Тема: Прикладні задачі на знаходження найбільших і найменших значень

     реальних величин

Мета:

освітня: розширити уявлення учнів про похідну функції, сформувати у них

чітке уявлення про застосування похідної при розв’язуванні прикладних задач, навчати типовим методам розв’язування таких задач;

розвиваюча: розвивати увагу, розумову діяльність, уміння учнів робити                  порівняльний аналіз, спонукати до пізнавальної діяльності;

виховна: виховувати працьовитість, активність, інтерес до математики.

Тип уроку. Урок комбінований

Обладнання. Інтерактивна дошка, презентація у Power Point,

роздатковий матеріал, «аркуш настрою»

Епіграф:  «Знання лише тоді знання, коли воно отримане

                   зусиллям розуму, а не пам’яті»

Л.М.Толстой.

Хід уроку

І. Організація класу. Створення емоційного настрою

На інтерактивній дошці з’являється перший слайд презентації – гірська вершина і напис «Підняття на вершину»

• Яке враження викликає у вас цей слайд? Які думки з’являються у вас, коли ви бачите напис: «Підняття на вершину»?

Учні говорять, що перш за все подумали про альпіністів і скелелазів.

• Так, звичайно, для того щоб піднятися до вершини гори, потрібно проявити чималу уважність, працелюбність і наполегливість. Але чи не ці самі якості потрібні вам для того, щоб навчатися? Чи бувало так, що домашня задача аж ніяк не хоче розв’язуватися? Ви пробуєте підійти до неї з різних сторін, згадуєте, про що йшлося на уроці, шукаєте формули у довідниках. І раптом – еврика! Розв’язання, що весь час вислизало із рук, нарешті удається схопити за хвіст. Невже ви тоді не відчуваєте себе так, нібито виросли відразу на цілу голову, піднялися вище у своїй самооцінці? Якщо вдатися до аналогії, то кожний урок, який ви переживаєте, можна уявити як підняття до вершини – до вершини знань.

На слайді до слів «підняття на вершину» додається слово «знань»

• Звичайно, жодний альпініст не може піднятися від підніжжя гори відразу до її вершини. Він долає довгий шлях, переходить із однієї стежини на іншу. Так само і ми сьогодні на уроці будемо, поступово переходячи з однієї стежини на іншу, неухильно підніматися до вершин знань.
• Для того, що налаштувати вас на потрібний настрій і тон уроку, я хочу розповісти вам індуську притчу.

         Магараджа вибирав собі міністра. Він оголосив, що візьме того, хто пройде по стіні навколо міста з глечиком, доверху наповненим молоком, і не проллє ні краплини. Багато людей пробувало пройти, але їх по дорозі спеціально відволікали і вони проливали молоко. Аж ось пішов один чоловік. Навколо нього кричали, стріляли, його всіляко лякали. Але він не пролив молоко. «Ти чув крики, постріли? – спитав його потім магараджа, - ти бачив, як тебе лякали?». «Ні, повелителю, я дивився на молоко».

        «Не чути і не бачити нічого стороннього» - ось як має бути сконцентрована увага. На сьогоднішньому уроці я бажаю вам саме такої уваги.

ІІ. Повідомлення теми і мети уроку

На слайді з’являється тема уроку

Тема нашого уроку «Прикладні задачі на знаходження найбільших і найменших значень реальних величин». Це означає, що ми повинні пригадати основні властивості похідної функції та алгоритми її застосування при розв’язуванні задач на знаходження найбільшого і найменшого значення, в тому числі прикладних задач. Я бажаю вам удосконалити свої знання з даної теми та набратися практичного досвіду.

