Liste des fonctions disponibles par ordre alphabétique.
Rajouter des axes gradués sur une fonction
Rajouter une grille sur une fonction
Voir une fonction en perspective comme si on volait au-dessus d’elle
Obtenir un nombre complexe à partir d’une couleur donnée
Remplacer un complexe par un autre en terme de couleurs
Experts, mode d’emploi
Reflex possède un langage de programmation propre avec beaucoup de fonctions primitives.
Il est basé sur le principe de composition de fonctions. Chaque expression du programme est une fonction. Les entrées sont z (nombre complexe en cours), x (sa partie réelle), y (sa partie imaginaire). z est équivalent à x + i * y.
Exemples:
z^2-3z+1 let f = sin(z)/2 in f(f(z)) oo(sin(z)/2, 2) set w = 1; set res = 0; set c = 0.5*z; let f = if w > 0 then set w = w + 1 in set res = res^2+c; if abs(res) > 10 then set w = -w in w else res else w; oo(f, 10) sum(z^n / prod(i, i, 1, n), n, 1, 15) comp(v^2+z,v,0,15) | Une fonction polynôme Définition d’une fonction f appliquée deux fois Notation abrégée pour appliquer la fonciton deux fois utilisation d’une variable pour stocker une information (set) et une fonction à variable d’entrée z appliquée 5 fois, qui peut modifier la variable w Calcul de la série exponentielle à l’ordre 15
Calcul direct de Mandelbrot (calcul répété de x = 0 puis x = x^2 + z 15 fois, et on renvoie x) |
Notations
z désigne la fonction identité
f dénote une expression
NAME est un nom [a-zA-Z_$0-9]+ ne commençant pas par un chiffre.
f ::= f+f | f*f | f/f | f-f | f^f | f%f | FLOAT | FLOAT*i
f ::= f <= f | f >= f | f < f | f > f | f <> f | f == f
FLOAT ::= [-]DIGIT[.(DIGIT)*][i] | FLOAT+FLOAT | FLOAT-FLOAT | FLOAT(e|E)FLOAT
Si f=z, on peut enlever les parenthèses, comme par exemple sin == sin(z)
Liste des fonctions disponibles par ordre alphabétique.
abs(f) | synonyme de module(f) |
arcsin(f) arcsin(f,g) arccos(f) arccos(f,g) arctan(f) arctan(f,g) | réciproque de sinus en f Même chose mais en prenant real(g) et imag(g) comme paramètres pour le logarithme et la racine. arccos pareil arctan juste real(g) est pris comme paramètre |
arg(f) arg(f,g) | argument entre [-pi et pi] de f |
argsh(f) argsh(f,g) argch(f) argch(f,g) argth(f) argth(f,g) | réciproque de sinus hyperbolique en f Même chose mais en prenant real(g) et imag(g) comme paramètres pour le logarithme et la racine. argch pareil argth juste real(g) est pris comme paramètre |
beta(f) | gamma(x)gamma(y)/(gamma(x+y)) fonction bêta d’Euler |
carre(f) | synonyme de exposant(f,2) |
circle(f) cercle(f) | o(z-1/conj(z),f) # C’est un cercle noir centré en 0 de rayon 1 |
colornan(f,g) | synonyme de iferror(f,g) |
comp(f,v,start,number) | equivalent à set v=start in repeat number in set v=f in v |
conj(f) | Conjugué de f |
cos(f) | Cosinus de f |
cosh(f) | Cosinus hyperbolique de f |
compose(f,g) | Synonyme de o(f,g) |
cube(f) | synonyme de exposant(f,3) |
derive(f,g) | synonyme de diff(f,g) |
diff(f,g) | Calcule la dérive de f selon g z -> (f(z+g(z))-f(z))/g(z) qui est égal à f’(z) si g(z) tend vers zéro. |
division(f,g) | f/g |
exp(f) | Exponentielle de f |
exposant(f,g) | f^g ou encore exp(g*ln(f)) |
