เอกสารประกอบการสอน รายวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม (ค 32202)                                                                              

ชื่อ – นามสกุล ..........................................................        เลขที่ ..........

บทที่ 1

จำนวนเชิงซ้อน

  1. การสร้างจำนวนเชิงซ้อน (Construction of Complex Numbers)

        Note: กำหนด  แทนเซตของจำนวนเชิงซ้อน

ตัวอย่างที่ 1        กำหนด  และ  จงหาค่าของ

        1)                                                                                2)        

…………………………………………………        ………………………………………………

…………………………………………………        ………………………………………………

…………………………………………………        ………………………………………………

…………………………………………………        ………………………………………………

Note: จำนวนเชิงซ้อน  สามารถเขียนแทนด้วย  เมื่อ

ตัวอย่างที่ 2        กำหนด  และ  จงหาค่าของ

        1)                                                                                2)        

…………………………………………………        ………………………………………………

…………………………………………………        ………………………………………………

…………………………………………………        ………………………………………………

…………………………………………………        ………………………………………………

ตัวอย่างที่ 3        จงหาจำนวนจริง  และ ที่ทำให้ 

…………………………………………………        ………………………………………………

…………………………………………………        ………………………………………………

…………………………………………………        ………………………………………………

…………………………………………………        ………………………………………………

Note: กำหนด

สมบัติเกี่ยวกับการบวกและการคูณของจำนวนเชิงซ้อน

ถ้า  แล้ว

1.                                        สมบัติการสลับที่สำหรับการบวก                

                                                สมบัติการสลับที่สำหรับการคูณ                

2.                สมบัติการเปลี่ยนหมู่สำหรับการบวก                

                        สมบัติการเปลี่ยนหมู่สำหรับการคูณ

3.                สมบัติการแจกแจง

แบบฝึกหัด 1.1

1. จงบอกค่าของ  และ  ของจำนวนเชิงซ้อน  ต่อไปนี้

จำนวนเชิงซ้อน

-4

2. จงหาจำนวนจริง  และ  ในแต่ละข้อต่อไปนี้

        1)                                                                2)        

…………………………………………………        ………………………………………………

…………………………………………………        ………………………………………………

3)                                                                        4)        

…………………………………………………        ………………………………………………

…………………………………………………        ………………………………………………

3. จงเขียนผลลัพธ์ให้อยู่ในรูป  เมื่อ

        1)                                                                2)        

…………………………………………………        ………………………………………………

…………………………………………………        ………………………………………………

        3)                                                        4)        

…………………………………………………        ………………………………………………

…………………………………………………        ………………………………………………

        5)                                                                6)        

…………………………………………………        ………………………………………………

…………………………………………………        ………………………………………………

        7)                                                                8)        

…………………………………………………        ………………………………………………

…………………………………………………        ………………………………………………

        9)                                                                                        10)        

…………………………………………………        ………………………………………………

…………………………………………………        ………………………………………………

        11)                                                                        12)        

…………………………………………………        ………………………………………………

…………………………………………………        ………………………………………………

1.2 สมบัติเชิงพีชคณิตของจำนวนเชิงซ้อน (Algebraic Properties of Complex Numbers)

1.2.1  เอกลักษณ์และตัวผกผันการบวก

        สำหรับจำนวนเชิงซ้อน  ใด ๆ เราพบว่า

        1)                

                        เอกลักษณ์การบวกของจำนวนเชิงซ้อน คือ

        2)                

                        ตัวผกผันการบวกของ         คือ        

ตัวอย่างที่ 1        จงหาตัวผกผันการบวกของจำนวนเชิงซ้อนต่อไปนี้

        1)        ตัวผกผันการบวกของ         คือ        …………………

        2)        ตัวผกผันการบวกของ                 คือ        …………………

        3)        ตัวผกผันการบวกของ                 คือ        …………………

1.2.2  การลบจำนวนเชิงซ้อน

ตัวอย่างที่ 2        จงหาค่าของ

…………………………………………………        ………………………………………………

…………………………………………………        ………………………………………………

…………………………………………………        ………………………………………………

…………………………………………………        ………………………………………………

1.2.3  เอกลักษณ์และตัวผกผันการคูณ

        สำหรับจำนวนเชิงซ้อน  ใด ๆ เราพบว่า

        1)                

