SEGUNDO CICLO

Unidad 1: Funciones lineales, ecuaciones e inecuaciones

Capítulo 1: Ecuaciones

Problemas de introducción a Ecuaciones

Intenta dar solución a los siguientes problemas.

Pedro, Juan y Luis son hermanos. Entre los tres han ahorrado $63. Juan tiene un peso más que Pedro y uno menos que Luis. ¿Cuánto tiene ahorrado cada uno?
Marcela, María y Marta son hermanas. Tienen ahorrado entre las tres $102. María tiene $15 menos que Marta y $12 más que Marcela. ¿Cuánto dinero tiene ahorrado cada una?
Trate de resolver el mismo problema anterior suponiendo que en total tienen ahorrado $103,75 y que María tiene $15,45 menos que Marcela y $ 13,70 más que Marta. Ver borrador de solución.
En un programa de preguntas y respuestas por cada pregunta bien contestada el participante gana $25 y se descuentan $15 por preguntas mal contestadas. Sobre 50 preguntas un participante ganó $370. ¿Cuántas preguntas contestó bien?
En un espectáculo un mago realiza el siguiente truco.

Piensa un número.
Súmale 15 al número pensado.
Multiplica por 3 el resultado.
Al resultado restarle 9.
Divide por 3.
Resta 8.
Dime el resultado obtenido y te diré qué número pensaste.

El espectador contesta 32, el mago con solvencia afirma: “El número que pensaste es 28”. Verifica que la respuesta del mago es correcta y deduce cómo lo hizo.

Igualdades, identidades, ecuaciones.

A continuación observamos algunas igualdades que conocemos desde hace tiempo. Se tratan de igualdades aritméticas.

Recordemos que cuando entran en juego letras en la igualdades, comenzamos a hablar de expresiones algebraicas. Si observamos las siguientes igualdades veremos que sean cuales sean los valores que asignemos a las letras las igualdades se mantienen. En este caso se trata de identidades.

^[1] ^[2]

Actividad: Asigna por lo menos tres valores distintos a las letras en cada una de las identidades de arriba y verifica que las igualdades se mantienen.

En las igualdades que se plantean a continuación se dan distintas situaciones respecto de los valores que se pueden asignar a las letras. En todos los casos se tratan de ecuaciones.

Solo un valor de x verifica cada una de las igualdades. Solución única.
En este caso hay dos valores que verifican la igualdad.
En este caso hay más de dos variables y hay infinitos pares de valores que verifican las igualdades en los dos primeros casos y ternas de valores en el tercer caso.
En este caso no hay ningún valor de la variable que haga que las igualdades se mantengan. En cierta forma se plantean igualdades que son absurdas. Se dice en este caso que las ecuaciones no tienen solución.

Resumiendo se pueden encontrar las siguientes situaciones, una solución única, múltiples soluciones, infinitas soluciones o no haber ninguna solución.

Durante el desarrollo del primer ciclo hemos aprendido sobre lenguaje coloquial y lenguaje simbólico, también estudiamos las técnicas que permiten resolver una ecuación, es decir encontrar el valor de la incógnita (x) que da solución a la ecuación. Lo hemos hecho en todos los campos de números estudiados, naturales, enteros, racionales y reales. Sería conveniente revisar dicho material si es que encuentras dificultades.

Para el estudio de ecuaciones en este ciclo nos ocuparemos en tratar de adquirir habilidades en encontrar las expresiones algebraicas o simbólicas de problemas cotidianos que nos permitan plantear las ecuaciones que darían solución a tales problemas.

Lenguaje coloquial y lenguaje algebraico

Expresión coloquial	Expresión algebraica
El doble de un número
La mitad de un número
El triple de un número
El siguiente de un número
El anterior de un número
El siguiente del doble de un número
El doble del siguiente de un número
El cuadrado de un número
El cuadrado de la suma de dos números
Diferencia de cuadrados

Solución de problemas planteando la ecuación:

Analizaremos el primer ejercicio planteado en la introducción, si designamos con x la cantidad de dinero que tiene Juan, podemos decir que Pedro tiene x- 1 ya que Juan tiene un peso más, luego podremos decir que Luis tiene x+1 ya que tiene un peso más que Juan. Finalmente concluimos que como entre los tres tienen $63 podremos expresar algebraicamente

solucionamos la ecuación planteada

Siempre es conveniente verificar que la solución hallada sea correcta, para ello se debe reemplazar el valor encontrado de la incógnita x en la ecuación planteada en este caso reemplazamos en por su valor hallado 21.

