Mercedes tiene ahorrados $44.50 en monedas. Si se sabe que tan solo tiene monedas de $0,50 y de $1 y que en total tiene 65 monedas. ¿Cuántas monedas de cada clase tiene?.
Juan tiene 306 monedas llevando ahorrados $411 solo tiene monedas de $2 y de $1. ¿Cuántas monedas de cada valor tiene?

En particular aquellos sistemas de ecuaciones que tienen dos ecuaciones y dos incógnitas son los mas sencillos de solucionar y son los que aprenderemos durante este curso.

Por sistema de ecuaciones entendemos a las expresiones algebraicas que presentan dos o más ecuaciones con dos o más incógnitas.

Expresadas en su forma algebraica veamos los siguientes ejemplos:

Primera ecuación

Segunda ecuación

El ejemplo planteado, es en términos algebraicos el planteo del problema de la granja, en el caso, x representa la cantidad de gallinas e y representa la cantidad de cerdos. Luego vamos a resolver por distintos métodos los problemas. Antes veamos algunas pautas que nos pueden ayudar a la hora de solucionar problemas.

Resolución de problemas con sistemas de ecuaciones

Pasos a seguir:

Leer reflexivamente el enunciado buscando comprenderlo.

Separar los datos, anotar los que sean relevantes para el problema e ir descartando aquellos que no lo sean. Aquí puedes utilizar esquemas, dibujos, diagramas de árbol o cualquier otro recurso que consideres pertinente.

Elegir una notación que nos permita relacionar las distintas variables.

Plantear y resolver el sistema.

Comprobar la solución

Clasificación de los sistemas de ecuaciones en términos de su solución.

Conforme a la posibilidad de resolver o no un sistema de ecuaciones este puede ser:

Incompatible: No tiene solución.

Compatible: Tiene solución.

Compatible determinado: Solución única.

Compatible indeterminado: Infinitas soluciones.

Métodos de solución

Método por sustitución

Se basa en despejar una de las incógnitas en una de las ecuaciones y sustituir la expresión hallada en la otra. De esta manera la segunda ecuación queda en función de una sola incógnita, se agrupa la incógnita, se despeja y se encuentra el valor de la misma.

Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones.
Se sustituye la expresión de esa incógnita en la otra ecuación, obteniendo una ecuación con una sola incógnita.
Se resuelve esta ecuación.
Se sustituye el valor obtenido en la ecuación del primer paso.
Comprobamos la solución

Aplicamos este método en el sistema que soluciona el problema 1 de la granja.

En la primer ecuación, despejamos la variable x, luego nos queda

x=52-y (1)

A continuación sustituimos el valor de x despejado en la segunda ecuación,

2(52-y)+4y=164

aplicamos distributiva multiplicando 2 por cada termino dentro del parentesis

104-2y+4y=164

Pasamos al otro miembro 104 restando

2y=164-104

Resolvemos y pasamos 2 que esta como factor a divisor

y=60:2

Luego dividimos y nos queda

y=30

Habiendo obtenido y sustituimos en (1) este valor

x=52-30

x=22

Finalmente los valores obtenidos son la solución

x=22 y=30

Se puede dejar expresado como un par de valores (x,y), en este caso

(22; 30)

Por último la respuesta al problema sería

En lenguaje coloquial

Rta.: Hay 22 gallinas y 30 cerdos en la granja

Finalmente deberíamos comprobar que los valores obtenidos sean correctos

Sometemos nuestros valores a verificación reemplazandolos en las ecuaciones originales

de este modo

22+30 = 52 ✓

2 × 22 + 4x 30 = 164 ✓

podemos observar que ambas igualdades son verificadas con los valores de x e y obtenidos

con lo que quedan verificados ambos valores

Sistema inconsistente.

Resuelve el sistema por sustitución

Utilizando el procedimiento de los cinco pasos

1. Resuelve la ecuación para una de las variables (resolveremos aquí la primera ecuación para x) x = 4 -2y

2. Sustituimos x = 4 -2y en la segunda ecuación

2(4 –2y) = -4y +6

8 –4y = -4y +6

Simplificamos

8 –4y +4y = -4y +4y +6

Suma 4y

8 = 6

3. No hay ecuación que resolver. El resultado 8 = 6, nunca es verdadero. Es una contradicción, concluimos que el sistema dado no tiene solución; es inconsistente.