                        เอกลักษณ์การคูณของจำนวนเชิงซ้อน คือ

        2)        ถ้า  เป็นตัวผกผันการคูณของ  เราจะได้ว่า

                

                พิจารณา                =        

                                    =        

                ดังนั้น

                                                    ………….        (1)

                                                ………….        (2)

                โดยการแก้ระบบสมการ เราได้

                                          และ  

                ดังนั้น ตัวผกผันการคูณของ  คือ

                Note:         เขียนแทนตัวผกผันการคูณของ  ด้วย

ตัวอย่างที่ 3        จงหาตัวผกผันการคูณของ

        1)                                                                                2)        

…………………………………………………        ………………………………………………

…………………………………………………        ………………………………………………

1.2.4  การหารจำนวนเชิงซ้อน

ตัวอย่างที่ 4        จงหาค่าของ

…………………………………………………        ………………………………………………

…………………………………………………        ………………………………………………

…………………………………………………        ………………………………………………

…………………………………………………        ………………………………………………

สมบัติของสังยุคของจำนวนเชิงซ้อน

ให้  และ  เป็นจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ

1)         และ

2)        

3)        ถ้า  แล้ว

4)        

5)        

6)        

7)                เมื่อ

ตัวอย่างที่ 5        จงใช้สังยุคของตัวหารหาค่าของ

…………………………………………………        ………………………………………………

…………………………………………………        ………………………………………………

ตัวอย่างที่ 6        จงหาจำนวนเชิงซ้อน  ที่สอดคล้องกับสมการ  

…………………………………………………        ………………………………………………

…………………………………………………        ………………………………………………

…………………………………………………        ………………………………………………

แบบฝึกหัด 1.2

1. สำหรับ  จงเขียนจำนวนในแต่ละข้อต่อไปนี้ในรูป

        1)                                                                                2)        

…………………………………………………        ………………………………………………

…………………………………………………        ………………………………………………

        3)                                                                4)        

…………………………………………………        ………………………………………………

…………………………………………………        ………………………………………………

        5)                                                        6)        

…………………………………………………        ………………………………………………

…………………………………………………        ………………………………………………

2. กำหนด  และ  จงหาค่าของ

        1)                                                                                                2)        

…………………………………………………        ………………………………………………

…………………………………………………        ………………………………………………

        3)                                                                                        4)        

…………………………………………………        ………………………………………………

…………………………………………………        ………………………………………………

        5)                                                                                        6)        

…………………………………………………        ………………………………………………

…………………………………………………        ………………………………………………

        7)                                                                                        8)        

…………………………………………………        ………………………………………………

…………………………………………………        ………………………………………………

3. กำหนด  และ  จงเขียนจำนวนต่อไปนี้ให้อยู่ในรูป  

        1)                                                                                                2)        

…………………………………………………        ………………………………………………

…………………………………………………        ………………………………………………

        3)                                                                                        4)        

…………………………………………………        ………………………………………………

…………………………………………………        ………………………………………………

        5)                                                                                        6)        

…………………………………………………        ………………………………………………

…………………………………………………        ………………………………………………

        7)                                                                                                8)        

…………………………………………………        ………………………………………………

…………………………………………………        ………………………………………………

4. กำหนด  จงเขียนจำนวนต่อไปนี้ให้อยู่ในรูป

        1)                                                                                        2)        

…………………………………………………        ………………………………………………

…………………………………………………        ………………………………………………

        3)                                                                                        4)        

…………………………………………………        ………………………………………………

…………………………………………………        ………………………………………………

        5)                                                                                        6)        

…………………………………………………        ………………………………………………

…………………………………………………        ………………………………………………

5. จงหาจำนวนเชิงซ้อน  ที่สอดคล้องแต่ละสมการในข้อต่อไปนี้

        1)                                                                2)        

…………………………………………………        ………………………………………………

…………………………………………………        ………………………………………………

        3)                                                                4)        

…………………………………………………        ………………………………………………

…………………………………………………        ………………………………………………

        5)                                                                6)        

…………………………………………………        ………………………………………………

…………………………………………………        ………………………………………………

1.3 รากที่สองของจำนวนเชิงซ้อน (Square Roots of Complex Numbers)

