils se diviseront mutuellement suivant le même principe en vertu de la similitude des quadrilatères ainsi formés.

Dès lors, le lieu des NLA. par rapport aux points de deux rayons centrés sera une droite passant par le milieu d'un faisceau de droites parallèles entre elles. Y

(Fig. 4) Aussi, le lieu des M.A. par rapport aux points de deux droites parallèles, sera une droite parallèle située à mi-chemin des deux autres, c'est-è-dire la bisseotrioe de l'angle (nul) formé par ces deux droites parallèles. Toute droite, tirée d'un point quelconque et traversant oes rayons parallèles, les interseotera en des points arithmétiquement proportionnés avec ce même point.

Géométrie de la Géométrie consrfudçœ page 8

Fig. 4

Le rapportK, mesure de A et B ainsi que l'angle d'ouverture (aob) les encadrant, doivent être considérés comme les deux composantes d'un même invariant géométrique. Cet invariant géométrique est généralement appelé "similitude . "

Nous allons aborder le principe constructif géométrique de la P.H. suivant ces deux aspects de la "similitude"; d'abord l'angle d'ouverture pris come constante, puis du point de vue du rapport comme constante.

§2 Rayons harmoniques et quadrilatère complet: '

Que se passe-t-il lorsque deux faisceaux de rayons centrés s'íntersectent ? Repartons de l'exemple de la Fíg.4.

Si l'on fait traverser les trois rayons issus de o et passant par a, b et c, par une droite quelconque, mais non parallèle au segment ab, elle intersectera oes rayons en trois points non arithmétiques; a', b' et c'. Pour revenir a une situation connue, faisons passer par ces points dont le centre o, quatre droites parallèles au segment ab dont les intersections avec les trois rayons oa, ob, oo sont les douze points a', an’ an" by’ by" by", C" Cv', Cvlv et d" di', O (Fig. 5):

Geometrle de la Geometrle CoMYWßNW page 9

De la similitude des triangles (b",o',b') et (a',o',d") et Celle des triangles (b",o et (a',o ,a"), on peut tirer que le rapport et est dono égal à Les points o, b"', C', sont dono harmoniques par définition...

Ainsi toute droite traversant les quatre parallèles sera divisée harmoniquement.

Bien plus, puisque la droite a'b'o'd' est choisie quelconque, toute droite traversant les quatre ravons issus-du oentre o. sera divisée harmoniquement. C'est la raison pour laquelle oes quatre rayons sont dits "harmoniques". Ceoi est important et signifie, a la différence du simple rapport comme vu précédemment, que la notion de proportion (harmonique) est un "invariant" projetable. En effet, dès que quatre rayons sont harmoniques, toute sécante sera proportionnée harmoniquement bien que ses rapports internes soient variables, eux. Il n'y a dono pas "Conservation" des rapports de proportion entre segments, mais des p_rgportions seulesl Ceoi réside dans la relation existant entre les angles formés par les rayons harmoniques entre eux, oes angles étant pris comme invariables pour Chaque situation géométrique.

Inversément, tous rayons centrés passant par quatre points harmoniques alignés, seront harmoniques.

Quatre rayons seront dono dits harmoniques si le quatrième rayon est parallèle au segment de droite divisé arithmétiquement par les trois premiers. Dans le cas de la P.A., le quatrième point "harmonique" sera rejeté "hors-limite" du point de vue de la P.H. Il est indéterminé, du point de vue de la P.A.; er1 effet tout quatrième point sur la droite sera arithmétiquement proportionné avec les trois autres.

La P.A. peut dono être considérée oonme une P.H. dont le quatrième point harmonique est indéterminé, Ce que nous allons Voir d'une manière plus yisible par la suite. _A l A A

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