4. No necesitamos el paso 4

5. Comprueba; nota que si se divide la segunda ecuación entre 2, obtienes x = -2y+3 o x+2y=3, lo que contradice a la primera ecuación, x +2y = 4.

Método de igualación

El método de igualación consiste en despejar en ambas ecuaciones la misma incógnita y luego igualar estas expresiones. De esta manera queda una ecuación con una incógnita, despejamos la misma y encontramos el valor. Luego a continuación, reemplazamos el valor obtenido en alguna de las ecuaciones originales y despejando obtenemos el valor correspondiente a la otra incógnita.

1º) Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones

2º) Se igualan las expresiones, obteniendo una ecuación con una incógnita.

3º) Se resuelve esta ecuación.

4º) Se sustituye el valor obtenido en cualquiera de las dos expresiones del paso primero.

5º) Comprobamos la solución.

Solucionemos el siguiente sistema de ecuaciones por igualación

1 Despejamos, por ejemplo, la incógnita x de la primera y segunda ecuación:

2 Igualamos ambas expresiones:

3 Resolvemos la ecuación:

4 Sustituimos el valor de y, en una de las dos expresiones en las que tenemos despejada la x:

5 Comprobamos la solución sustituyendo los valores de x e y en las ecuaciones originales:

✓

Método de reducción por suma o resta

El método se basa en igualar los coeficientes de x o de y en ambas ecuaciones. Una vez igualados, dependiendo del signo que tengan se procede a sumar o a restar miembro a miembro ambas ecuaciones de tal manera de anular uno de los coeficientes, implica hacer desaparecer la incógnita que queda con coeficiente cero. En esta ecuación queda una sola incógnita que se despeja y resuelve.

1º) Se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por los números convenientes, para que una de las incógnitas tenga los mismos coeficientes pero con signos distintos.

2º) Se suman las dos ecuaciones, desapareciendo una de las incógnitas, obteniendo una ecuación con una sola incógnita.

3º) Se resuelve esta ecuación.

4º) Se sustituye el valor obtenido en una de las ecuaciones iniciales.

5º) Comprobamos la solución.

A continuación vamos a solucionar el siguiente sistema

En este caso selecciono "y" para eliminarla. A la primer ecuación la multiplico por 2 y a la segunda por -3. Entiéndase que debo multiplicar ambos miembros.

Obtengo lo siguiente y sumo miembro a miembro

(los valores de "y" se anulan)

Ahora sustituimos x en alguna de las dos ecuaciones originales

Comprobamos sustituyendo ambos resultados en cualquiera de las ecuaciones originales para demostrar la igualdad.

Método de los determinantes

Solución de un sistema de ecuaciones mediante el método de determinantes de segundo orden:

Para resolver el sistema

donde x y y son las incógnitas y a, b, c, d, r, s, son números reales.

1°) Consideramos el arreglo

que consta de los coeficientes de las variables.

2°) Obtenemos el denominador para ambas variables si multiplicamos los números que se encuentran en la esquina superior izquierda e inferior derecha y restando el producto de los números que están en las esquinas inferior izquierda y superior derecha. El número obtenido se llama determinante del arreglo. Aunque parezca complicado, es fácil de recordar si usamos símbolos

Recuerda que para calcular el determinante efectuamos los productos señalados por las flechas que aparecen en el diagrama, asignando a la flecha hacia abajo un signo positivo y hacia arriba un signo negativo y sumando los resultados obtenidos.

3°) Con la notación observamos que la solución del sistema es

Conviene observar, para recordar la solución, que el denominador de x e y se obtiene tomando el determinante de los coeficientes de las variables en el sistema y para el numerador consideramos el determinante obtenido al sustituyendo en el determinante del sistema la columna de la variable que se quiere encontrar, por los términos independientes. Esto sería para x reemplazamos la primer columna mientras que para y reemplazamos la segunda columna.