factorial(f) fact(f) factorielle(f) | gamma(f+1). Fonction factorielle prise en f |
floor(f) | floor(real(f))+floor(imag(f))*i Partie entière. |
fonc NAME = f1 in f2 fonction NAME = f1 in f2 | synonyme de let |
func NAME = f1 in f2 function NAME = f1 in f2 | synonyme de let |
gamma(f) | Formule de la fonction gamma d’Euler prise en f |
heaviside(f) heav(f) | 1 si real(f) >= 0, et 0 sinon. |
iferror(f,g) | calcule f, et si la partie réelle ou imaginaire est NaN ou infinie, calcule g. |
if(f,g,h) ifthenelse(f,g,h) if f then g else h | si f est différente de zéro, retourne g, sinon h variante variante |
i | Le nombre complexe i |
imag(f) | Partie imaginaire de f |
inverse(f) inv(f) | 1/f |
j | Le nombre complexe j = - |
let NAME = f1 in f2 let NAME = f1 ; f2 let(f2,NAME,f1) | Remplace toutes les occurences de NAME dans f2 par la fonction f1 |
ln(f) ln(f,g) | Logarithme népérien de f avec l’argument entre [-pi et pi] Logarithme avec argument entre [-pi+real(g),pi+real(g)] |
minus(f, g) | synonyme de soustraction(f, g) |
modulo(f, g) | Real(f)%Real(g) + Imag(f)%Imag(g) i |
module(f) modulus(f) | Calcule le module sqrt(x²+y²) en f |
moins(f, g) | synonyme de soustraction(f, g) |
multiplication(f, g) multiply(f, g) multiplie(f, g) | Calcule f*g |
NAME(f) | synonyme de o(NAME,f) |
newton(f) | z-f/f’ Les points fixes de newton(f) sont exactement les zéros de f |
o(f1,f2) | Calcule f2 puis f1 au résultat. |
oo(f1,Nf) | Compose N fois f par elle-même, où N est la partie entière de la partie réele de Nf |
oppose(f) | -f |
puissance(f,g) | synonyme de exposant(f,g) |
plus(f,g) | calcule f+g |
prod(f,v,min,max[,step]) | Calcule |
quotient(f,g) | Synonyme de division(f,g) |
racine(f) racine(f,g) | synonyme de sqrt(f) synonyme de sqrt(f,g) |
real(f) | Partie réelle de f |
repeat Nf in f repete Nf in f repeat(f,Nf) repete(f,Nf) | Répète N fois le calcul de f et renvoie la dernière valeur, où N est la partie entière de la partie réelle de Nf et peut être directement donnée comme un entier |
set NAME = f1 in f2 set(f2,NAME,f1) | Calcule f1 et affecte le résultat à NAME dans f2 |
sign(f) signe(f) | synonyme de unitary(f) |
sin(f) | Sinus de f |
sinh(f) | sinus hyperbolique de f |
soit NAME = f1 in f2 | synonymes de set |
somme(f,v,min,max[,step]) | Calcule |
Soustraction(f) | calcule f-g |
sum(f,v,min,max[,step]) | synonyme de somme(f,v,min,max[,step]) |
sqrt(f) sqrt(f,g) | Racine carrée de f, avec la racine prise à partir de la moitié de argument entre [-pi et pi] Racine carrée de f, avec la racine prise à partir de la moitié de argument entre [-pi+real(g) et pi+real(g)] |
square(f) | synonyme de exposant(f,2) |
tan(f) | tangente de f = sin(f)/cos(f) |
tanh(f) | tangente hyperbolique de f = sinh(f)/cosh(f) |
unitary(f) unitaire(f) unit(f) | valeur unitaire de f = f/module(f) |
valabs(f) | synonyme de abs(f) |
x | Partie réelle de z |
y | Partie imaginaire de z |
z | Identité |
zeta(f) | Fonction zêta de Riemann |
Scripts utiles
Rajouter des axes gradués sur une fonction
Remplacer YOUR_FUNCTION par votre fonction. On peut régler l’épaisseur de l’axe ainsi que le rayon des marques.
