Учитель математики МОУ Усть-Ордынская СОШ № 4

Тяговская Т.Н.

Методы решения логарифмических уравнений

Цели урока:

• изучить основные виды логарифмических уравнений, научить методам решения простейших логарифмических уравнений и способам сведения логарифмических уравнений к простейшим;
• развивать навыки сравнительного анализа, логического мышления, умение делать обобщения и выводы;
• воспитывать сознательное отношение к учению, познавательную активность, культуру умственного труда.

Оборудование и материалы.

1. Мультимедийный проектор, компьютер.
2. Слайд “Виды простейших логарифмических уравнений и методы их решения”.
3. Презентация “Методы решения логарифмических уравнений”.
4. Тест для первичного закрепления.
5. Раздаточный материал.

Ход урока.

I. Организационный момент.

II. Подготовка к изучению нового материала.

Устная работа.

Вопрос 1:

Назовите основные виды уравнений.

Ответ:

Линейные, квадратные, биквадратные и другие целые уравнения; дробно-рациональные уравнения; тригонометрические уравнения; иррациональные уравнения; показательные уравнения.

Вопрос 2:

Назовите основные способы решений, являющиеся общими для уравнений различных типов.

Ответ:

Преобразование уравнения по формулам; разложение на множители; замена переменной.

Вопрос 3:

Назовите основные способы решения показательных уравнений.

Ответ:

Решение простейших показательных уравнений; приведение степеней к одному основанию; применение формул; разложение на множители; замена переменной.

Сегодня мы изучим ещё один вид уравнений: логарифмические уравнения.

III. Изучение нового материала.

Объяснение нового материала (проводится учителем у доски).

Используется мультимедийный проектор и слайд с видами простейших логарифмических уравнений. Решение примеров записывается на доске. Объяснение проводится в форме беседы.

Определение: Уравнения, содержащие переменную под знаком логарифма, называются логарифмическими.

Виды простейших логарифмических уравнений и методы их решения.

 (приложение 1)виды простейших лог уравнений.ppt

Вопросы ученикам:

Сколько корней будет иметь это уравнение? Каким свойством обладает логарифмическая функция? Что называется логарифмом и как в данном случае найти число x?

Итог рассуждений: Так как логарифмическая функция монотонна, по теореме о корне данное уравнение имеет единственное решение. По определению логарифма x = ab.

Вопросы: Каким условием определяется ОДЗ уравнения? Нужно ли тут накладывать условие x>0?

Пример (на доске).

Решение.

Ответ: 25.

 (приложение 1)виды простейших лог уравнений.ppt

Получается в результате аналогичных рассуждений.

Пример (на доске).

Решение.

Ответ: 1;-5.

 (приложение 1)виды простейших лог уравнений.ppt

Вопрос:

Чем определяется ОДЗ этого уравнения?

Ответ:

Вопрос: Равны логарифмы двух чисел по одному и тому же основанию. В каком случае это возможно?

Ответ: Так как логарифмическая функция монотонна, то логарифмы двух положительных чисел по одному и тому же положительному и отличному от единицы основанию равны тогда и только тогда, когда равны эти числа.

Комментарий учителя: следовательно, для решения уравнения log a f (x)=log a g(x) нужно решить уравнение f(x)=g(x) и отобрать корни, входящие в ОДЗ исходного уравнения. Тогда исходное уравнение можно заменить равносильной ему системой двумя способами.

Первый способ:

Второй способ:

виды простейших лог уравнений.ppt

Вопрос: Почему отбрасывается одно из условий ОДЗ?

Ответ: Потому что оно будет выполняться автоматически при выполнении условий, записанных в системе.

Замечание:

Предпочтение отдают той системе, которая после будет решаться легче. Если они равноценны по сложности, то всё равно какую записывать.

Пример (на доске).

Решение.

Но x = –2 не удовлетворяет условию x > –1, следовательно, данное уравнение корней не имеет.

Ответ: корней нет.

Ответ: 2.

Изучение нового материала с помощью презентации (изучение методов решения уравнений, не являющихся простейшими).

Методы решения логарифмических уравнений. Логарифмирование уравнений.

1. Преобразования уравнений по формулам.

Пример.

Решение.

Так как логарифмы определены только для положительных чисел, то x – 2 > 0 и x > 0. Преобразуем левую часть уравнения по формуле: log a xy = log a x+ log a y. Получим:

Решим квадратное уравнение

.

Условию x > 2 удовлетворяет только один из корней: 4. Следовательно, 4 является корнем исходного уравнения.

Ответ: 4.

Самостоятельная работа учеников   тестлог уравнения.xls

Решите уравнения (Тип теста: ввод ответа вручную с клавиатуры)

Укажите способ, которым следует решать уравнение (Тип теста: выбор единственно правильного ответа)

Способы:

1. Преобразование уравнения по формулам.
2. Приведение к одному основанию.
3. 3. Замена переменной.

.

V. Итог урока. Домашнее задание.

Мы изучили основные виды простейших логарифмических уравнений и методы их решения; методы приведения логарифмических уравнений к простейшим. Оценки за урок выставляются с учетом результатов тестирования и устных ответов.

Дома оформить в тетради решение уравнений, рассмотренных в презентации.

(приложение 2)

Литература

1. А. Н. Колмогоров и др. “Алгебра и начала анализа 10-11”, М.: Просвещение
2. П. В. Чулков “Уравнения и неравенства в школьном курсе математики”, М.: Педагогический университет “Первое сентября”
3. Вавилов В. В. и др. “Задачи по математике. Уравнения и неравенства”, М.: Наука.

При рассмотрении примеров приведенных  в презентации  методы решения лог ур   Я.pptвы должны найти ответ на следующие вопросы:

1. К какому виду нужно привести логарифмическое уравнение, не являющееся простейшим?
2. Какие  из рассматриваемых в презентации методов решения вам были уже известны по применению к  уравнениям других типов?
3. В чём заключается особенность их применения к решению логарифмических уравнений?
4. С каким новым методом  решения уравнений вы сегодня познакомились?

1. Для  каких уравнений используется этот метод?
2. В чём заключается  суть данного метода?

Домашнее задание.

Оформить в тетради решение уравнений, рассматриваемых в презентации: