SEGUNDO CICLO

Unidad 2: Geometría, segmentos y ángulos.

Punto.

Recta

Semirrecta

Plano

Semiplano

Segmento

Mediatriz de un segmento.

Construcción de la mediatriz.

Ángulos

Ángulo convexo.

Ángulo cóncavo

Clasificación de los ángulos

Bisectriz de un ángulo.

Construcción

Distancia de sus puntos a los lados del ángulo.

Punto de intersección de las bisectrices de un triángulo.

Respecto de un triángulo al construir las bisectrices de sus tres ángulos, estas concurren en un punto al cual denominamos incentro. Este punto es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo.

Puntos de intersección de las mediatrices de un triángulo

Cuadriláteros

Los cuadriláteros son polígonos de cuatro lados, cuatro vértices, cuatro ángulos y dos diagonales. La suma de sus ángulos interiores, sea cual sea el cuadrilátero, es igual al ángulo de un giro, es decir 360°

Clasificación de los cuadriláteros

Paralelogramos

Cuadrado

Rectángulo

El rectángulo tiene sus cuatro ángulos rectos, las diagonales iguales y se cortan en su punto medio.

Rombo

Tiene sus cuatro lados iguales, los opuestos paralelos, sus ángulos opuestos son iguales y sus diagonales se cortan perpendicularmente en su punto medio.

Romboide

Trapecios

Trapezoides

Ángulos adyacentes

Ángulos opuestos por el vértice

Ángulos determinados por dos paralelas y una transversal.

Ángulos Correspondientes

Alternos Internos

Alternos Externos

Conjugados Internos

Conjugados Externos


SEGUNDO CICLO

Unidad 2: Geometría, segmentos y ángulos.

Previo a cualquier concepto debemos recordar los conceptos fundamentales de la geometría plana, punto, recta y plano.

Punto.

Definimos así a la marca dejada por el lápiz sobre el papel o la punta de la tiza sobre la superficie de un pizarrón, viene a representar la base de cualquier representación geométrica. Los puntos en si no tienen posibilidad de medición es simplemente lo que és, aunque en el plano si lo podemos ubicar siempre con respecto a un sistema de coordenadas cartesianas como un par de valores (x,y).

autor  Jean-Luc W en fr.wikipedia

Recta

Debe considerarse como un sucesión infinita de puntos alineados sobre una misma dirección. En sí la recta no tiene principio ni tiene final, por tanto tampoco es susceptible de medición. Dado que la recta es una sucesión de puntos alineados, bastan dos puntos en el plano para determinar cualquier recta.

Plano, Recta, y semiplano

En el gráfico puede verse la recta R sobre el plano  el punto p es una referencia para referirse a los semiplanos que la recta R determina sobre el plano, donde uno de ellos es semiplano respecto de la recta R que contiene a p y el otro sería el semiplano respecto de la recta R que no contiene a p.

Semirrecta

Dados dos puntos sobre una recta se define como semirrecta a aquella representación que tiene origen sobre uno de los puntos y pasa por el otro, descartando aquellos que están en el otro sentido del punto de origen. En este caso la semirrecta tiene origen, pero no tiene fin. En el gráfico tenemos la semirrecta de origen A que pasa por B

Plano

Es el área de representación, debe ser considerado como un área que oficiará como contenedor de nuestras creaciones geométricas. Así un plano puede ser considerado la hoja del papel, la superficie del pizarrón o de una pared o un techo. En cualquier caso el plano se refiere a dos dimensiones, ancho y alto.

Intersección de dos planos (en tres dimensiones)

Por Pbroks13

Representación informal de un plano

Por Larocka en es.wikipedia

Semiplano

Llamamos así al área determinada a cada lado de una recta sobre el plano. Para referirnos a un semiplano se puede usar un punto auxiliar por ejemplo el punto p y será semiplano respecto a la recta R que contiene a p o bien al semiplano con respecto a la recta R que no contiene a p. Ver el gráfico titulado Plano, Recta y Semiplano al comienzo de la unidad.

Segmento

La menor distancia entre dos puntos sobre el plano determinan un segmento. El segmento es la base de construcción de otras figuras planas y es susceptible de medición.  En ocasiones y de acuerdo a la figura puede también ser interpretado como la intersección de dos semirrectas, en este caso sería la intersección de la semirrecta de origen A que pasa por B con la semirrecta de origen B que pasa por A da origen al segmento

Segmento

autor Larocka en es.wikipedia

Mediatriz de un segmento.

