f(x) e y son funciones cuadraticas o de segundo grado expresadas en forma de polinomio. En esta forma se presenta normalmente como un trinomio de segundo grado que para el caso está completo (no falta ningún término) y ordenado (en secuencia descendente de potencias de su variable)

La representación gráfica de este tipo de ecuaciones nos da como resultado una curva llamada PARÁBOLA de 2º grado. Existen múltiples aplicaciones de la función cuadrática aplicados a problemas concretos, algunas aplicaciones veremos, conforme a la profundidad que puede darse de este tema durante este ciclo.

Problemas

Problema 1: A una empresa se le solicita la decoración de cuadrados de chapa de lado x. El trabajo consiste en pintar una de las caras del cuadrado, y adherir un listón de cobre sobre uno de los bordes. Para presupuestar el trabajo se calculan los costos según la tarea encontrándose los siguientes valores.

El costo de pintar la chapa es de $4,50 el cm2

El costo del listón de cobre es de $3,20 el cm2

La mano de obra por chapa es $7 por chapa.

Parte a) Se pide encontrar una fórmula que permita calcular los costos de producción para cualquier tamaño de chapa.

Parte b) Confeccionar una tabla que permita calcular el costo de producción de cuadrados cuyos lados miden los siguientes tamaños

x=5 cm; x=7 cm; x=8 cm; x=10 cm; x=12,5 cm; x=15 cm; x=20 cm; x=25 cm; x=27,5 cm.

Parte c) Construye una gráfica cartesiana con el modelo hallado.

Parte d) Analiza si es viable asignar valores negativos a la variable y luego determina el dominio de la función.

Parte e) Cual es la imagen de la función.

Solución problema 1

Parte a)

p(x) = 4,50.x² + 3,20.x +7

El primer término 4,50.x² permite calcular el costo de pintura de acuerdo a la la longitud del lado.

El segundo término 3,20.x calcula el costo del listón de cobre.

Finalmente el tercer término agrega el valor constante 7 que es el costo fijo para cualquier tamaño de cuadrado.

Como podemos ver la fórmula para calcular el costo de producción de acuerdo a la longitud del lado del cuadro es una forma polinómica de segundo grado, es decir p(x) es un polinomio de segundo grado, es decir tendrá el comportamiento de una función cuadrática o de segundo grado.

Análisis de la función.

Forma canónica.

y=a(x - xv )2 + yv

f(x)=a(x - xv )2 + yv

Utiliza las coordenadas del vértice de la función

La función cuadrática puede hallarse expresada de tres maneras, en forma polinómica, en forma factorizada o en forma canónica. Cualquiera de las formas deja uno o más elementos de la función en evidencia, así en la forma polinómica queda en evidencia el valor de la ordenada al origen, en la forma factorizada quedan en evidencia las raíces de la función y en la forma canónica queda en evidencia el vértice de la función. Encontrar habilidad para pasar de una forma a la otra es una buena manera de encontrar elementos que permitan realizar su representación gráfica.

Concavidad

La concavidad de la función cuadrática hace referencia a la orientación de las ramas de la parábola, si estas apuntan hacia arriba hablamos de concavidad positiva en este caso la función tiene un mínimo, si apuntan hacia abajo hablamos de concavidad negativa y en este caso la función tiene un máximo. La concavidad es determinada por el signo del coeficiente “a”, este en forma de polinómica o canónica el valor de “a” es visible por lo tanto siempre se puede deducir la concavidad. Resumiendo.

Concavidad Positiva	Concavidad Negativa

“a” positiva (a>0)	“a” negativa (a<0)

Ceros de la función.

Estando la función cuadrática en forma polinómica,

f(x) = ax² + bx +c

Mediante la fórmula resolvente se obtienen los valores de conocidos como ceros de la función o raíces. Esto es así porque tal fórmula proviene de encontrar los valores de x que hacen cero la función f(x), es decir proviene de la solución de

ax² + bx +c = 0

la fórmula resolvente es

Donde se llama discriminante de la ecuación:

Si tenemos dos soluciones reales distintas . es decir dos valores de x que hacen cero la función
Si el resultado de la raíz será 0, con lo cual la ecuación tiene una sola solución real, un único valor de x que hace cero la función.
Si al ser el radicando negativo la raíz no puede resolverse, con lo cual la ecuación no tiene soluciones reales, las soluciones son números complejos, es decir no hay valores de x que anulen la función.