ตัวอย่างที่ 1        จงหารากที่สองของ  

…………………………………………………        ………………………………………………

…………………………………………………        ………………………………………………

ตัวอย่างที่ 2        จงหาเซตคำตอบของสมการ  

…………………………………………………        ………………………………………………

…………………………………………………        ………………………………………………

ตัวอย่างที่ 3        จงหาเซตคำตอบของสมการ

        1)        

…………………………………………………        ………………………………………………

…………………………………………………        ………………………………………………

        2)        

…………………………………………………        ………………………………………………

…………………………………………………        ………………………………………………

        3)        

…………………………………………………        ………………………………………………

…………………………………………………        ………………………………………………

แบบฝึกหัด 1.3

1. จงหารากที่สองของจำนวนเชิงซ้อนต่อไปนี้

1)                                                                                        2)        

…………………………………………………        ………………………………………………

…………………………………………………        ………………………………………………

3)                                                                                        4)        

…………………………………………………        ………………………………………………

…………………………………………………        ………………………………………………

5)        

…………………………………………………        ………………………………………………

…………………………………………………        ………………………………………………

2. จงหาเซตคำตอบของสมการต่อไปนี้

1)                                                                                2)        

…………………………………………………        ………………………………………………

…………………………………………………        ………………………………………………

3)                                                                4)        

…………………………………………………        ………………………………………………

…………………………………………………        ………………………………………………

5)                                                                        6)        

…………………………………………………        ………………………………………………

…………………………………………………        ………………………………………………

7)                                                                8)        

…………………………………………………        ………………………………………………

…………………………………………………        ………………………………………………

9)                                                                10)        

…………………………………………………        ………………………………………………

…………………………………………………        ………………………………………………

11)                                                                12)        

…………………………………………………        ………………………………………………

…………………………………………………        ………………………………………………

13)                                                                14)        

…………………………………………………        ………………………………………………

…………………………………………………        ………………………………………………

15)                                                                16)        

…………………………………………………        ………………………………………………

…………………………………………………        ………………………………………………

17)                                                                18)        

…………………………………………………        ………………………………………………

…………………………………………………        ………………………………………………

1.4 กราฟและค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อน (Graph and Absolute value of Complex        Numbers)

ตัวอย่างที่ 1        จงหาคำตอบ

        1)        ค่าสัมบูรณ์ของ                        คือ        ………………..

        2)        ค่าสัมบูรณ์ของ                        คือ        ………………..

        3)        ค่าสัมบูรณ์ของ                                คือ        ………………..

        4)        ค่าสัมบูรณ์ของ                คือ        ………………..

สมบัติของค่าสัมบูรณ์

ให้  และ  เป็นจำนวนเชิงซ้อน จะได้ว่า

1)        

2)        

3)        ถ้า  แล้ว

4)        

5)        

6)        

ตัวอย่างที่ 2        จงเขียนกราฟของอสมการ  และ  ลงบนระนาบเชิงซ้อนเดียวกัน

แบบฝึกหัด 1.4

1. จงเขียนจุดในระนาบเชิงซ้อน ซึ่งแทนจำนวนเชิงซ้อนต่อไปนี้

        1)                 

        2)        ,  ,  ,  ,  ,  

2. จงเขียนเวกเตอร์ในระนาบเชิงซ้อน ซึ่งแทนจำนวนเชิงซ้อนต่อไปนี้

        ,  ,  ,  

3. จงเขียนจำนวนเชิงซ้อนที่แทนด้วยจุด A, B, C, D, E และ F ในระนาบ ดังรูป

                                                                                                                A        =        …………….

                                                                                                                B        =        …………….

                                                                                                                C        =        …………….

                                                                                                                D        =        …………….

                                                                                                                E        =        …………….

                                                                                                                F        =        …………….