Se llama mediatriz de un segmento a la recta que equidista de los extremos del segmento. Debe considerarse que cualquier punto perteneciente a la recta está a igual distancia de cada uno de los extremos. En particular el punto de intersección de la mediatriz con el segmento es justamente el punto medio del segmento.

Construcción de la mediatriz.

 

autor Ixnay

Con el compás haciendo centro en ambos extremos con un radio mayor a la mitad del segmento se trazan sendos arcos de circunferencia. Los puntos de intersección de ambos arcos determinan los puntos sobre los cuales pasa la recta mediatriz del segmento.

Ejercitación

  1. Construye y representa
  1. Semirrecta de origen A que pasa por B
  2. Semirrecta de origen O que pasa por P
  3. Semirrecta de origen J que pasa por K
  4. Segmento de 3 cm
  5. Segmento  de 7 cm
  6. Segmento de  4,5 cm
  1. Construye cinco segmentos de distintas longitudes y traza su mediatriz.
  2. Asignar nombres a los segmentos y la mediatriz del ejercicio anterior.
  3. Dada cierta recta R ¿Cómo harías, para dibujar segmentos de los cuales R sea su mediatriz? Explica el procedimiento.
  4. ¿Qué condiciones deben cumplir dos o más segmentos para tener la misma mediatriz?

Ángulos

Otra figura importante de la geometría plana son los ángulos, si dibujamos dos rectas sobre un plano el plano queda dividido en cuatro sectores, que se han formado a partir de la intersección de las dos rectas. Cada uno de estos cuatros sectores determinan sobre el plano la figura denominada ángulo. De lo anterior y en consecuencia al ángulo lo definen dos laterales llamados lados y el punto de intersección de los mismos denominado vértice. Los ángulos son susceptibles de ser medidos y para esta medición usaremos el sistema sexagesimal y el instrumento es el transportador. Más detalle revisa la unidad 5 del primer ciclo..

Ángulo convexo.

LLamamos así a los ángulos donde cualquier el segmento determinado por cualquier par de puntos en el sector del ángulo quedan siempre en el semiplano interior respecto de los lados

.

autor Dnu72

Ángulo cóncavo

Llamamos así a aquellos ángulos en los cuales pueden existir segmentos donde siendo los puntos extremos que lo forman interiores al ángulo, alguna porción del segmento determinado por ellos es exterior al mismo.

autor Dnu72

Clasificación de los ángulos

Esto fue desarrollado en la unidad 5 del Primer Ciclo, allí encontrarás más detalle, pero recuerda que los ángulos se clasifican en agudos, rectos, obtusos, llanos y de un giro y siempre se toma como referencia a su tamaño en relación con el ángulo recto de 90°

Bisectriz de un ángulo.

LLamase así a la semirrecta interior con origen en el vértice del ángulo que determina en el ángulo dos ángulos congruentes. La bisectriz equidista de los lados del ángulo

Construcción

Para la construcción de la bisectriz de un ángulo se debe realizar un arco de circunferencia con vértice común con el ángulo, sobre cada punto de corte del arco con los lados del ángulo se debe hacer centro y trazar sendos arcos de radios iguales entre sí pero de mayor longitud al centro del ángulo. Los puntos de intersección de ambos arcos determinan la bisectriz del ángulo.

Autor: Ixnay

Distancia de sus puntos a los lados del ángulo.

Los puntos de la bisectriz son equidistantes respecto de los lados del ángulo.

Ejercitación

  1. Construye los siguientes ángulos
  1. de 45°
  2. de 60°
  3. de 120°
  4. de 180°
  5. de 210°
  6. de 300°
  7. de 360°
  1. Construye dos ángulos cóncavos.
  2. ¿Existe alguna relación entre la medida de los ángulos y la concavidad?
  3. ¿Existe alguna relación entre la medida de los ángulos y la convexidad?
  4. Construye la bisectriz de los siguientes ángulos
  1. un ángulo agudo cualquiera
  2. un ángulo mayor de un recto y menor que un llano
  3. un ángulo mayor que un llano pero menor de un giro.
  1. Dada la recta R. ¿cómo construyes ángulos de los cuales la recta R sea su bisectriz? Explica el procedimiento.
  2. ¿Es posible que varios ángulos tengan la misma bisectriz? ¿Qué condiciones deberían cumplir? Grafica con un ejemplo.

