Tema

NOMBRE: _        

Equivalencias entre los distintos órdenes de unidades

Números de seis cifras

Donald en el país de las matemáticas https://www.youtube.com/watch?v=WtIrtPumGco

Comprueba tus conocimientos

1. Escribe los números con cifras

1.- Cuatro millones ochocientos noventa y siete mil trescientos:  _        

2.- Quince millones ciento diecisiete mil ochocientos cincuenta:  _        

3.- Novecientos noventa mil novecientos noventa:

4.- Ocho millones novecientos cincuenta y seis mil ciento ochenta:  _        

5.- Dieciocho millones sesenta y dos mil trescientos ocho:

6- Un millón:

7.- Un millón ciento cincuenta mil:

8.- Un millón seiscientos cuarenta y nueve mil doscientos veintitrés:  _        

9.- Cinco millones noventa y seis mil ochocientos dos:

10.- Cuarenta y seis millones quinientos setenta y seis mil cuatrocientos cincuenta y siete:

11.- Trescientos mil quinientos cinco:

12.- Seis millones novecientos seis mil siete:

13.- Cincuenta y tres millones ochenta mil seis:

14.- Ochenta millones noventa mil seis:

15.- Doscientos nueve millones dos mil trescientos cuarenta y uno: _        

2. Comprueba la propiedad asociativa de la suma con los siguientes números:

a)  (14 + 25) + 89 = 14 + (25 +89)

b)  (124 + 407) + 286 = 124 + (407 + 286)

C.E.I.P. Galo Ponte

c)  (45 + 39) +77 = 45 + (39 +77)

d)  (776 + 620) + 901 = 776 + (620 + 901)

3. Completa los huecos en las siguientes operaciones:

a)  12873 +                    = 47960

b)  583002 – 98450 =

c)  77010 -                   = 628

4.  Escribe los ocho primeros términos de las siguientes series:

a)  5, 13, 21, 29,…                  c) 1964, 1842, 1720,…

b)  102, 94, 86,…                    d) 456, 544, 632,…

5. Efectúa las siguientes multiplicaciones y divisiones:

a)     43567  X 85 =                                      c) 590432  X 300=

b)    598782 : 27 =                                          d) 990476 : 656 =

C.E.I.P. Galo Ponte

SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL

Un sistema de numeración es el conjunto de símbolos y reglas que nos permiten escribir y leer cualquier número.

Nuestro sistema de numeración, que es el decimal, procede de la India y llegó a Europa con los árabes en el siglo XIII.

Se llama decimal o de base 10 porque cuenta los objetos agrupándolos de

10 en 10. También utiliza diez símbolos, llamados cifras o guarismos, que son:

0 – 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 7 – 8 – 9

Según el orden en que escribamos estas cifras obtendremos números distintos:

12.345 = doce mil trescientas cuarenta y cinco.

54.123 = cincuenta y cuatro mil ciento veintitrés.

Cada diez unidades de un orden cualquiera forman una unidad del orden inmediato superior.

Clases y órdenes de unidades:

En un número cualquiera, la cifra que ocupa el primer lugar de la

derecha  corresponde  a  las  unidades.  El  segundo  lugar  corresponde  a  las decenas.  El  tercer  lugar  corresponde  a  las  centenas.  El  cuarto  lugar corresponde a las unidades de mil, etc.

Cada lugar a la izquierda tiene un valor 10 veces mayor que el de la derecha. Cada lugar equivale a un orden. Cada tres órdenes forman una clase. En el siguiente cuadro figuran las clases, órdenes y unidades:

C.E.I.P. Galo Ponte

6.  Completa la siguiente tabla:

7. Escribe con letras los números que aparecen a continuación:

a)    68700045 b)    899000340

c)  12987043004012 d)  1000000000001

8. Escribe cómo se lee cada número.

∙    578 209 300

∙    3 140 685 270

∙    82 070 006 000

∙    320 716 400 501

∙    641 350 938 040

∙    207 491 000 385

C.E.I.P. Galo Ponte

9.  Escribe el número anterior y el posterior a cada uno de los números anteriores.

                                            578 209 300      _        

10.  En cada caso, escribe tres números.

Entre 54.987.000 y 54.988.000, que tengan un 3 en el lugar de las centenas.