4. ถ้า  และ  จงเขียนกราบแทนจำนวนเชิงซ้อนต่อไปนี้

                                                                                                        1)                =        ……………………………

                                                                                                                                        ……………………………

                                                                                                                                        ……………………………

                                                                                                                                        ……………………………

                                                                                                        2)                =        ……………………………

                                                                                                                                        ……………………………

                                                                                                                                        ……………………………

                                                                                                                                        ……………………………

5. ถ้า  จงเขียนกราฟแทนจำนวนเชิงซ้อนในแต่ละข้อต่อไปนี้

                                                                                                        1)                =        …………………………………

                                                                                                        2)                =        …………………………………

                                                                                                                                …………………………………

                                                                                                        3)                =        …………………………………

                                                                                                                                …………………………………

                                                                                                        4)                =        …………………………………

                                                                                                        5)                =        …………………………………

                                                                                                                                …………………………………        

6. ถ้า  จงเขียนกราฟแทนจำนวนเชิงซ้อนในแต่ละข้อต่อไปนี้

                                                                                                        1)                =        …………………………………

                                                                                                        2)                =        …………………………………

                                                                                                                                …………………………………

                                                                                                        3)                =        …………………………………

                                                                                                                                …………………………………

                                                                                                        4)                =        …………………………………

                                                                                                        5)                =        …………………………………

                                                                                                                                …………………………………

7. จงหาค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อนต่อไปนี้

        1)                                                                                2)        

………………………………………………………                …………………………………………………...

………………………………………………………                …………………………………………………...

        3)                                                                                4)        

………………………………………………………                …………………………………………………...

………………………………………………………                …………………………………………………...

………………………………………………………                …………………………………………………...

………………………………………………………                …………………………………………………...

        5)                                                                        6)        

………………………………………………………                …………………………………………………...

………………………………………………………                …………………………………………………...

………………………………………………………                …………………………………………………...

………………………………………………………                …………………………………………………...

        7)                                                                        8)        

………………………………………………………                …………………………………………………...

………………………………………………………                …………………………………………………...

………………………………………………………                …………………………………………………...

………………………………………………………                …………………………………………………...

8. ให้  จงแสดงว่า

………………………………………………………                …………………………………………………...

………………………………………………………                …………………………………………………...

………………………………………………………                …………………………………………………...

………………………………………………………                …………………………………………………...

9. ถ้า  จงแสดงว่า

………………………………………………………                …………………………………………………...

………………………………………………………                …………………………………………………...

………………………………………………………                …………………………………………………...

………………………………………………………                …………………………………………………...

10. ถ้า  แล้วจงแสดงว่า

………………………………………………………                …………………………………………………...

………………………………………………………                …………………………………………………...

………………………………………………………                …………………………………………………...

………………………………………………………                …………………………………………………...

11. ถ้า  แล้วจงแสดงว่า  และ  เป็นจำนวนจริง

………………………………………………………                …………………………………………………...

………………………………………………………                …………………………………………………...

………………………………………………………                …………………………………………………...

………………………………………………………                …………………………………………………...

12. จงแสดงว่าเซตของจำนวนเชิงซ้อน  และ  ที่สอดคล้องกับสมการ  เมื่อ  คือ จำนวนจริงที่  คือเซตของจุดในระนาบซึ่งอยู่บนเส้นรอบวงของวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่แทนด้วยจุด  และรัศมียาว  หน่วย

                                                                        …………………………………………………………………

                                                                        …………………………………………………………………

                                                                        …………………………………………………………………

                                                                        …………………………………………………………………

                                                                        …………………………………………………………………

                                                                        …………………………………………………………………

                                                                        …………………………………………………………………

                                                                        …………………………………………………………………

13. จงแสดงว่า  ก็ต่อเมื่อ  เป็นจำนวนจริง

………………………………………………………                …………………………………………………...

………………………………………………………                …………………………………………………...

………………………………………………………                …………………………………………………...

………………………………………………………                …………………………………………………...

14. จงเขียนกราฟของจุด  ทั้งหมดในระนาบเชิงซ้อนซึ่งสอดคล้องกับสมการหรืออสมการในข้อต่อไปนี้

        1)                                                                                2)        

        3)                                                                        4)        

        5)                                                                        6)        

        7)                                                                                8)        

        9)                                                                        10)        

15. ให้  เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่สอดคล้องกับสมการ  โดยพิจารณาจากกราฟ จงหา  ที่มี  

       มากที่สุด                                                                                

                                                                                                …………………………………………………...

                                                                                                …………………………………………………...

                                                                                                …………………………………………………...

                                                                                                …………………………………………………...

                                                                                                …………………………………………………...

                                                                                                …………………………………………………...