Se verifica la igualdad por lo tanto el valor hallado es correcto y como x designa el dinero que tiene Juan, la respuesta y solución a este problema sería:

Respuesta: Pedrotiene $20, Juan tiene $21 y Luis tiene $22.

Problemas

Tres números impares consecutivos suman 81. ¿Cuáles son dichos números?
La diferencia entre los cuadrados de dos números consecutivos es 103. ¿Cuáles son los números?
Un padre tiene 20 años más que su hijo. Dentro de 12 años, el padre tendrá el doble de edad de su hijo. ¿Cuántos años tiene cada uno actualmente?
El perímetro de un triángulo es de 84 m. Se sabe que un lado es 3 veces mayor que otro y que este es la mitad del tercero. ¿Cuánto mide cada lado? Nota: Recuerda que el perímetro de un triángulo es igual a la suma de sus lados.
Calcula cuánto mide el lado de un cuadrado sabiendo que si su lado se duplica, su perímetro aumenta 40 m.
Un comerciante adquiere un retazo de tela de 20 metros de tela a $32 el metro. Vende cierta cantidad a $40 y el resto lo vende a $45. ¿Cuántos metros vendió a $40 y cuantos a $45 si ganó en total $200?
Un bien de capital al cabo de dos años perdió el 20% de su valor. Si el valor actual es de $2.400 cual fué su costo inicial?
Un tanque de 1800 litros se llena con una bomba a razón de 80 litros por minuto, al mismo tiempo se descarga a través de varias canillas de abastecimiento que evacuan 6 litros de agua por minuto cada una. ¿Cuántas canillas son si el tanque tardó una hora y media en llenarse?
El perímetro de un rectángulo es 18 cm y la base es 3 unidades mayor que la altura ¿Cuál de las siguientes ecuaciones permite obtener la longitud x de la base? Resuelve la ecuación elegida.

a) b) c) d)

En un concurso donde se realizan 50 preguntas, se paga $100 por cada pregunta acertada y se descuentan $30 por cada pregunta equivocada. Si un participante ganó $3050. ¿Cuántas preguntas acertó y cuantas erró?
El perímetro de un cuadrado es 36 cm.¿Cuál de las siguientes ecuaciones permite obtener la longitud x del lado? Resuelve la ecuación elegida.

a) b) c) d)

Carlos tiene ahorrados $760. Sólo tiene billetes de $10, $20 y $50 y tiene un billete más de $10 que de $20 y de $20 uno más que de $50. ¿Cuántos billetes de cada clase tiene?
Tres números pares consecutivos suman 84. ¿Cuáles son dichos números?
El perímetro de un triángulo isósceles es 28 cm y la base es una unidad mayor que los lados iguales ¿Cuál de las siguientes ecuaciones permite obtener la longitud x de la base? Resuelve la ecuación y di cuanto mide cada lado.

Un comerciante vende a un niño 50 bolitas. Le vende aceradas a $0,75 cada una y de vidrio a $0,50 cada una. Si le cobra al niño $32. ¿Cuántas bolitas de cada clase le vendió?
El triple de la suma de dos números consecutivos es igual a nueve (9) . ¿Cuáles son dichos números?
El perímetro de un triángulo escaleno es 47 cm uno de sus lados mide 3 cm más que uno y 5 cm menos que el otro. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones permite obtener la longitud del lado en cuestión? Resuelve la ecuación elegida y di cuanto mide cada lado.

a) b)

c) d)

El profesor de matemática califica un práctico de 30 ejercicios asignando 5 estrellas por ejercicio resuelto correctamente, quitando 3 estrellas por ejercicio mal resueltos. Un alumno obtiene 70 estrellas como calificación. ¿Cuántos ejercicios resolvió bien y cuántos mal?
La edad de un padre es una unidad mayor que el triple de la de su hijo. Si entre ambos suman 41. ¿Cual es la edad de cada uno?