Entre 280 millones y 285 millones, pero más próximos a 280 millones y que tengan un 7 en el lugar de las decenas de millar.

Menores que 300.000.000, que tengan un 9 en el lugar de las decenas de millón y un 5 en el lugar de las unidades de millar.

11.  Escribe con cifras los siguientes números:

a)  Cuatro centenas de millón, cinco decenas de millón, tres unidades de millar, una centena y dos unidades.

b)  Dos billones cuarenta mil seis.

c)  Cinco decenas de millón, una centena de millar, siete unidades de millar, dos decenas y nueve unidades.

12.    Completa los huecos:

a)  100 unidades

b)  1 unidad de millar equivale a                                centenas.

c)  10000 decenas de millar son                                unidades de millón.

C.E.I.P. Galo Ponte

13.   Completa las siguientes sumas y restas.

∙    39.765 +.......................... = 43.034

∙    .......................... + 28.391 = 67.524

∙    54.916 - ........................... = 35.283

∙    .......................... – 35.278 = 27.641

Operaciones combinadas

¡¡¡Sin paréntesis , primero multiplicación y división!!!

14.       6 + 5 - 4 + 4 - 3 + 3 - 8 + 8 - 5 + 9 =

15.       9 + 6 - 5 - 7 + 8 + 5 - 7 + 4 - 4 + 6 =

16.       8 + 6 + 5 - 8 + 4 - 7 + 5 - 6 + 4 + 9 =

17.       14 + 7 + 4 - 9 + 3 - 9 + 7 - 5 + 3 + 6 =

18.       11 + 7 - 6 - 7 + 9 - 7 + 6 - 4 + 5 + 7 =

19.       9 + 5 - 4 + 7 - 9 + 4 - 5 + 6 + 8 - 6 =

20.      9 + 5 - 8 + 6 - 8 + 7 - 5 + 4 - 3 + 5 =

21.      13 + 8 - 7 + 9 - 6 + 7 - 9 + 8 - 9 + 6 =

22.       8 + 5 - 8 - 3 + 9 - 8 + 4 + 5 + 6 - 7 =

23.       16 - 4 + 9 - 4 + 8 + 3 - 7 + 5 - 9 + 4 - 6 + 8 - 6 - 3 + 7 =

24.       14 + 7 - 8 + 5 - 8 + 6 + 2 - 7 + 5 + 4 - 7 - 5 + 6 - 5 - 4 =

25.       16 + 3 - 5 - 8 + 5 + 4 - 8 + 4 - 3 + 5 + 4 - 6 - 5 + 3 - 7 =

26.        9 - 4 + 6 - 5 + 6 + 8 - 6 - 8 + 4 + 7 - 8 + 9 - 5 - 6 + 8 =

27.        12 + 4 + 8 - 3 - 5 + 7 + 3 - 5 - 3 - 8 + 7 - 6 + 8 - 5 + 10 =

28.        7 + 12 + 5 - 9 + 7 - 8 + 5 + 4 - 9 - 5 + 7 - 4 + 8 - 5 + 8 =

29.       13 + 5 - 7 + 8 - 6 + 5 + 9 - 8 + 6 - 8 - 4 + 7 - 4 + 6 - 9 =

30.       6 + 3 + 6 - 8 - 2 + 9 - 3 + 5 - 8 - 5 + 7 + 8 - 5 - 7 + 8 =

31.        9 + 7 - 8 + 5 + 4 - 7 + 8 - 6 + 3 - 8 + 9 - 7 + 9 - 8 + 4 =

C.E.I.P. Galo Ponte

32.     8 + 7 + 9 - 8 + 5 + 7 - 8 - 9 + 4 + 7 - 8 - 6 + 7 - 9 + 5 =

33.     8 - 4 + 7 + 9 - 8 - 3 + 3 + 4 - 7 - 6 + 8 + 5 - 9 + 7 - 8 =

34.     12 + 6 - 5 - 6 + 3 - 7 + 8 - 4 + 2 - 5 + 6 + 4 - 8 + 4 + 2 =

35.     14 + 5 + 6 - 8 - 6 + 3 - 7 + 8 - 4 + 2 - 5 + 6 + 4 - 8 + 4 =

36.     9 - 2 + 7 - 4 - 5 + 6 - 2 + 8 + 17 - 8 - 5 - 3 + 4 - 7 - 5 =

37.     8 + 9 - 6 + 2 - 8 + 7 - 4 + 5 - 6 + 4 - 5 + 8 - 9 + 5 + 8 =

38.     13 + 9 - 5 + 3 - 15 + 6 - 3 + 8 + 9 - 6 - 5 + 4 - 8 + 7 - 9 =