1.5 จำนวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้ว (Polar Form of Complex Numbers)

กำหนด         โดยที่  เราสามารถเขียน  ด้วยเวกเตอร์บนระนาบ ได้ดังนี้

        ถ้า         แทน ขนาดของเวกเตอร์ OZ ดังนั้น

                1)                =                                                =        

                2)                =                                                =        

                3)                        =                                        =        

                                                                                        =                 

                                                                                เมื่อ    และ    โดยที่

        เราเรียก

                1)         ว่าเป็นรูปเชิงขั้ว (Polar form) ของ

                2)         ว่า อาร์กิวเมนต์ (Argument) ของ

                3)        สำหรับจำนวนเต็ม  ใด ๆ เราได้

                                และ  

                        ดังนั้น

ตัวอย่างที่ 1        จงเขียนจำนวนเชิงซ้อนต่อไปนี้ให้อยู่ในรูปเชิงขั้ว

        1)                                                                        2)        

        3)                                                                4)        

วิธีทำ        1)                 

                        (1)                                                                

                                                                                                          

                        (2)                                                                                

                                                                                                        

                                                                                                        

                        (3)                                        

                        รูปเชิงขั้วของ  คือ

                        รูปเชิงขั้วอื่นของ  คือ          

                        เมื่อ                                                                                                                                 ตอบ

        

                        2)        

                        (1)                                                                

                                                                                                                

                        (2)                                                                                

                                                                                                                (  อยู่ในจตุภาคที่ 4)

                        (3)                                        

                                รูปเชิงขั้วของ  คือ

                                รูปเชิงขั้วอื่นของ  คือ

                                เมื่อ                                                                                                                         ตอบ

ตัวอย่างที่ 2        จงหาค่า  และ  เมื่อกำหนด  และ

วิธีทำ        จากโจทย์กำหนด จะพบว่า รูปเชิงขั้วของ  คือ

                1)                                                

                                                                                        

                        2)                                                                        เมื่อ                

                                                                                                

                                                                                                

                                                                                                 และ          []

                                                                                                                                                                        ตอบ

        

ตัวอย่างที่ 3        จงเขียนจำนวนเชิงซ้อนต่อไปนี้ให้อยู่ในรูป

        1)        

        วิธีทำ        กำหนด                =        

                                                =        

                                           =        

                                                =        

                                                =        

                                                =        

                                                =        

                                                =        

                                                =                                                                                ตอบ

        2)        

...............................................................................                ...............................................................................

...............................................................................                ...............................................................................

...............................................................................                ...............................................................................

...............................................................................                ...............................................................................

...............................................................................                ...............................................................................

ตัวอย่างที่ 4        จงเขียน  ให้อยู่ในรูป  เมื่อ

วิธีทำ        กำหนด                =        

                                        =        

                        =        

                        =        

                        =                                                                                                ตอบ

แบบฝึกหัด 1.5

1. จงเขียนรูปเชิงขั้วของจำนวนเชิงซ้อนต่อไปนี้

        1)                                                                        2)        

……………………………………………………                …………………………………………………

……………………………………………………                …………………………………………………

        3)                                                                4)        

……………………………………………………                …………………………………………………

……………………………………………………                …………………………………………………

        5)                                                                6)        

……………………………………………………                …………………………………………………

……………………………………………………                …………………………………………………

2. จงเขียนจำนวนเชิงซ้อนในข้อต่อไปนี้ในรูป  เมื่อ

        1)                                                                2)        

……………………………………………………                …………………………………………………

……………………………………………………                …………………………………………………

        3)                                                                4)        

……………………………………………………                …………………………………………………

……………………………………………………                …………………………………………………

        5)                                                        6)        

……………………………………………………                …………………………………………………

……………………………………………………                …………………………………………………

        7)                                                                8)        

……………………………………………………                …………………………………………………

……………………………………………………                …………………………………………………

        9)                                                                10)        

……………………………………………………                …………………………………………………

……………………………………………………                …………………………………………………

3. จงหาค่า  และ  ที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่ทำให้สมการต่อไปนี้เป็นจริง