let axes = let widthaxes = 0.05 in let circleradius = 0.07 in
(1-heav(widthaxes/2+x)*heav(widthaxes/2-x))*(1-heav(widthaxes/2+y)*heav(widthaxes/2-y))*if(((x < -0.5) + (x > 0.5))*((y < -0.5) + (y > 0.5)),1, heav(abs(z - floor(z+0.5+0.5i))-circleradius)) in
axes * YOUR_FUNCTION
Rajouter une grille sur une fonction
Remplacer YOUR_FUNCTION par votre fonction. On peut modifier l’épaisseur de la grille
let grille = (let width = 0.1 in
heav(x-width/2-floor(x+width/2))*heav(y-width/2-floor(y+width/2))) in
grille*YOUR_FUNCTION
Note: Pour avoir une grille avec un niveau de détail supplémentaire, on peut multiplier par grille * grille(4z)
Voir une fonction en perspective comme si on volait au-dessus d’elle
Remplacer YOUR_FUNCTION par votre fonction. Voici la signification des paramètres:
- posx, posy permettent de déplacer la vue horizontalement comme si on était en 3D
- rot varie entre 0 et 360 et permet de diriger la vue
- height désigne la hauteur à laquelle l’oeil se trouve au-dessus de la fonction
Les paramètres horizon et angle permettent de régler respectivement la hauteur de l’horizon et l’angle de celui-ci par rapport au centre. Les valeurs par défaut sont normalement suffisantes.
set posxy = 0.5-2i in set rot = 45 in set posz = 8 in set horizon = 2.667 in set angle = 90 in let fp = o(z*exp(i*rot*pi/180)+posxy*i,-4z/posz/(real(z*exp(-i*(angle*pi/180)))/horizon-1)) in o(YOUR_FUNCTION,fp)
Obtenir un nombre complexe à partir d’une couleur donnée
Parfois on aimerait une couleur, mais reflex ne permet pas toujours de l’obtenir. Cependant, voici un script qui peut approximer une couleur donnée. Comme toutes les données sont constantes, le programme sera optimisé et la couleur calculée seulement une fois.
- r, quantité de rouge, varie entre 0 et 255
- v quantité de vert, varie entre 0 et 255
- b quantité de bleu varie entre 0 et 255
Cette formule garantit à un ordre 4 près que si une couleur donnée C correspondait exactement à un nombre complexe Z , alors cette formule retournera le nombre Z en question. Pour le reste, ce sont des approximations.
let r = 1 in let v = 255 in let b = 0 in if((r == 0)*(v == 0)*(b == 0), 0, let radiusin = 1/(255*3/(r + v + b) - 1) in let angle = if(2*x < y, 1, if(2*y < x, 0, ((ln(y)-ln(x) + ln(2))/(2ln(2))))) * 2pi/3 in if(radiusin <= 1, let d = 2*radiusin/(radiusin+1) in let arg1 = if((r >= b)*(v >= b), angle(r/255/d + i * v/255/d), if((r >= v)*(b >= v), -angle(r/255/d + i * b/255/d), angle(v/255/d + i * b/255/d) + 2pi/3)) in exp(i * arg1) * radiusin, let p = (3-(r+v+b)/255)/1.5 in let radiusout = 2/p - 1 in let rr = (r/255 - (1-p))/p in let vv = (v/255 - (1-p))/p in let bb = (b/255 - (1-p))/p in let arg2 = if((r >= b)*(v >= b), angle(rr + i*vv), if((r >= v)*(b >= v), -angle(rr + i*bb), angle(vv + i*bb) + 2pi/3)) in exp(i * arg2) * radiusout))
Remplacer un complexe par un autre en terme de couleurs
De la même manière qu’on peut tourner une photo, la zoomer et la déplacer, de la même manière on peut faire en sorte que deux nombres complexes donnés soient transformés en deux autres donnés, par exemple pour changer certaines couleurs.
Il suffit de placer votre fonction à la place de YOUR_FUNCTION dans l’expression suivante, où
- debuta, debutb sont les complexes initiaux
- fina, finb sont les complexes finaux respectifs.
Pour ne faire qu’une rotation des couleurs et un changement de luminosité, il suffit de mettre debuta et fina à zéro. Attention, debuta doit être différent de debutb.
set debuta = 0 in set fina = 1 in set debutb = i in set finb = -i in
let m = (fina - finb) / (debuta - debutb) in
let n = fina - m * debuta in
let f = m * z + n in
o(f, YOUR_FUNCTION)
Spirale à concaténer à gauche
z*heav(o(arg(z,abs(z)*4)/4-abs(z),z)+0.5)
Explore a function on the entire sphere
set c = sin(F1)/cos(F1) in
YOUR_FUNCTION $ (c + (1-c)*z) / ((1-c)-c*z)