De acuerdo a los valores obtenidos mediante la fórmula resolvente, gráficamente se nos van a presentar los siguientes casos.



dos raíces	una raíz (o dos raíces iguales)	ninguna raíz real

Dominio de la función

Son todos los elementos de la variable independiente x que tienen imagen. En el caso de las funciones cuadráticas como en el de todas las funciones polinómicas, no hay restricciones en los valores que podemos asignar a la variable independiente y por lo tanto el dominio no está acotado, es decir cualquier valor que asignamos a la variable independiente permitirá calcular un valor a la variable dependiente. Por lo tanto cualquier valor real entre menos infinito e infinito positivo puede asignarse a la variable independiente. En términos matemáticos

Imagen de la función

Son todos los elementos de la variable dependiente y que son imagen de algún elemento x. En el caso de las funciones cuadráticas dependiendo de su concavidad pueden tener máximo (concavidad negativa) o mínimo (concavidad positiva), este valor, máximo o mínimo, será el que determine la imágen de la función.

Veamos estos ejemplos

La función del ejemplo anterior tiene un mínimo en (2;-4) por lo tanto la imagen de dicha función son todos los valores de y mayores o iguales que -4, en términos matemáticos.

En el caso de este ejemplo la función tiene un máximo en (-3;-2), es decir no hay función por encima de -2 por lo tanto en este caso

Ordenada al origen

En la forma polinómica el valor de x=0 anula todos los términos con excepción del término independiente. Es decir en:

f(x) = ax² + bx +c

f(0) = a.0² + b.0 +c

f(0) = c

Se ubica el valor de “c” sobre el eje y, en ese punto la variable independiente x vale cero. En consecuencia toda función cuadrática corta al eje de las ordenadas en y=c y c es conocida como la ordenada al origen.

Coordenadas del vértice

Las coordenadas del vértice están dadas por el punto de la función donde hay un máximo si esta es cóncava negativa o hay un mínimo si esta es cóncava positiva. Por tratarse de un punto este tiene un par de coordenadas que lo definen y será de la forma , en este caso la expresión la llamaremos x del vértice y a la nombraremos como y del vértice. Las fórmulas para calcular las coordenadas del vértice, entonces estarán dadas por la que ya enunciamos para x del vértice

o también

Observe que la primera fórmula sirve cuando la función está expresada en forma polinómica, mientras que la segunda fórmula utiliza las raíces de la ecuación por lo cual debemos contar con este dato. En este caso esta fórmula no es de mucha utilidad si la función tiene raíces complejas por lo tanto se recomienda calcular a partir de la forma polinómica.

La coordenada y del vértice viene dada por evaluar la función en x del vértice, es decir una vez encontrado el valor de x del vértice se debe reemplazar en la función original, en síntesis.

luego el par son las coordenadas del vértice de la función

Si la función está dada en forma canónica los valores de x del vértice e y del vértice quedan en evidencia por lo tanto lo único que debemos considerar es que el valor de x del vértice debemos cambiarle de signo por que le antecede un signo menos.

y=a.(x - xv )2 + yv

Ejemplos para

f(x)=(x-4)2+5 las coordenadas del vértice serán (4 ; 5)

f(x)=(x+2)2-7 las coordenadas del vértice serán (-2 ; -7)

Análisis de simetría.

Las ramas de las parábola son simétricas con respecto al eje vertical que tiene coordenada x=xv

Esto significa que si conocemos un punto de la función a la izquierda del eje de simetría, inmediatamente conocemos otro punto a la derecha del eje y equidistante del mismo. Veamos gráficamente.