        1)                                        เมื่อ         

……………………………………………………                …………………………………………………

……………………………………………………                …………………………………………………

……………………………………………………                …………………………………………………

……………………………………………………                …………………………………………………

        2)                                        เมื่อ         

……………………………………………………                …………………………………………………

……………………………………………………                …………………………………………………

……………………………………………………                …………………………………………………

……………………………………………………                …………………………………………………

        3)                                เมื่อ         

……………………………………………………                …………………………………………………

……………………………………………………                …………………………………………………

……………………………………………………                …………………………………………………

……………………………………………………                …………………………………………………

4. จงเขียนกราฟของเซตของจำนวนเชิงซ้อนต่อไปนี้

        1)                                                        2)        

        3)                                                4)        

5. ถ้า  เป็นจำนวนเชิงซ้อน จงแสดงว่า  เมื่อ  เป็นจำนวนเต็ม

……………………………………………………                …………………………………………………

……………………………………………………                …………………………………………………

……………………………………………………                …………………………………………………

1.6 รากที่  ของจำนวนเชิงซ้อน (The nth Roots of Complex Numbers)

ตัวอย่างที่ 1        จงหารากที่ 3 ของ 1

วิธีทำ                        เป็นรากที่  ของ             

                                เป็นรากที่  3  ของ  1            

1)        เขียน 1        ให้อยู่ในรูปเชิงขั้ว

        1        =        1 + 0

                =        

2)        กำหนด  เป็นรากที่ 3 ของ 1

                                [        ทบ. ของเดอมัวร์]

3)                                                

                                                                และ  

                                                                และ  

                                                                และ           เมื่อ  

                                                                และ           เมื่อ  

4)                        เมื่อ   

        กรณี         เราได้        

        กรณี         เราได้        

        กรณี         เราได้        

นั่นคือ รากที่ 3 ของ 1 คือ  และ                                                                 ตอบ

ตัวอย่างที่ 2        จงหารากที่ 6 ของ -64

วิธีทำ                        เป็นรากที่  ของ                     

                                เป็นรากที่  6  ของ  -64           

1)        เขียน -64 ให้อยู่ในรูปเชิงขั้ว

           -64        =          

                        =          

2)        กำหนด  เป็นรากที่ 6 ของ -64

                                [        ทบ. ของเดอมัวร์]

3)                                                

                                                                          และ          

                                                                                  และ                           เมื่อ  

                                                                                  และ                                    เมื่อ  

4)                                เมื่อ   

        กรณี         เราได้        

        กรณี         เราได้        

        กรณี         เราได้        

        กรณี         เราได้        

        กรณี         เราได้        

        กรณี         เราได้        

นั่นคือ รากที่ 6 ของ -64 คือ                                                          ตอบ

ตัวอย่างที่ 3        จงหารากที่ 4 ของ

วิธีทำ                

1)        เขียน  ให้อยู่ในรูปเชิงขั้ว

                  =          

2)        กำหนด  เป็นรากที่ 4 ของ                                         

                        [        ทบ. ของเดอมัวร์]

3)                                        

                                                                          และ          

                                                                          และ          

                                                                          และ                          เมื่อ  

                                                                          และ                          เมื่อ  

4)                                เมื่อ   

        กรณี         เราได้        

        กรณี         เราได้        

        กรณี         เราได้        

        กรณี         เราได้        

นั่นคือ รากที่ 6 ของ -64 คือ                                          ตอบ

แบบฝึกหัด 1.6

1. จงหารากที่ 3 ของจำนวนเชิงซ้อนต่อไปนี้ พร้อมทั้งแสดงแผนภาพ

        1)                                                                                2)        

……………………………………………………                …………………………………………………

……………………………………………………                …………………………………………………

……………………………………………………                …………………………………………………

……………………………………………………                …………………………………………………

        3)                                4)        

……………………………………………………                …………………………………………………

……………………………………………………                …………………………………………………

……………………………………………………                …………………………………………………

……………………………………………………                …………………………………………………

……………………………………………………                …………………………………………………

3. จงหารากที่ 4 ของ

……………………………………………………                …………………………………………………

……………………………………………………                …………………………………………………

……………………………………………………                …………………………………………………

4. จงหารากที่ 5 ของ

……………………………………………………                …………………………………………………

……………………………………………………                …………………………………………………

……………………………………………………                …………………………………………………

5. จงหาจำนวนเชิงซ้อนทั้งหมดซึ่งสอดคล้องสมการต่อไปนี้

        1)                                                                2)        

……………………………………………………                …………………………………………………

……………………………………………………                …………………………………………………

……………………………………………………                …………………………………………………

        3)                                                                        4)        

