УНИВЕРСИТЕТ ЗА НАЦИОНАЛНО И СВЕТОВНО СТОПАНСТВО

СПЕЦИАЛНОСТ  „ СЧЕТОВОДСТВО И КОНТРОЛ ”                    

ДИСТАНЦИОННА ФОРМА НА ОБУЧЕНИЕ

ПО “КОЛИЧЕСТВЕНИ МЕТОДИ И МОДЕЛИ”

ИНДИВИДУАЛНО ЗАДАНИЕ № 45

РАЗРАБОТИЛ: ............................                         ПРОВЕРИЛ: ...............................

                   / инж. Ирина Балканска /                           / доц. д – р Веселка Павлова /

                          Ф.№ 2865136

2011 г.

ПЪРВА  ЗАДАЧА №3.2, стр. 99

ЗАДАНИЕ:

Известни са годишните суми на платения данък върху дохода на заетите лица по трудов договор в една община средно на лице за периода 2002-2009 г. Изчислени са и средните годишни размери на данъка върху дохода на едноличните некорпорирани предприятия ( ЕТ ) в общината. И двата показателя са оценени по съпоставими цени от 2005 г.

1. Да се построят линейните диаграми на развитието на двата показателя.
2. Да се моделира тенденцията в динамиката на средния размер на ДФЛ по трудови договори чрез експоненциален модел на тренда. Да се установи средният темп на растеж на показателя за периода.
3. Да се моделира тенденцията в динамиката на средния размер на данъка върху дохода на ЕТ чрез линеен модел на тренда. Да се установи средният абсолютен прираст на показателя за периода.
4. Да се измери и сравни обяснителната способност на двата използвани модела.

РЕШЕНИЕ:

Точка първа: Да се построят линейните диаграми на развитието на двата показателя:

А) показател „Среден размер на ДФЛ по трудови договори в лева”

Фиг.1: Динамика на средения размер на ДФЛ по трудови договори през периода 2002 – 2009 в лв.

Б) показател „Среден размер на данъка върху доходите на ЕТ в лева”

Фиг.2: Динамика на средения размер на данъка върху дохода на ЕТ през периода 2002 – 2009 в лв.

Точка втора: Да се моделира тенденцията в динамиката на средния размер на ДФЛ по трудови договори чрез експоненциален модел на тренда. Да се установи средният темп на растеж на показателя за периода.

В следващата таблица са изчислени последователните разлики на членовете на реда, последователните годишни темпове на растеж и последователни разлики на логаритмите на членовете на изходния ред.

Общият вид на експоненциалния трендов модел е:

 Уравнението на трендовата линия е:

Свободният член  на трендовия модел няма съдържателна интерпретация т. е. играе роля на мащабираща константа. От значение за анализа има коефициентът  - той измерва средното относително изменение на изучаваната променлива за единица време, следователно тази величина има смисъла на среден темп на растеж на за периода.

Тъй като връзката между коефициентите не е адитивна, приложението на метода на най – малките квадрати изисква преобразуване на модела в линеен. За целта се провежда полулогаритмична трансформация при десетична основа:

Означаваме новите променливи и коефициенти:

Моделът придобива вида:

   ,

където  са неговите остатъчни компоненти.

Изчислчването на коефициентите на трансформирания модел става с помощта на следващата работна таблица:

Коефициентите на модела изчисляваме по формулите:

Коефициентът  е свободният член на трендовия модел, за който няма съдържателно тълкуване – доколкото стойността му се получава при t = 0 (пресечната точка на трендовата линия с ординатната ос), той евентуално показва една начална стойност на тренда в своеобразен “нулев” момент, предхождащ началото на изследвания период.

Коефициентът , чиято стойност има важна съдържателна интерпретация (той измерва средното абсолютно изменение на изучаваната променлива за единица време. Тази величина има смисъла на среден абсолютен прираст на  за периода.

Коефициентът  е положителен, което показва възходяща тенденция в динамиката на седния размер на ДФЛ .