ІІІ. Актуалізація суб’єктивного досвіду та опорних знань учнів

На дошці з’являється слайд з написом  «Знання збираються по краплині, як вода в долині»

• Перша наша стежина, по якій ми починаємо сходити угору, проходить під девізом: «Знання збираються по краплині, як вода в долині». Перш ніж починати розв’язувати задачі потрібно повторити теорію. Зараз ми проведемо навчальну гру «Доміно». На ваших картках написане одне запитання і одна відповідь. Починає читати запитання учень, у якого на картці написано «Старт». Учень, у якого на картці написана відповідь на це запитання, зачитує його, а потім читає своє запитання з картки. І так далі продовжуємо запитувати один одного і відповідати, аж поки нарешті не дійдемо до картки із написом «Фініш».
• Навчальна гра «Доміно»

На дошці з’являється слайд з написом «Знати – це означає, насамперед,  уміти користуватися знаннями». 

• Ми переходимо на наступну стежку, яка нагадує нам слова видатного учителя В.О.Сухомлинського «Знати – це означає, насамперед,  уміти користуватися знаннями». Закріпимо знання з теорії практичними вправами.

На дошці з’являється наступний слайд – завдання на встановлення відповідностей

Вам необхідно обчислити похідні даних функцій та встановити відповідності між умовами і відповідями.

• Розв’язування завдань

Учні встановлюють відповідності і завдання впорядковуються на екрані. Потім замість них з’являється портрет Ньютона і Лейбніца.

• Виступ учня. Наука, що на сьогодні називається математичним аналізом, виникла в працях багатьох видатних математиків XVII століття - спочатку у вигляді окремих теорем та методів розв'язування деяких задач. До кінця XVII століття основні положення цієї нової для того часу науки остаточно оформилися (причому одночасно) в роботах двох найвизначніших учених тієї епохи - англійського фізика та математика Ньютона та німецького математика і філософа Лейбніца.

Виникнення цієї математичної дисципліни не випадково припадає саме на XVII століття. У цю епоху розвиток науки та техніки дійшов тієї межі, коли для подальшого просування вперед необхідно було глибше проникнути у суть речей, вивчити закони природи та процеси, що відбуваються в навколишньому середовищі.

Ключовими поняттями математичного аналізу є поняття функції, границі, похідної та інтеграла.

Термін „функція" вперше запропонував у 1692 р. видатний німецький філософ і математик Готфрід Вільгельм Лейбніц. Термін „границя" і відповідний символ lim вперше було введено англійським математиком і механіком Ісааком Ньютоном.   Ісаак Ньютон (1643—1727) і дещо пізніше у 1673—1675 рр. німецький філософ і математик Готфрід Вільгельм Лейбніц (1646—1716) незалежно один від одного побудували теорію диференціального числення. І.Ньютон прийшов до поняття похідної, розв'язуючи задачі про миттєву швидкість, а Лейбніц — розглядаючи геометричну задачу про проведення дотичної до кривої.

V. Закріплення знань, умінь і навичок

• Хочу нагадати вам, що темою нашого уроку є «Прикладні задачі на знаходження найбільших і найменших значень реальних величин». Прикладні задачі – це задачі, пов’язані із побутовим життям, із фаховою діяльністю людини. Вони найкраще розкривають перед нами практичне застосування вивченого матеріалу. Саме до розв’язування прикладних задач запрошує нас наступна стежина, девіз якої «Не досить оволодіти премудрістю, потрібно також уміти користуватися нею».
• На слайді з’являється девіз.
• На минулому уроці ми розв’язували задачі на знаходження найбільшого і найменшого значення функції. Пропоную згадати алгоритм розв’язування таких задач.
• На слайді з’являється алгоритм знаходження найбільшого і найменшого значення функції.

• Перед вами умова задачі. До речі, ця задача була запропонована на ЗНО у 2009 році. Які пропозиції у вас будуть щодо її розв’язування?
• На слайді – умова задачі з відповідним рисунком до неї.

Задача 1

На лузі біля річки треба обгородити ділянку прямокутної форми, що прилягає до прямолінійного берега річки (з боку річки огорожа не встановлюється). Завезено 200 погонних метрів огорожі. Якими повинні бути розміри відповідного прямокутника, що його площа була найбільшою?

• Учень розв’язує задачу біля дошки.

