AULA 8 – QUATÉRNIOS NO GEOGEBRA

Nesta atividade, você vai representar pontos do espaço tridimensional no GeoGebra usando a lógica das coordenadas homogêneas e realizar transformações geométricas com auxílio dos quatérnios.

1. Para começar, vamos mostrar de que forma o GeoGebra lida com pontos em coordenadas homogêneas.

a) Abra a Janela de Álgebra e a Janela de Visualização 3D. Aumente o espaço da Janela de Visualização 3D.

b) Represente o ponto A = (3, −1, 2).

c) Crie a matriz . Lembre que o comando do GeoGebra que cria uma matriz como essa é:

d) Defina o ponto A’ por meio da multiplicação A’ = T ⋅ A. Qual é a relação entre os pontos A e A’?

e) Do ponto de vista matemático, a multiplicação de matrizes que você efetuou no item d faz sentido? Como você explica esse fato?

Uma vez dominada a representação de pontos em coordenadas homogêneas no GeoGebra, você já pode fazer transformações geométricas usando as matrizes originadas das operações com quatérnios. Esse será o seu desafio no restante da atividade.  

2. Usando controles deslizantes, crie no GeoGebra uma matriz 4×4 que, quando aplicada a um ponto,

• faça a rotação de  radianos desse ponto definida pelo eixo ;
• faça a translação desse ponto definida pelo vetor .  

Observação: lembre que o eixo  deve ser representado por um vetor normalizado.

Para testar seu programa:

a) Crie o polígono ABCDEFGH, com vértices A(0,0,0), B(3,0,0), C(3,1,0), D(1,1,0), E(1,3,0), F(3,3,0), G(3,4,0) e H(0,4,0).

b) Crie o polígono A’B’C’D’E’F’G’H’, obtido a partir da aplicação, ao polígono ABCDEFGH, de uma rotação de  radianos, definida pelo eixo , seguida de uma translação definida pelo vetor .

c) Realize as seguintes transformações com seu polígono ABCDEFGH:

• rotação de  radianos em torno do eixo  seguida de uma translação pelo vetor
• rotação de  radiano em torno do eixo definido pelo vetor  seguida de uma translação pelo vetor
• rotação de  radianos em torno do eixo definido pelo vetor  seguida de uma translação pelo vetor

d) Refaça as transformações do item c invertendo a ordem da rotação e da translação.