Punto de intersección de las bisectrices de un triángulo.

Respecto de un triángulo al construir las bisectrices de sus tres ángulos, estas concurren en un punto al cual denominamos incentro. Este punto es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo.

autor:Limaner

autor Personline

Puntos de intersección de las mediatrices de un triángulo

Al construir las mediatrices de los tres lados del triángulo, estas concurren en un punto al que denominamos circuncentro. Este punto es el centro de la circunferencia circunscrita en el triángulo. Según sea el triángulo en cuestión, el circuncentro puede ser interior, exterior o ser parte de uno de los lados del triángulo.

autor Bvs-aca

Ejercitación:

  1. Dibuja un triángulo isósceles y traza incentro, circunferencia inscrita, circuncentro y circunferencia circunscrita.
  2. Dibuja un triángulo equilátero y traza incentro, circunferencia inscrita, circuncentro y circunferencia circunscrita.
  3. Dibuja un triángulo escaleno y traza incentro, circunferencia inscrita, circuncentro y circunferencia circunscrita.
  4. Dibuja un triángulo rectángulo y traza incentro, circunferencia inscrita, circuncentro y circunferencia circunscrita.
  5. Dibuja un triángulo obtusángulo y traza incentro, circunferencia inscrita, circuncentro y circunferencia circunscrita.

Cuadriláteros

Los cuadriláteros son polígonos de cuatro lados, cuatro vértices, cuatro ángulos y dos diagonales. La suma de sus ángulos interiores, sea cual sea el cuadrilátero, es igual al ángulo de un giro, es decir 360°

autor Drini (trabajo propio)

Clasificación de los cuadriláteros

Paralelogramos: Tienen dos pares de lados opuestos paralelos.

Autor: Magister Mathematicae

Trapecios: Un par de lados paralelos y los otros no.

Autor: Loveless

Trapezoide: No tiene lados paralelos. Aún en la actualidad existen ciertas controversias en cuanto a su definición.

Paralelogramos

Cuadrado

Tiene dos pares de lados opuestos paralelos, sus cuatro ángulos son rectos y sus cuatro lados iguales y las diagonales son iguales entre sí. Resumen de fórmulas.

Perímetro

Superficie

Diagonal

Ejercitación:

  1. Calcula el perímetro, área y diagonal de los siguientes cuadrados
  1. Medida del lado 5 cm
  2. Medida del lado 12 m
  3. Medida del lado 20 m
  4. Medida del lado 1,2 m
  5. Medida del lado 2,53 m
  1. Sabiendo que el perímetro de un cuadrado es 28 m calcula la longitud de su lado y la superficie.
  2. Sabiendo que el área de un cuadrado es de 49 m calcule su perímetro.
  3. Sabiendo que la diagonal de una plaza rectangular es de 168 m, calcule la medida de cada lado, la superficie de la plaza y su perímetro.
  4. Un parque cuadrado de 180m2 necesita ser cercado. Si la cerca se va a construir paralela a los lados de la plaza a 6m de la acera, calcule:
  1. La longitud total de la cerca.
  2. La superficie que quedará dentro de la cerca.
  3. Cuanto mide la diagonal del área cercada.
  1. Para el piso de una habitación se van a usar baldosas de 1 m x 1 m. ¿Cuántas se necesitan si la habitación tiene es cuadrada de 3 m de lado?
  2. ¿Que cantidad de baldosas cuadradas de 20 cm de lado se necesitan para cubrir un piso cuadrado de 6 m de lado? ¿Cuánto mide la superficie del piso a cubrir?
  3. Se requiere alambrar un campo cuadrado de 6 km de lado. Si se van a usar cuatro hilos de alambre y los postes se ubicaran a una distancia de 15 m entre cada uno. ¿Cuánto alambre se necesita, y cuántos postes se deben adquirir?
  4. Calcula la superficie y el perímetro de los siguientes cuadrados según la medida de sus diagonales.
  1. 5 m
  2. 7 m
  3. 12 m
  4. 3 km
  5. 25 cm
  6. 12 cm
  7. 30 m
  8. 25 km
  9. 18 cm

Rectángulo

El rectángulo tiene sus cuatro ángulos rectos, las diagonales iguales y se cortan en su punto medio.

