Grenzwert: lim (n→∞) (2^n + n^2)^(1/n)
lim (n→∞) (2^n + n^2)^(1/n)
lim (n→∞) e^LN((2^n + n^2)^(1/n))
lim (n→∞) e^(1/n·LN(2^n + n^2))
Wir betrachten nur den Exponenten
lim (n→∞) LN(2^n + n^2)/n
Regel von L'Hospital (mehrfache Anwendung)
lim (n→∞) (2^n·LN(2) + 2·n)/(2^n + n^2)
lim (n→∞) (2^n·LN(2)^2 + 2)/(2^n·LN(2) + 2·n)
lim (n→∞) (2^n·LN(2)^3)/(2^n·LN(2)^2 + 2)
lim (n→∞) (2^n·LN(2)^4)/(2^n·LN(2)^3)
lim (n→∞) LN(2)
Der Exponent geht also gegen LN(2)
lim (n→∞) e^(LN(2))
lim (n→∞) 2
Damit ist der Grenzwert 2.