След заместването с числовите стойности трансформирания модел е:

Антилогаритмуваме коефициентите на трансформирания модел и получаваме коефициентите на експоненциалния:

Тогава уравнението на експоненциалната трендова линия ще бъде:

Средният темп на прираст за периода показва с колко прцента се изменя седния размер на ДФЛ за единица време. Изчислява се по формулата:

%%% - през периода 2002 – 2009 г. се наблюдава средно годишно нарастване с 2,2% на средния размер на ДФЛ по трудови договори .

Точка трета: Да се моделира тенденцията в динамиката на средния размер на данъка върху дохода на ЕТ чрез линеен модел на тренда. Да се установи средният абсолютен прираст на показателя за периода.

Общият вид на линейния трендов модел е:

Уравнението на трендовата линия е от вида:

Където с  са означени изгладените стойности на членовете на динамичния ред, наричани компоненти на тренда. Те имат характера на средни теоретично очаквани стойности на изучаваната променлива към даден период от време. Трендовите компоненти измерват каква би била стойността на променливата , ако върху нейното развитие влияеха само трайно действащи фактори, непроменящи силата и посоката на въздействието си и обуславящи трайната тенденция на развитието. Остатъчния компонент  се формира под влияние на случайни фактори, чието въздействие има нерегулярен характер в течение на изследвания период.

Коефициентът  е свободният член на трендовия модел, за който няма съдържателно тълкуване – доколкото стойността му се получава при t = 0 (пресечната точка на трендовата линия с ординатната ос), той евентуално показва една начална стойност на тренда в своеобразен “нулев” момент, предхождащ началото на изследвания период.

Стойността на коефициентът  има важна съдържателна интерпретация - той измерва средното абсолютно изменение на изучаваната променлива за единица време. Тази величина има смисъла на среден абсолютен прираст на  за периода.

   при    

Изчислчването на коефициентите на трансформирания модел става с помощта на следващата работна таблица:

Коефициентите на модела изчисляваме по формулите:

Коефициентът  е положителен, което показва възходяща тенденция в динамиката на средния размер на данъка върху дохода на ЕТ.

След заместването с числовите стойности трансформирания модел е:

Точка четвърта: Да се измери и сравни обяснителната способност на двата използвани модела.

Обяснителната способност на трендовия модел характеризира степента, в която той успява да улови влиянието на трайно действащите фактори върху динамиката на изучаваната променлива. За измерване степента на приближение на обясненото чрез модела вариране на членовете на динамичния ред се използва коефициента на детерминация:

 за линеен трендов модел

 за експоненциален тендов модел

където:

 - девиация на трендовите компоненти

 - общата девиация на променливата

Трансформиран в процентна форма %, той измерва какъв е относителния дял на промените в динамичния ред, които могат да се обяснят с с наличието на тенденция в неговото развитие.

Коефициентът на детерминация се използва като критерий за избор на трендов модел – най – подходящ би бил този, чррто коефициент е най – голям. Този модел ще описва най – адекватно тенденцията, тъй като дава най – добро приближение на теоретичните до фактически наблюдаваните стойности на динамичния ред.

А) показател „Среден размер на ДФЛ по трудови договори в лева”

В процентна форма коефициента показва изключително висока обяснителна способност на построения трендов модел – над 93% от промените на средния размер на ДФЛ по трудови договори, могат да се обяснят с наличието на експоненциална тенденция в неговата динамика през изследвания период.

Избран е подходящ трендов модел.

Б) показател „Среден размер на данъка върху доходите на ЕТ в лева”

В процентна форма коефициента показва изключително ниска обяснителна способност на построения трендов модел – под 6% от промените на средения размер на данъка върху дохода на ЕТ, могат да се обяснят с наличието на линейна тенденция в неговата динамика през изследвания период.

От направените изчисления става ясно, че е избран неподходящ трендов модел, т. е. липства .линейна тенденция на развитие в динамиката.