Autor: Michael Angelkovich

Perímetro

Superficie

Diagonal

Ejercitación:

  1. Una fábrica de material de chapa fabrica piezas rectangulares de zinc por encargo, calcular el perímetro, la superficie y diagonal, de cada medida de las piezas sabiendo que las medidas son las siguientes:
  1. 12 cm por 20 cm
  2. 18 cm por 25 cm
  3. 22 cm por 30 cm
  4. 30 cm por 40 cm
  5. 40 cm por 50 cm
  1. Una antena se va a instalar con su base en el centro sobre el techo de un edificio cuyas medidas son 15 m por 42 m. ¿A qué distancia de los vértices del techo se ubicará la base?  
  2. Una plaza tiene una superficie de 420 m2, si el lado mayor mide 70 m. Calcule la medida del lado menor y el tamaño de su diagonal.
  3. Un bizcochuelo rectangular de 35 cm x 45 cm se debe repartir equitativamente entre 15 alumnos.
  1. ¿Qué tamaño deberían tener las porciones?
  2. ¿Qué corte sería el más apropiado?
  3. Si se pide que como mínimo cada porción tenga 3 cm de ancho x 4 de alto. ¿Alcanza para todos?
  1. Al finalizar el año se preparan pizzas para el festejo de despedida de año, Hay bandejas dos tamaños  de 60 cm x 40 cm y de 55 cm x 45 cm. Calcular la superficie de cada pizza según la bandeja y seleccionar el mejor corte rectangular para obtener, 10, 15 y 20 porciones por bandeja.
  2. Las dimensiones de un campo de fútbol reglamentario son las siguientes
  1. 100 m x 64 m como mínimo y 110 m x 75 m como máximo.
  2. Las medidas de los arcos son de 7,32 m x 2,44 m.
  3. El área chica comienza a 5,5 m de los postes del arco y dista 5,5 m de la línea de fondo.
  4. El área grande comienza a los 11 m del borde del área chica y dista hasta los 16,5 m de la línea de fondo.
  5. Se solicita calcular
  1. la superficie mínima y máxima del campo de fútbol.
  2. la superficie que tienen que proteger los arqueros en el arco para evitar anotaciones.
  3. la superficie del área chica.
  4. la superficie del área grande.
  1. Calcula la diagonal de los siguientes rectángulos
  1. 12 m x 20 m
  2. 15 m x 10 m
  3. 8 cm x 12 cm

Rombo

Tiene sus cuatro lados iguales, los opuestos paralelos, sus ángulos opuestos son iguales y sus diagonales se cortan perpendicularmente en su punto medio.

autor Dnu72

Perímetro

Superficie

Diagonal

D = Diagonal mayor, d = diagonal menor, l = lado

Romboide

El romboide es un paralelogramo que tiene sus ángulos y lados iguales, dos a dos. No es rombo ni es rectángulo, también se lo denomina paralelogramo no rectángulo o simplemente paralelogramo.

Autor drini

Autor Dnu72

Perímetro

Superficie

Trapecios

autor Dirk Hünniger

autor Teve

Tiene un par de lados paralelos y los otros no, A los lados paralelos se les llama bases, una de de ellas será mayor y la otra menor, los puntos medios de los lados no paralelos determinan un segmento al cual se denomina mediana o base media.

Base media o Mediana

Superficie

Según sus ángulos se clasifican en rectángulos (un ángulo recto), isósceles, lados no paralelos iguales y dos ángulos agudos y dos obtusos iguales entre sí, escaleno, no es isósceles ni rectángulo, las medidas de sus lados son distintas.

Trapecio Rectángulo

Autor Alon he.wikipedia

Trapecio Isósceles

Autor Mariko en.wikipedia

Trapecio Escaleno

Autor Paulnasca en.wikipedia

Trapezoides

El trapezoide en su sentido más puro se considera un cuadrilátero irregular es decir aquel que tiene sus cuatro lados desiguales, aunque puede darse un caso particular con el deltoide cuya figura posee dos pares de lados iguales y sus cuatro ángulos distintos.