……………………………………………………                …………………………………………………

……………………………………………………                …………………………………………………

……………………………………………………                …………………………………………………

        5)                                                                        6)        

……………………………………………………                …………………………………………………

……………………………………………………                …………………………………………………

……………………………………………………                …………………………………………………

1.7 สมการพหุนาม

ตัวอย่างที่ 1        จงหาคำตอบทั้งหมดของสมการ

วิธีทำ                                     เมื่อ  

                                                                   

                                                                   

                                หรือ        

                เซตคำตอบของสมการ คือ                                 ตอบ

ตัวอย่างที่ 2        จงหาเซตคำตอบของสมการ

วิธีทำ        กำหนด        

                1)        จำนวนเต็มที่หาร  ได้ลงตัว ได้แก่

                2)        จำนวนเต็มที่หาร 2 ได้ลงตัว ได้แก่          และ

                        จำนวนตรรกยะ  ที่ทำให้  เป็นตัวประกอบของพหุนาม

        จะเป็นจำนวนที่อยู่ในกลุ่มของจำนวนต่อไปนี้ คือ  และ

เพราะว่า , ,  และ

เพราะฉะนั้น  และ  ต่างก็เป็นตัวประกอบของ

โดยใช้การหารสังเคราะห์ จะได้ว่า

                =        

                        =        

                        =        

                        =        

                                   

                                                                           

                        หรือ                          หรือ         

                             หรือ                          หรือ         

                เซตคำตอบของสมการ คือ                         ตอบ

ตัวอย่างที่ 3        จงหาค่าของ  และ  ที่ทำให้  เป็นตัวประกอบร่วมของ

         และ

วิธีทำ        กำหนด        

                                

                 เป็นตัวประกอบร่วมของ  และ  

                  และ

                1)                                                        

                2)                                                        

                นั่นคือ  และ                                                                 ตอบ

แบบฝึกหัด 1.7

1. จงหาเซตคำตอบของสมการต่อไปนี้

        1)                                                2)        

…………………………………………………                …………………………………………………

…………………………………………………                …………………………………………………

        3)                                4)        

…………………………………………………                …………………………………………………

…………………………………………………                …………………………………………………

5)                                                        6)        

…………………………………………………                …………………………………………………

…………………………………………………                …………………………………………………

2. จงแสดงว่า  เป็นคำตอบของสมการ  พร้อมทั้งหาคำตอบที่เหลือ

…………………………………………………                …………………………………………………

…………………………………………………                …………………………………………………

…………………………………………………                …………………………………………………

3. จงหาสมการพหุนามดีกรี 4 ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มและมี 3 ,  และ  เป็นคำตอบ

…………………………………………………                …………………………………………………

…………………………………………………                …………………………………………………

…………………………………………………                …………………………………………………

…………………………………………………                …………………………………………………

…………………………………………………                …………………………………………………

4. จงหาสมการพหุนามดีกรี 4 ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มและมี  และ  เป็นคำตอบ

…………………………………………………                …………………………………………………

…………………………………………………                …………………………………………………

…………………………………………………                …………………………………………………

…………………………………………………                …………………………………………………

5. จงหาสมการพหุนามดีกรี 5 ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มและมี  และ  เป็นคำตอบ

…………………………………………………                …………………………………………………

…………………………………………………                …………………………………………………

…………………………………………………                …………………………………………………

…………………………………………………                …………………………………………………

6. จงแสดงว่าสมการพหุนาม  มี  เป็นคำตอบ แต่  ไม่ใช่คำตอบ พร้อมทั้งอธิบายด้วยว่า ผลนี้ขัดกับทฤษฎีบทที่กล่าวไว้หรือไม่

…………………………………………………                …………………………………………………

…………………………………………………                …………………………………………………

…………………………………………………                …………………………………………………

7. จงหาสมการพหุนามดีกรีสาม  ที่สอดคล้องเงื่อนไขแต่ละข้อต่อไปนี้

        1)         เป็นคำตอบ และ

…………………………………………………                …………………………………………………

…………………………………………………                …………………………………………………

…………………………………………………                …………………………………………………

        2)         เป็นคำตอบ และ

…………………………………………………                …………………………………………………

…………………………………………………                …………………………………………………

…………………………………………………                …………………………………………………