En las operaciones combinadas hay que seguir un orden

39.   Resuelve:

C.E.I.P. Galo Ponte

40.  Calcula el valor de las siguientes expresiones:

a)   5 · 6 + 7 · 8 =                               d) 12 : 3 + 8 : 4 =

b)   4 + 5 · 9 =

c)   54 – 24 : 3 =

e) 32 + 7 · 10 – 15 : 3 =

f) 23 · 12 – 4 · 5 · 6 + 26 : 13 =

41.   Realiza las siguientes operaciones:

a)   6 + 2 · (5 + 7) =                           d) (5 + 6) · (3 – 2) =

b)   3 · 4 + 9 : (10 – 1) =

c)   5 + 6 · 3 – 2 =

e) (14 – 6) : 4 + 2 · (5 – 1) =

f) (6 + 2 · 3 + 84 : 12 – 4) · 30 =

42.    Coloca el paréntesis donde corresponde para que se cumplan las siguientes igualdades:

a)   4 · 5 + 3 – 2 = 30                                d) 4 + 3 · 5 + 8 = 43

b)   9 – 5 · 4 + 2 – 12 = 12

c)   9 – 2 · 5 + 3 = 56

e) 12 : 8 – 2 · 2 + 3 = 7

f) 12 : 8 – 2 · 2 + 3 = 10

43.      Escribe la expresión numérica que corresponde a cada frase y calcula su resultado.

➢  A 14  le restas 8 y le sumas 4.

➢   A 14  le restas la suma de  8 más 4.

➢    A 24  le restas el producto de 2 por 6.

C.E.I.P. Galo Ponte

➢       Al producto de 24  por 2 le restas 6.

➢ Al producto de 4 por 3 le restas el producto de 2 por 5.

➢  Al producto de 4 por 5 le sumas el producto de 3 por 2.

Practica con las operaciones combinadas

44.     26 - 54 + 21 - 7 + 15 =

45.     7 x 4 + 28 : 4 =

46.     32 + 45 + 12 - 21 - 7 =

47.      77 : 11 + 3 x 4 x 5 =

48.     47 - 34 + 12 - 23 =

49.     8 + 14 - 34 + 17 =

50.      36 : (2 x 3) - 18 : 3 =

51.      3 x 9 x 2 + 56 : 2 =

52.      14 + 31 + 9 - 11 =

53.      240 - 170 - 60 + 30 - 50 =

54.      23 x 4 - 26 x 2 + 56 : 8 =

55.     (-3 + 7 - 9) x (14 : 2) =

C.E.I.P. Galo Ponte

56.     54 : (2 + 4) + 12 x 6 =

57.       37 - 29 + 5 x 3 - 20 : 4 =

58.       100 : 5 + 23 - 40 =

59.       85 - 36 x 2 + 72 : 6 =

60.       123 - 321 + 104 + 54 =

61.       (69 : 3) x 4 - 75 : 5 =

62.      120 : (5 x 2) - 42 : 2 =

63.      56 + 79 + 21 - 92 =

C.E.I.P. Galo Ponte

64.                En mi colegio han organizado una excursión.  Han contratado un autobús de 38 plazas y un minibús de 15 plazas y se han ocupado todas. ¿Cuánto tendrá que pagar cada alumno si el transporte ha costado 318 €?

65.   En el lavadero de coches Martínez hoy han lavado 32 coches y han recaudado 480

€. ¿Cuánto han cobrado por lavar cada coche?

66.        En un refugio de animales necesitan 224 kilos de pienso al mes para alimentar a 28 perros. ¿Cuántos kilos de pienso necesitarán para alimentar a un perro en un año?

Y Mas problemas…

67.     En una papelería han vendido en un día ocho lotes de cuadernos a 4 euros el lote,

19 bolígrafos  a  2  euros  la  unidad  y  23  carpetas  a  3  euros  cada  una.  ¿Cuánto dinero han recaudado ese día?