En el caso puede verse que el eje de simetría está en el eje x=2 luego se puede comprobar que se cumplen las siguientes igualdades geométricas de los segmentos

BN=NC; DO=OE; FP=PG; HQ=QI; JR=RK; LS=SM

Lo anterior no es otra cosa que las igualdades entre las distancias de dos puntos a la izquierda y a la derecha del eje de simetría de la función. El punto H tiene coordenadas (-2 ; 3) por lo tanto puede deducirse que, conociendo xv=2, este punto dista en cuatro unidades del mismo, por lo tanto puede deducirse que en (2+4 ; 3) = (6 ; 3) habrá otro punto de la función. En efecto dicho punto es I de coordenadas (6 ; 3).

Positividad y negatividad.

Intérvalo de positividad

Son todos los intervalos de la variable independiente en los que la función es positiva.

Intérvalo de negatividad

Son todos los intervalos de la variable independiente en los que la función es negativa.

Puede observarse en el gráfico que las raíces determinan los intervalos donde la función es positiva y donde la función es negativa, por lo tanto, será de vital importancia el conocimiento de las raíces a los fines de la determinación de los intervalos de positividad y negatividad. Puede verse que la función es positiva en los intervalos donde x < 0 (equis es menor a cero) y x > 4 (equis es mayor a 4)

Es negativa en el intervalo 0 < x < 4 o (0 ; 4).

Forma factorizada de la función cuadrática

Utiliza las raíces de la función, veamos en el ejemplo que sigue como las raíces de la función quedan visibles. Las raíces y y en este caso la función responde a

Intervalos de crecimiento y decrecimiento

Creciente

Intervalo de la variable independiente en el que la función crece.

Decreciente

Intervalo de la variable independiente en el que la función decrece.

Como puede observarse en el gráfico queda claro que el eje de simetría determina hasta donde la función crece o decrece. A partir del eje de simetría la función cambia de ser decreciente a creciente dependiendo de su concavidad.

Aproximación a la función cúbica

Una función de orden cúbico es una expresión donde la variable independiente se encuentra elevada a la tercera potencia. Así podremos encontrar expresiones como las siguientes

y=x3

y=(x-3)3

y=(x+2)3

Es posible encontrar expresiones como las dadas anteriormente expresada en su forma polinómica como resultado del desarrollo del cubo de un binomio, así por ejemplo las funciones a continuación son expresiones equivalentes.

y=x3+6x2+12x+8 y=(x+2)3

Gráfico de la función y=x3

Con la ayuda de la tabla de valores hemos conseguido calcular los valores correspondientes. Los pares ordenados resultantes se han transcrito y producen el siguiente gráfico

x	x3
-3	-27
-2	-8
-1	-1
0	0
1	1
2	8
3	27

Como puede observarse en la función cúbica pueden asignarse a la variable independiente, valores negativos, cero y valores positivos, sean enteros, racionales o irracionales, es decir el dominio es el campo de los números reales.

Ejercitación de funciones cúbicas

Grafica las siguientes funciones cúbicas y analiza el desplazamiento horizontal y vertical de cada una respecto a y=x3

y=(x+2)3	y=(x-2)3	y=(x+5)3
y=x3+3	y=x3-3	y=x3+1
y=(x+1)3-4	y=(x+1)3+2	y=(x-5)3-1

Aproximación a las funciones polinómicas.

Hasta este momento hemos estudiado funciones como las siguientes

Función	Ejemplo	Factorizado	polinómica general
Lineal	y=2x+1	y=2x+1	y=ax+b
Cuadrática	y=x2-3x+2	y=(x-1)(x-2)	y=ax2+bx+c
Cúbicas	y=x3+6x2+12x+8	y=(x+2)3	y=ax3+bx2+cx+d

Si observamos la última columna de la tabla podemos observar la secuencia creciente de las potencias de x, de esta forma una función polinómica de cuarto grado en forma general podemos expresarla como sigue.

y=ax4+ bx3+cx2+dx+e

De forma más amplia

y=anxn+ an-1xn-1+… …+a1x+a0

Es la forma general de una función polinómica de grado n donde n es un entero no negativo

an an-1 a1 a0 son coeficientes, son números reales

an es el coeficiente principal o el coeficiente del término de mayor grado

xn xn-1 x son las potencias decrecientes de la variable x

a0 es el término independiente

anxn es el término de mayor grado

Las funciones polinómicas y su representación gráfica, describen relaciones entre dos variables que resuelven numerosos problemas que se presentan en la vida real.