Resolvamos el problema 2 de las monedas de Mercedes, lo recordemos:

Mercedes tiene ahorrados $44.50 en monedas. Si se sabe que tan solo tiene monedas de $0,50 y de $1 y que en total tiene 65 monedas. ¿Cuántas monedas de cada clase tiene?.

primero calculamos el determinante del sistema

Con lo que tiene 21 monedas de $0,50 y 24 de $1. A continuación verificamos los valores obtenidos en las ecuaciones originales, en la primer ecuación:

✓

En la segunda ecuación:

✓

Resuelve el sistema utilizando los determinantes.

Solución Calculamos primero el determinante del sistema.

Ahora calculamos el valor de x sustituyendo los valores de la primera columna del determinante del sistema por los valores de los términos independientes y divididos entre el determinante del sistema

Para calcular el valor de y sustituimos los valores de la segunda columna del determinante del sistema por los valores de los términos independientes y dividimos entre el determinante del sistema.

Comprobación Sustituimos los valores x=-8 y y=5 en las ecuaciones

Primera ecuación: 5x +6y = 5(-8) +6(5) = -10

Segunda ecuación 2x +3y = 2(-8) +3(5) = -1

Método Gráfico

Se despeja la incógnita y en ambas ecuaciones.
Se construye, para cada una de las dos funciones de primer grado obtenidas, la tabla de valores correspondientes.
Se representan gráficamente ambas rectas en los ejes coordenados.
En este último paso hay tres posibilidades:

Si ambas rectas se cortan, las coordenadas del punto de corte son los únicos valores de las incógnitas x e y. Sistema compatible determinado.
Si ambas rectas son coincidentes, el sistema tiene infinitas soluciones que son las respectivas coordenadas de todos los puntos de esa recta en la que coinciden ambas. Sistema compatible indeterminado.
Si ambas rectas son paralelas, el sistema no tiene solución. Sistema incompatible.

A Continuación mostramos las gráficas cartesianas de cada caso

Graficas de los Sistemas según compatibilidad

compatible determinado

compatible indeterminado

incompatible

5x-4y=12

-x+4y=-12

2x+3y=6

4x+6y=12

2x+3y=6

2x+3y=-6

Solución de ejercicios por el método gráfico

Ejemplo 1: Sea el siguiente sistema de ecuaciones

-3x+ 2y =-6

2x- 3y = 1

Nos proponemos solucionar por el método gráfico del siguiente modo.

En primer lugar despejamos y en ambas ecuaciones, en la primera queda

y = ( -6 + 3x ) / 2

la segunda ecuación queda

y = (1-2x) / (-3)

Finalmente graficamos ambas funciones en un sistema de coordenadas cartesianas, quedándonos representadas las funciones de la siguiente manera

Observando el gráfico vemos que las rectas se cortan en un punto cuyas coordenadas son x=3,2 e y=1,8; siendo esta la solución del sistema de ecuaciones. Podemos expresar la solución de la siguiente manera S=(3,2 ; 1,8). Tan solo nos falta verificar la solución encontrada en las ecuaciones originales lo que hacemos a continuación

-3 . 3,2 + 2 . 1,8 = -6 ✓

2 . 3,2 - 3 . 1,8 = 1 ✓

Como puede verse ambas igualdades se verifican con lo cuál queda verificada nuestra solución.

Ejemplo 2: solucionemos el siguiente sistema de ecuaciones por el método gráfico

-x-y=-3

3x-2y=4

A continuación observamos la representación gráfica de ambos sistemas

Como puede observarse el punto de intersección de ambas rectas es el punto (2;1) siendo esta la solución del sistema. A continuación verificamos estos valores en el sistema original para comprobar la solución hallada.

-2 -1=-3 ✓

3 . 2 - 2 . 1=4 ✓

Verificamos y se comprueban los valores por lo tanto es válida la solución del sistema x=2 ; y= 1 o S = (2 ; 1)

Ejercicios y problemas de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas

Ejercicios de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incongnitas

Calcula el valor de c para qué la solución de la ecuación, x+7y= c sea:

x=1 , y=2
x=3 , y=3
x=5 , y=0
x=2 , y=3

Halla una solución (x,y) de la ecuación -4x+ y= 17 sabiendo que x=1 e y=7
Escribe un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas para cada par de soluciones a continuación:

x=4 , y=3
x=1 , y=-2
x=0 , y=5
x=1, y=1

Escribe dos sistemas de ecuaciones que tengan:

Una solución única.
Infinitas soluciones.
No tengan solución.