68.        Un gimnasta entrena 5 horas los lunes y jueves, 6 los martes, miércoles y viernes, y 4 los sábados. ¿Cuántas horas habrá entrenado en total un mes de marzo en el que el día 1 cayó en miércoles?

C.E.I.P. Galo Ponte

69.        Una tienda ha comprado 56 CD a 4 euros y los ha vendido a 7 euros, 43 CD a 6 euros, que ha vendido a 9 euros y 82 CD a 9 euros, que ha vendido a 15 euros. ¿Cuál ha sido la ganancia de la tienda?

70.        Un tren efectúa paradas de 7 minutos cada 28 minutos de trayecto. Durante el recorrido realiza, en total, 8 paradas. ¿Cuántos tiempo tarda el tren en realizar el viaje? (Ten en cuenta que en el último tramo llega a su destino, es decir, que no debe considerarse como una parada intermedia).

71.        Una finca rectangular mide 187 metros de larga y 87 metros de ancha y se desea cercar con una valla de cuatro filas de alambre que se vende en rollos de 200 metros, a 24 euros el rollo. ¿Cuál es el presupuesto para alambre?

72.        Carlos tiene 12 años. Su hermana Isabel tiene 4 años menos que Carlos, su padre tiene 29 años más que Isabel y su madre tiene 5 años menos que su padre. ¿Cuántos años tiene la madre de Carlos más que él?

C.E.I.P. Galo Ponte

Las matemáticas en la historia…

13

C.E.I.P. Galo Ponte

Las matemáticas, como cualquier otro avance en la historia de la humanidad, parte de las necesidades del ser humano de contar, medir y determinar la forma de todo aquello que le rodeaba. Pero la realidad es que, determinar un origen concreto para  la  aparición  de  cada  uno  de  los  conceptos  que  sientan  las  bases  de  las matemáticas es bastante más complejo que establecer  el origen de la rueda, o el origen de la cartografía.

Para comenzar, hay que tener en cuenta que recientes estudios en la capacidad

cognitiva de los animales han determinado que los números, mediciones y formas no son conceptos únicos del ser humano. Con los datos de estos estudios, se puede presuponer que los conceptos matemáticos aparecen en las sociedades cazadoras-recolectoras, aunque no en todas de la misma forma. Un ejemplo de la diferente evolución de las matemáticas (de los números más concretamente) en diferentes culturas se puede ver en el hecho de que existen algunos idiomas de tribus aisladas que no establecen la distinción entre cualquier número, utilizando únicamente como números “uno”, “dos” y “varios”, englobando este último a cualquier número mayor de dos.

Más allá de suposiciones evolutivas difícilmente contrastables al 100%, podemos hablar de los primeros objetos arqueológicos encontrados que demuestran la aparición de conceptos matemáticos en antiguas culturas. La primera muestra de conceptos matemáticos  en  nuestros  antepasados  fue  hallada  en  una  cueva  en  Sudáfrica,  y consiste en rocas de ocre adornadas con hendiduras con formas geométricas datadas en 70.000 años de antigüedad.

Adentrándonos en el campo de los números, la primera evidencia arqueológica la encontramos en el hueso de Lebombo, hallado en Suazilandia y datado en 35.000 años de antigüedad. Este objeto es un peroné de babuino con un total de 29 hendiduras que, según las excavaciones arqueológicas que se llevaron a cabo en 1973, fueron usadas por las mujeres de la época para mantener la cuenta de sus ciclos menstruales, ya que otros huesos y piedras se han encontrado con entre 28 y 30 hendiduras, existiendo siempre una marca significativa en la última.