ВТОРА  ЗАДАЧА № 6.3, стр. 201

ЗАДАНИЕ:

За една съвкупност от десет общини са установени данните за броя на регистрираните еднолични фирми и годишния размер на приходите от подоходния данък, предоставени на местните бюджети:

1. Да се построи точкова диаграма на зависимостта между двата признака, по които са наблюдавани общините.
2. Да се моделира зависимостта чрез линеен регресионен модел. Да се изчислят коефициентите на модела. Да се интерпретират числовите им стойности.
3. Да се измери степента на корелационната зависимост между двата показателя на общините.
4. Какъв ще бъде очакваният ( средно взето ) приход в бюджета, ако броят на регистрираните фирми в една община е 4 хиляди? А ако броят на фирмите е 6 хиляди?

РЕШЕНИЕ:

Точка първа: Да се построи точкова диаграма на зависимостта между двата признака, по които са наблюдавани общините.

Фиг.3: Точкова диаграма на зависимостта регистрирани фирми – бюджетни приходи от подоходен данък.

Точка втора: Да се моделира зависимостта чрез линеен регресионен модел. Да се изчислят коефициентите на модела. Да се интерпретират числовите им стойности.

Общия вид на уравнението на линейния регресионен модел е:

Където:

 - резултативната променлива

 - факторната променлива

 - линейна функция на независимата променлива

 и  - коефициенти на линейната функция

 - остатъчен компонент

За всяка единица с номер ще имаме двойка значения .Графичното изображение на всички точки се нарич точкова диаграма.. Линията минаваща най – близо до точките се нарича регресионна линия. Нейното уравнение е:

където с  са означени теоретичните стойности на резултативната променлива.Чрез регресионното уравнение се моделира функционална зависимост между и  - при нея на всяко значение на факторната променлива съответства едно и само едно значение на резултативната, а именно .

Коефициентът  е свободен член на регресионния модел. Стойността му дефинира координатите на пресечната точка на регресионната линия с ординатната ос. Формулата за изчисление е :

Коефициентът се нарича коефициент на регресия. Той измерва средното абсолютно изменение на резултативната променлива при нарастване на факторната с единица. Той измерва наклона на линията , ъгъла които регресионната линия сключва с абцисната ос.

Метод за получаване на коефициентите се нарича „Метод на най – малките квадрати” (МНМК). Така изчислените стойности на коефициентите се заместват в общия вид на регресионното уравнение. Получават се теоретичните стойности след заместване със съответните значения на факторната променлива:

Сумата на фактическите стойности трябва да е равна на сумата от теоретичните стойности , а сумата от остатъчните компрненти да е нулева:

Тези равенства се използват като криерии за провеждане на контрол за точност на изчисленията.

За да се моделира зависимостта в конкретната задача и получим междинните резултати съставяме работна таблица:

Свободният член няма съдържателен смисъл. Коефициентът  е положителен, което показва права зависимост между двете променливи  - с увеличаване на броя на фирмите нарастват и бюджетните приходи от подоходен данък т.е. с увеличаване на броя на фирмите с 1 хил. бр. бюджетните приходи от подоходен данък се увеличават средно с 1,35 млн. лв.

След заместването с числовите стойности регресионното уравнение придобива вида:

Проверка за верността на изчисленията по условията за равенство между сумите на фактическите и теоретичните стойности:

Точка трета: Да се измери степента на корелационната зависимост между двата показателя на общините.

За характеризиране на силата на корелационната зависимост се използва коефициент на корелация на Пиърсън. Получава се чрез коренуване на коефициента на детерминация:

Коефициентът на корелация приема знака на регресионния коефициент =>

Абсолютната стойност на корелационния коефициент надхвърля 0,9 ( 0,9<<1 ), което показва наличието на много силна зависимост между двете променливи.

Точка четвърта: Какъв ще бъде очакваният ( средно взето ) приход в бюджета, ако броят на регистрираните фирми в една община е 4 хиляди? А ако броят на фирмите е 6 хиляди?

С помощта на регресионния модел може да се получат очаквани стойности на резултативната променлива при интересуващи ни значения на факторната. Очакваният ( средно взето ) приход в бюджета, ако броят на регистрираните фирми в една община е 4 хиляди ще бъде:

 млн.лв.

При 6 хиляди:

 млн.лв.