Soluciona los siguientes sistemas de ecuaciones

3x-2y=5

-3x+5y=-3

3x-2y=7

-5x+4y=-10

-x+2y=9

-12x+4y=-21

6x-3y=¼

8x-5y=½

¼ x - ⅔ y=5

-⅓ x + ¼ y=2

- ⅓ x + ½ y = - ½

-3x + 2y =-5

⅓ x + ⅖ y = ⅖

- ⅓ x + 2y = -5

x+y=1

-x-y=-1

⅓ x +⅓ y = ⅓

⅓ x-⅓ y = - ⅓

3x-2y=7

-3x + 2y =-5

⅓ x + ⅖ y = ⅖

x+y=1

-x-y=-1

8x-5y=½

Problemas de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas

Juan compró un ordenador y un televisor por $2000 y los vendió por $2260. ¿Cuánto le costó cada objeto, sabiendo que en la venta del ordenador ganó el 10% y en la venta del televisor ganó el 15%?
¿Cuál es el área de un rectángulo sabiendo que su perímetro mide 16 cm y que su base es el triple de su altura?
Antonio dice a Pedro: "el dinero que tengo es el doble del que tienes tú", y Pedro contesta: "si tú me das seis tendremos los dos igual cantidad". ¿Cuánto dinero tenía cada uno?
En una empresa trabajan 60 personas. Usan gafas el 16% de los hombres y el 20% de las mujeres. Si el número total de personas que usan gafas es 11. ¿Cuántos hombres y mujeres hay en la empresa?
La cifra de las decenas de un número de dos cifras es el doble de la cifra de las unidades, y si a dicho número le restamos 27 se obtiene el número que resulta al invertir el orden de sus cifras. ¿Cuál es ese número?
Por la compra de dos electrodomésticos hemos pagado 3500. Si en el primero nos hubieran hecho un descuento del 10% y en el segundo un descuento del 8% hubiéramos pagado 3170. ¿Cuál es el precio de cada artículo?
Encuentra un número de dos cifras sabiendo que su cifra de la decena suma 5 con la cifra de su unidad y que si se invierte el orden de sus cifras se obtiene un número que es igual al primero menos 27.
Una granja tiene pavos y cerdos, en total hay 58 cabezas y 168 patas. ¿Cuántos cerdos y pavos hay?
El costo total de 5 libros de texto y 4 lapiceros es de $32.00; el costo total de otros 6 libros de texto iguales y 3 lapiceros es de $33.00. Hallar el costo de cada artículo.
Hallar dos números tales que la suma de sus recíprocos sea 5, y que la diferencia de sus recíprocos sea 1.

Ejemplo de solución de dos problemas:

Ejercicio 9: Sea x el costo de un libro en pesos, e y el costo de un lapicero en pesos. Según el problema obtenemos las dos ecuaciones:

La solución de este sistema es de x=4, y y=3, es decir, el costo de cada libro de texto es $4 y el costo de cada lapicero es $3. Estos resultados pueden comprobarse fácilmente. Así, el costo de 5 libros de texto y 4 lapiceros es igual a

5(4) +4(3) = $32

y el costo de 6 libros de texto y 3 lapiceros es igual a

6(4) +3(3) = $33.

Ejercicio 10: Sea x el número menor e y el número mayor. La suma y la diferencia de sus recíprocos son, respectivamente,

1/x + 1/y = 5

1/x - 1/y = 1

Este no es un sistema lineal pero puede ser tratado como tal utilizando como incógnitas 1/x y 1/y. Así, sumando las dos ecuaciones tenemos:

2/x = 6 x= 2/6 x=1/3

Restando la segunda ecuación de la primera, obtenemos:

2/y=4 y=2/4 y=1/2

Por tanto, los dos números son ⅓ y ½ .

SEGUNDO CICLO