Propiedades de las funciones polinomiales

La gráfica de y=f(x) intercepta al eje y en el punto (0; a0)

La gráfica de y=f(x) intercepta al eje x en los puntos cuyas abscisas son las raíces de la ecuación
0=anxn+ an-1xn-1+… …+a1x+a0

Las funciones polinómicas son funciones continuas. (no tienen cortes en su gráfica)

Las funciones f(x)=xn para "n" par e impar.

Anteriormente hemos descrito y hemos ejercitado con funciones de grado 2 y grado 3. Vimos características de la función cuadrática que nos permiten la construcción de su gráfica a partir de elementos deducibles como raíces, vértice, ordenada al origen y otros. En el caso de la funciones cúbicas ejercitamos bastante los desplazamientos horizontales y verticales. Veamos a continuación la gráfica de dos funciones de tercer grado correspondiente a grado n impar.

Podemos ver que f(x) se encuentra expresada en forma polinómica, mientras g(x) en forma factorizada. Como puede observarse la forma factorizada, deja en evidencia las raíces lo cual permite una aproximación a su representación gráfica.

Observemos a continuación las gráficas de dos funciones de grado 4, es decir correspondiendo a grado n par.

Aquí puede verse que f(x) se encuentra expresada en forma factorizada, mientras que g(x) se encuentra expresada en forma polinómica. Obsérvese que la forma factorizada permite visualizar rápidamente las raíces de la función y por tanto una aproximación a su forma gráfica.

Desplazamiento de las gráficas en el caso de x3+ a ; (x + b)3

En primer término observamos el comportamiento de la forma y=x3+a en los gráficos a continuación, puede verse que a representa un desplazamiento vertical de la gráfica respecto de y=x3 siendo a la ordenada al orígen de cada una de las funciones.

En segundo término analicemos el comportamiento de las gráficas de la forma (x + b)3 para luego sacar una conclusión acerca de los desplazamientos. En las gráficas a continuación puede observarse que el valor de b representa el desplazamiento horizontal de las gráficas respecto de la forma y=x3 dejando en evidencia la raíz de la función. Debe tenerse en cuenta que por tratarse de una función cúbica o lo que es lo mismo una función de grado 3, en este caso se considera una raíz única de multiplicidad 3.

Estudio de funciones que sean del estilo f(x)=x3-3x o g(x)=x3+2x2

Veamos el gráfico de estas dos funciones

Factorización de estos polinomios para determinar sus raíces.

Encontrar las raíces de estas funciones es encontrar el valor de la variable independiente x donde la función vale cero, es decir, hallar los valores de x que hacen cero la función

f(x)=0

x3-3x=0

sacamos el factor común x que figura en ambos términos, luego

x.(x2-3)=0

de donde para que el producto anterior sea cero se debe cumplir que alguno de sus factores sea cero, entonces es

x=0 ==> x1=0

es decir una raíz es cero, igualando el otro factor a cero tenemos

x2-3=0

donde

x2=3

finalmente

hemos obtenidos las dos raíces restantes.

En el caso de la función g(x) debemos proponer

g(x)=0

es decir

x3+2x2 =0

sacamos factor común x2 que figura en ambos términos y nos queda

x2.(x+2)=0

al igual que en el caso anterior, uno de los factores debe ser cero, luego

x2=0 ⇒ x1=0; x2=0

es decir una raíz doble que pasa por cero. Del otro factor

x+2=0

de donde

x=-2 ⇒ x3=-2

con lo cual obtuvimos las tres raíces.

Problemas.

Problema 1: Se lanza una pelota desde el suelo hacia arriba. La altura que alcanza la pelota, medida desde el suelo en metros, en función del tiempo, medido en segundos, se calcula a través de la siguiente fórmula: h(t)=-5t2 + 20t.

¿Cuál es la altura máxima que alcanza la pelota y en qué momento lo hace?
¿Después de cuánto tiempo cae la pelota al suelo?
¿Cómo se contestan las preguntas anteriores si la pelota se lanza a 25 m del suelo?

