Máximos y mínimos relativos gráficos.

Máximos mínimo relativos (utilizamos la primera y la segunda derivada)

Un máximo y un mínimo no son necesariamente el mayor y el menor valor de la función, por eso se les llama máximo y mínimo relativos; no deben confundirse con los puntos máximos y mínimo de una curva, que son aquellos cuya ordenada es la mayor o la menor de la gráfica completa de toda una función.

Los valores de x donde hay un máximo o mínimo relativo, o un máximo o mínimo de la función se le llama valores críticos; a los puntos que les corresponden en la grafica reciben el nombre de puntos críticos.

Existen dos procedimientos para obtener los máximos y los mínimos relativos:

A. el criterio de la primera derivada.

B. el criterio de la segunda derivada.

Criterio de la primera derivada para obtener los máximos y miniimos relativos de una función.

Observemos las figuras siguientes:

La pendiente de la recta L1 es positiva.

La pendiente de la recta L2 es cero.

La pendiente de la recta L3 ex negativa.

Es un máximo relativo, la función pasa de creciente a decreciente, es decir, el valor de la derivada pasa de positiva a negativa.

La pendiente de la recta L1 es negativa.

La pendiente de la recta L2 es cero.

La pendiente de la recta L3 es positiva.

Es un mínimo relativo, la función pasa de decreciente a creciente; es decir, el valor de la derivada pasa de negativa a positiva.

De lo expuesto anteriormente deducimos el criterio de la primera derivada para calcular los máximos y mínimos relativos de una función y = f(x):

A. calculamos la primera derivada de la función.

B. el resultado lo igualamos a cero y resolvemos la ecuación. Las raíces x1, x2, x3,… que obtenemos son los valores críticos para los cuales la función puede tener un máximo, un mínimo o bien, no contar con ninguno de los dos.

C. analizamos en f' (x).

Sea la raíz x1 si para un valor x < x1 tenemos que f' (x) > 0 y para un valor de x > x1 es f' (x) < 0 la función tiene un máximo.

Si la función pasa de negativa a positiva, entonces tiene un mínimo.

En forma semejante, analizamos las otras raíces x2, x3,… obtenidas.

D. si la derivada pasa de positiva a positiva, o de negativa a negativa no podemos señalar en ese punto crítico un máximo o un mínimo.

E. para obtener las coordenadas del máximo o del mínimo relativos, corresponde el valor de x = x1, de x = x2,… calculamos el valor de la ordenada en función original.

Acá van los primeros escáneres.

Criterio de la segunda derivada para obtener los máximos y minimos relativos de la función.

 Acá van los segundos escáneres.

Y acá va la aplicación