Позначимо через х ширину ділянки прямокутної форми, а її довжину через 200 – 2х. Площа ділянки дорівнює S(х) = х∙(200 – 2х) = 200х – 2х2. Задача зводиться до відшукання найбільшого значення функції  S(х) = 200х – 2х2 на проміжку [0; 200]. S/(x) = 200 - 4x. 200 – 4x = 0. x = 50.

S(0) = 0

S(50) = 5000

S(200) = - 40000

Найбільшого значення на проміжку [0; 200] функція досягає у точці 50. Це означає, що ширина ділянки має бути 50 м, а довжина 100 м.

• Наступна задача більш складніша, тому я пропоную при її розв’язанні скористатися методом «Дерево рішень»
• На слайді – умова задачі.

Задача 2

Дано прямокутний лист жерсті розміром 80 х 50 см. Треба виготовити з нього відкриту зверху коробку найбільшої місткості, вирізавши по кутах квадрати і загнувши краї. Якою повинна бути довжина сторони такого квадрата?               

• Інтерактивна вправа «Дерево рішень»
• На дошці прикріплюється лист ватману з намальованим деревом. На листі записуються пропозиції та хід розв’язування задачі.
• Учень розв’язує задачу біля дошки.

Розв’язання

  Позначимо через    х  довжину сторони квадрата, що вирізується. Очевидно, що 0  х  25. Об’єм коробки (прямокутного паралелепіпеда ) дорівнює добутку площі основи на висоту. При зазначеному способі виготовлення коробки основа її - прямокутник із сторонами 80 – 2х і 50 – 2х, а висота х; відповідно об’єм коробки становить:   V (x)= (80-2x) ∙(50-2x) ∙x = 4x3-260x2+ 4000x.

Задача звелась до знаходження найбільшого значення функції на проміжку [0; 25]. Знайдемо критичні точки.  V/ (x) = ( 4x3-260x2+ 4000x )/ =12х2 - 520х + 4000. 12х2 - 520х + 4000 = 0;     х =   і  х = 10. Інших критичних точок функція не має, бо похідна існує для всіх х.

   Проміжку [ 0;25]  належить лише одна точка х=10. Обчислимо значення

V (x ) у цій точці  і на кінцях проміжку:

V (10 ) = 4 103-260 102+ 4000=18000;  V (0 ) = 0;  

V (25 ) = 4 253-260 252+ 4000 25=0        

Отже, найбільшого значення  функція V (x ) досягає на  проміжку [0; 25]

у  точці 10. Це означає, що коробку найбільшого об’єму можна виготовити, вирізавши по кутах даного листа жерсті квадрати із стороною 10 см.

• До вершини знань сьогоднішнього уроку залишилася не пройденою всього одна стежина. Вона вибрала собі девіз: «Один розум добре, а декілька – краще».
• Відкривається слайд з девізом
• Це означає, що зараз вам доведеться попрацювати у парах. До вашої уваги пропонується наступна задача. Для тих, хто ще не впевнений, що може самотужки розібратися з розв’язуванням задачі, я пропоную опорну картку.
• Слайд з умовою задачі та опорною карткою.

Задача

Парканом довжиною 80 м треба огородити прямокутну ділянку найбільшої площі. Знайдіть розміри ділянки.

Відповідь: 20 х 20 м.

• Робота в парах під керівництвом учителя

VII. Підсумок уроку.

• Наш урок підійшов зо завершення. І зараз я хочу дізнатися, чи усім вдалося домогтися успіху і подолати чергову вершину знань. Для цього я роздаю вам аркуші самооцінювання – так звані «сходинки знань». На них зображено наш маршрут у вигляді сходинок. Сходинок стільки,  скільки було етапів уроку. Поставте над кожною сходинкою у відсотках результат тощо, наскільки успішно ви опанували даний етап, тобто чи пройшли ви стежину, якою ми мандрували, до кінця чи десь зупинилися на ній, бо чогось не зрозуміли.
• Самооцінювання учнів
• Виставлення оцінок

VIII. Домашнє завдання