Solución:

Siendo la fórmula una función de segundo grado, la altura máxima será alcanzada en el máximo de la función, y el momento en que lo hace esta dado por el eje de simetría por tanto debemos calcularlos. En síntesis xv=tmax y f(xv)= hmax

Recordemos que xv=-b/2a entonces tmax=-20/2.(-5)=-20/10=2

f(xv)= h(tmax) = -5.22+20.2 = -5.4+40 = -20+40 =20

Rta: La altura máxima es de 20 m y el momento en el que alcanza dicha altura es a los 2 minutos.

La pelota cumple la trayectoria de la fórmula cuadrática por lo tanto las raíces de la misma darán los puntos donde la pelota está en el suelo, por tanto calculamos las raíces. En este caso podemos resolver del siguiente modo.

0 = -5t2+20t

factoreando

0 = -5t(t-4)

de esta ecuación

-5t = 0 de donde t1=0

t-4 = 0 de donde t2=4

Rta: La primer raíz es el momento inicial por lo tanto la segunda raíz es el momento donde la pelota vuelve a estar en el suelo, por lo tanto cae a los 4 minutos.

En el caso planteado la fórmula debe ser modificada de la siguiente modo

h(t)=-5t2 + 20t + 25

el punto (a) se soluciona como sigue

xv=-b/2a entonces tmax=-20/2.(-5)=-20/10=2

f(xv)= h(tmax) = -5.22 + 20.2 + 25 = -5.4 + 40 + 25 = -20+40+25 = 45

Rta: La altura máxima es de 45 m y el momento en el que alcanza dicha altura es a los 2 minutos.

El punto (b) se soluciona calculando las raíces de la nueva ecuación, por tanto.

Usamos la resolvente para calcular las raíces.

Rta: La primer raíz es negativa, por lo que carece de sentido, entonces la segunda raíz es el momento donde la pelota vuelve a estar en el suelo, por lo tanto cae a los 5 minutos.

Problema 2: Las edades de Gaby y Cris suman 41 años el producto de ambas edades es de 414 años. Encuentra las edades de ambas.

Variables. Gaby: x Cris y

Ecuación 1: x+y=41

Ecuación 2: x.y=414

Procedimiento (por sustitución)

x+y=41

Despejamos x en la ecuación 1

x=41-y (a)

x.y=414

Sustituimos x en ecuación 2

(41-y).y=414

resolvemos la multiplicación y nos queda

41y-y2-414=0

Ordenamos términos

-y2+41y-414=0

Resolver por fórmula general.

-y2+41y-414=0 en donde a=-1; b=41 y c=-414

Reemplazando en la formula resolvente tenemos

Con lo cual se han obtenido dos valores posibles para y que nos permiten calcular x

y1=18 y2=23

Sustituimos en la igualdad (a) para encontrar valores posibles a x, por un lado:

x=41-y1 x=41-18 x=23

por otro lado

x=41-y2 x=41-23 x=18

Las soluciones de x e y dan dos valores posibles para cada una, y estos son los mismos valores, por lo tanto esto significa que

x=18 y=23 o x=23 y=18

Cualquiera de las dos propuestas verifican las igualdades iniciales (ecuaciones 1 y 2) por lo tanto cualquiera de ellas son correctas y por lo tanto Gaby tiene 18 años y Cris tiene 23 años o la inversa.

Problema 3: Si la diagonal de un cuadrado mide 23 cm encontrar la longitud del lado y el área del cuadrado.

Representaciones: lado del cuadrado: x

Área del cuadrado: A=x2

Diagonal del cuadrado: 23 cm

Considerando la diagonal como la hipotenusa del triángulo rectángulo isósceles de lados iguales de medida x, según el Teorema de Pitágoras tenemos

x2 + x2 =232

sumamos los términos semejantes y nos queda

2x2=529

dividimos por dos ambos miembros de la ecuación

x2=264,5

sacamos raíz en ambos miembros, entonces.

x=16,26

Por lo tanto la magnitud del lado x=16.26 cm y el área: x2=264,5