Continuando con los restos arqueológicos, el siguiente hito lo encontramos en el hueso de Ishango, hallado cerca del nacimiento del río Nilo, al noreste del Congo y con una antigüedad de entorno a 20.000 años. Este hueso contiene una serie de marcas a lo largo de él divididas en tres columnas. La asimetría de estas muescas hace pensar que estas fueron utilizadas con fines más funcionales que decorativas

Se ha teorizado mucho sobre la verdadera utilidad de las muescas en esta muestra arqueológica, aunque fundamentalmente se barajan dos posibilidades. Por un lado que se trate de un calendario lunar de seis meses, y por otro que se traten de cálculos matemáticos. Lo primero sería solamente una ligera evolución sobre el hueso de Lebombo, así que centrándonos en la teoría matemática nos podemos encontrar con una gran peculiaridad interesante. La segunda de las tres columnas (b en el dibujo) presenta una serie de muescas agrupadas formando cuatro números (11, 13, 17, 19), conformando la primera secuencia de números primos registrada de la historia.

Pero si lo que queremos encontrar es un avance en las matemáticas que nos diferencie notablemente del resto del reino animal, nos tenemos que trasladar a las primeras civilizaciones conocidas de la India, en torno al año 3.000 a.C., donde se hayan las primeras evidencias de un sistema decimal, la aparición de ángulos rectos y formas   geométricas   complejas   como   conos   o   cilindros,   así   como   reglas   con subdivisiones pequeñas y precisas para establecer mediciones.

Luego llegarían las civilizaciones sumerias, egipcia y griega, cuyos avances son de

sobra conocidos.

Información extraída de la web

http://recuerdosdepandora.com/ciencia/matematicas/el-origen-de-las-matematicas/

Evolución histórica de los sistemas de numeración.

Desde los tiempos primitivos, el hombre ha sentido la necesidad de contar, ya fuera sus piezas de caza, sus utensilios o el número de miembros de su tribu. En este sentido cabe tal vez interpretar algunos indicios antropológicos singulares, como las muescas ordenadas  que  aparecen  incisas  en  algunas  paredes  rocosas  o  en  los  útiles prehistóricos.

Desde  el  Neolítico,  los  sistemas  de  cómputo  y  numeración  se  fueron complicando y enriqueciendo progresivamente. Las grandes civilizaciones de la Antigüedad se distinguieron por un importante desarrollo de la aritmética y la geometría, que desembocó en la creación de sistemas de numeración sistemáticos.

Cuando los hombres empezaron a contar usaron los dedos, guijarros, marcas en bastones, nudos en una cuerda y algunas otras formas para ir pasando de un número al siguiente. A medida que la cantidad crece se hace necesario un sistema de representación                                              más                                              práctico.

En diferentes partes del mundo y en distintas épocas se llegó a la misma solución, cuando se alcanza un determinado número se hace una marca distinta que los representa        a        todos        ellos.        Este        número        es        la        base. Se sigue añadiendo unidades hasta que se vuelve a alcanzar por segunda vez el número anterior y se añade otra marca de la segunda clase. Cuando se alcanza un número determinado (que puede ser diferente del anterior constituyendo la base auxiliar) de estas unidades de segundo orden, las decenas en caso de base 10, se añade una de tercer                     orden                     y                     así                     sucesivamente.

La base que más se ha utilizado a lo largo de la Historia es 10 según todas las

apariencias    por    ser    ese    el    número    de    dedos    con    los    que    contamos.

Desde hace 5000 años la gran mayoría de las civilizaciones han contado en unidades, decenas, centenas, millares etc. es decir de la misma forma que seguimos haciéndolo hoy. Sin embargo la forma de escribir los números ha sido muy diversa y muchos pueblos han visto impedido su avance científico por no disponer de un sistema eficaz que                                 permitiese                                 el                                 cálculo.

Casi todos los sistemas utilizados representan con exactitud los números enteros, aunque en algunos pueden confundirse unos números con otros, pero muchos de ellos no son capaces de representar grandes cantidades, y otros requieren tal cantidad         de         símbolos         que         los         hace         poco         prácticos.

El sistema actual fue inventado por los indios y transmitido a Europa por los árabes. El gran mérito fue la introducción del concepto y símbolo del cero, lo que permite un sistema en el que sólo diez símbolos puedan representar cualquier número por   grande   que   sea   y   simplificar   la   forma   de   efectuar   las   operaciones.

ALGUNOS EJEMPLOS DE SISTEMAS DE GRANDES CIVILIZACIONES: El Sistema de Numeración Egipcio (ADITIVO)

Desde  el  tercer  milenio  A.C.  los  egipcios  usaron  un  sistema  describir  los números en base diez utilizando los jeroglíficos de la figura para representar los distintos                              ordenes                              de                              unidades.

