Grenzwert: lim (n→∞) (2^n + n^2)^(1/n)

lim (n→∞) (2^n + n^2)^(1/n)

lim (n→∞) e^LN((2^n + n^2)^(1/n))

lim (n→∞) e^(1/n·LN(2^n + n^2))

Wir betrachten nur den Exponenten

lim (n→∞) LN(2^n + n^2)/n

Regel von L'Hospital (mehrfache Anwendung)

lim (n→∞) (2^n·LN(2) + 2·n)/(2^n + n^2)

lim (n→∞) (2^n·LN(2)^2 + 2)/(2^n·LN(2) + 2·n)

lim (n→∞) (2^n·LN(2)^3)/(2^n·LN(2)^2 + 2)

lim (n→∞) (2^n·LN(2)^4)/(2^n·LN(2)^3)

lim (n→∞) LN(2)

Der Exponent geht also gegen LN(2)

lim (n→∞) e^(LN(2))

lim (n→∞) 2

Damit ist der Grenzwert 2.