Deltoide

Autor: Deepsol

Trapezoide Concavo

Autor Πβ 

Trapezoide cruzado

Autor Πβ 

Ejercitación

  1. Representa gráficamente y calcular el perímetro, superficie y la medida del lado o de la diagonal faltante según el caso de los siguientes rombos.
  1. Diagonal Mayor 8 cm; Diagonal menor 2 cm
  2. Diagonal Mayor 6 cm; diagonal menor 4 cm.
  3. Diagonal mayor 8 cm; diagonal menor 4 cm.
  4. Diagonal mayor 56 m; diagonal menor 16 cm.
  5. Lado 20,6 m; diagonal menor 10 m.
  6. Lado 18 m; una diagonal 20 m.
  7. Lado 15 m; una diagonal 30 m.
  1. Representar gráficamente y calcular perímetro y superficie de los siguientes paralelogramos.
  1. Lado mayor 2,24 cm; lado menor 1,5 cm.
  2. Lado mayor 2 cm; lado menor 1,5 cm.
  3. Base 3 cm; altura 3 cm.
  4. Base 5 cm; altura 2.5 cm..
  1. Calcular la superficie, base media y perímetro de los siguientes trapecios
  1. Bases 10 y 15 cm, altura de 8 cm.
  2. Bases 510 y 760 m, altura de 200 m.
  3. Bases 62 m y 38 m, altura de 75 m.
  4. Bases 8 y 10 cm, altura 6 cm.

Ángulos adyacentes

Se llaman así a aquellos ángulos que tienen un lado en común y los otros dos son semirrectas opuestas. Dada su características estos ángulos son suplementarios. Ángulos suplementarios son aquellos cuya suma es igual a dos rectos (180°)

Autor: Larocka en es.wikipedia

Ángulos opuestos por el vértice

Se llaman así a aquellos ángulos que tienen el vértice en común y los lados de uno son semirrectas opuestas de los lados del otro. Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes. En el dibujo los ángulos a con c y b con d son opuestos por el vértice

Autor: DNU72

Ángulos determinados por dos paralelas y una transversal.

Autor: School genius

En la figura se observan las rectas m y n paralelas entre sí, que son cortadas por la recta t la cual es transversal a ellas. Quedan determinados cuatro ángulos en la intersección de la transversal con cada una de las dos rectas paralelas, en total son ocho ángulos. De acuerdo a la figura vamos a estudiar las relaciones que existen entre distintos pares de ángulos.

Ángulos Correspondientes

Son los que quedan en un mismo semiplano respecto de la transversal y en idéntica posición respecto de las paralelas, así los pares de ángulos correspondientes en la figura son. Los ángulos correspondientes son congruentes, es decir tienen la misma medida.

1 y 5; 2 y 6; 3 y 7; 4 y 8

Alternos Internos

Quedan en distintos semiplanos respecto de la transversal y son interiores entre las paralelas. Son congruentes.

3 y 6; 4 y 5

Alternos Externos

Quedan en distintos semiplanos respecto de la transversal y son exteriores a las paralelas. Son congruentes.

1 y 8; 2 y 7

Conjugados Internos

Quedan en el mismo semiplano respecto de la transversal. Son interiores entre las paralelas. Son suplementarios (su suma es 2R=180°)

4 y 5; 3 y 6

Conjugados Externos

Quedan en el mismo semiplano respecto de la transversal, son exteriores a las paralelas. Son suplementarios.

Adyacentes

1 y 8; 2 y 7

El estudio de las relaciones de congruencia entre estos ángulos nos permite conociendo uno de ellos calcular el resto de los ángulos. En la figura siguiente podemos observar las relaciones de congruencia en los ángulos con el mismo nombre.

Krishnavedala

Ejemplo: En la figura el  y tenemos que calcular el resto de los ángulos. El procedimiento sería el siguiente:

por ser opuestos por el vértice

por ser correspondientes entre paralelas a y b y transversal c

por ser opuestos por el vértice

en consecuencia

Por otra parte por ser adyacentes

por ser opuestos por el vértice

por ser correspondientes entre paralelas a y b y transversal c

por ser opuestos por el vértice

Finalmente

Ejercitación

  1. Las rectas a, b y c son paralelas. Calcula la medida de todos los ángulos expresando las relaciones entre ángulos que explican los valores obtenidos.


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