Se  usaban  tantos  de  cada  uno  cómo  fuera  necesario  y  se  podían  escribir indistintamente de izquierda a derecha, al revés o de arriba abajo, cambiando la orientación             de             las             figuras             según             el             caso.

En estos sistemas de escritura los grupos de signos adquirieron una forma propia, y así se  introdujeron  símbolos  particulares  para  20,  30....90....200,  300.....900,  2000,

3000...... Con lo que disminuye el número de signos necesarios para escribir una cifra.

El Sistema de Numeración Griego (ADITIVO)

El primer sistema de numeración griego se desarrolló hacia el 600 A.C. Era un sistema de base decimal que usaba los símbolos de la figura siguiente para representar esas cantidades. Se utilizaban tantas de ellas como fuera necesario según el principio de                               las                               numeraciones                               aditivas.

Los símbolos de 50, 500 y 5000 se obtienen añadiendo el signo de 10, 100 y 1000 al de

5,                    usando                    un                    principio                    multiplicativo.

El Sistema de Numeración Chino (MULTIPLICATÍVO)

La forma clásica de escritura de los números en China se empezó a usar desde el 1500 A.C. aproximadamente. Es un sistema decimal estricto que usa las unidades y los distintas potencias de 10. Utiliza los ideogramas de la figura y usa la combinación de los números hasta el diez con la decena, centena, millar y decena de millar para según      el      principio      multiplicativo      representar      50,      700      ó      3000. Suprimían        los        correspondientes        a        las        potencias        de        10. Aparte   de   esta   forma   que   podríamos   llamar   canónica   se   usaron   otras. Para los documentos importantes, se usaba una grafía más complicada con objeto de evitar falsificaciones y errores. En los sellos se escribía de forma más estilizada y lineal y aún se usaban hasta dos grafías diferentes en usos domésticos y comerciales, aparte de las variantes regionales. Los eruditos chinos por su parte desarrollaron un sistema  posicional  muy  parecido  al  actual  que  desde  que  incorporó  el  cero  por influencia     india     en     s.     VIII     en     nada     se     diferencia     de     este.

El Sistema de Numeración Babilónico (POSICIONAL)

Entre las muchas civilizaciones que florecieron en la antigua Mesopotámica se desarrollaron distintos sistemas de numeración. En el ssss A.C. se inventó un sistema de   base   10,   aditivo   hasta   el   60   y   posicional   para   números   superiores. Para la unidad se usaba la marca vertical que se hacía con el punzón en forma de cuña. Se ponían tantos como fuera preciso hasta llegar a 10, que tenía su propio signo.

De este se usaban los que fuera necesario completando con las unidades hasta llegar a

60.

A partir de ahí se usaba un sistema posicional en el que los grupos de signos iban representando sucesivamente el número de unidades, 60, 60x60, 60x60x60 y así sucesivamente.

El Sistema de Numeración Maya (POSICIONAL)

Los mayas idearon un sistema de base 20 con el 5 cómo base auxiliar. La unidad se representaba por un punto. Dos, tres, y cuatro puntos servían para 2, 3 y 4. El 5 era una raya horizontal, a la que se añadían los puntos necesarios para representar 6, 7, 8

y 9. Para el 10 se usaban dos rayas, y de la misma forma se continúa hasta el 20, con

cuatro rayas.

Hasta aquí parece ser un sistema de base 5 aditivo, pero en realidad, considerados cada uno un solo signo, estos símbolos constituyen las cifras de un sistema de base 20, en el que hay que multiplicar el valor de cada cif

ra por 1, 20, 20x20, 20x20x20 ... según el lugar que ocupe, y sumar el resultado. Es por tanto un sistema posicional que se escribe a arriba abajo, empezando por el orden de magnitud mayor.

Al tener cada cifra un valor relativo según el lugar que ocupa, la presencia de un signo para el cero, con el que indicar la ausencia de unidades de algún orden, se hace imprescindible y los mayas lo usaron, aunque no parece haberles interesado el concepto de cantidad nula.

http://concepcionabraira.wikispaces.com/2.+LOS+SISTEMAS+DE+NUMERA

CI%C3%93N.

6

C.E.I.P. Galo Ponte